利用幾何圖形的軸對稱性解題

☉江蘇省泰州市第二中學附屬初中曹文喜

利用幾何圖形的軸對稱性解題

☉江蘇省泰州市第二中學附屬初中曹文喜

兩個圖形成軸對稱是指把其中一個圖形沿著某一條直線翻折，它能夠與另一個圖形重合.根據這個定義得到成軸對稱圖形的基本性質：任一對對應點的連線段都被對稱軸垂直平分.解題時根據命題的條件及圖形的特征，運用圖形的軸對稱性來探索解題思路，可以迅速找到許多問題的解題途徑.初中幾何中，等腰三角形、正方形和菱形等是典型的軸對稱圖形，把它們位于對稱軸兩旁的部分看成兩個圖形，那么這兩部分就成軸對稱.現舉例說明如下：

一、利用等腰三角形的軸對稱性解題

等腰三角形是軸對稱圖形，它的底邊上的高（或底邊上的中線或頂角的平分線）所在的直線就是它的對稱軸.如果把它看成兩個圖形，那么這兩個圖形就是成軸對稱圖形.

例1證明等腰三角形的兩底角相等.

分析：此題的常規證法是通過作等腰三角形底邊上的高而得到兩個全等的三角形，從而由對應角相等來證明命題成立.若我們能發現△ABC與△ACB的對稱性就能夠更簡單地證明.

證明：如圖1所示，在△ABC與△ACB，因為∠A=∠A，AB=AC，AC= AB.所以△ABC≌△ACB.因此∠B=∠C.

圖1

二、利用正方形的軸對稱性解題

正方形是一種典型的軸對稱圖形，它有四條對稱軸，其中它的對角線所在的直線也是它的對稱軸.通過觀察它的對角線，可以發現對角線兩旁的部分呈軸對稱，其對應的線段相等，對應的角相等，這樣就能進行相等線段之間的轉化和相等角之間的轉化，從而發現解題的思路.

例2如圖2，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任意一點，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E、F.求證：PD=EF.

圖2

分析：初略一看，EF只是兩個直角三角形的斜邊，而PD所在的兩個三角形不一定是直角三角形，似乎無法證明PD和EF相等，但是換個角度，考慮到對角線所在的直線也是正方形的對稱軸，連接PB，根據對稱性立即發現PD=PB（當然規范解題時可以通過證明兩個三角形全等得到）；這樣就轉化為求證EF和PB相等的問題，而EF和PB是矩形的兩條對角線，顯然相等.

證明：因為四邊形ABCD是正方形，所以AB=BC= CD=DA，∠ABC=∠CDA=90°，所以∠BAC=∠DAC=45°.在△BAP和△DAP中，所以△BAP≌△DAP（SAS），所以PB=PD.

又因為PE⊥AB，PF⊥BC，所以∠PEB=∠PFB=∠ABC=90°.

所以四邊形EBFP為矩形，所以EF=BP，所以PD=EF

例3如圖3，在正方形ABCD中，F為CD上的一動點，EM垂直平分BF交AC于點E，垂足為M，求∠EBF的度數.

同時，含沙量沿垂線分布逐漸減小，其中大潮情況下，底層含沙量為表層含沙量的2.75倍，小潮情況下為1.22倍。表明大潮期間因流速顯著大于小潮，海床與水體間的泥沙交換活躍，近底層含沙量相對較高，水體泥沙均表現出有較多當地掀揚泥沙參與的特點。

圖3

分析：根據正方形的對角線所在的直線是它的一條對稱軸，通過觀察，立即就會發現線段EB=ED，∠EBC=∠EDC.又因為EM垂直平分BF，得EB=EF，所以ED=EF，這樣∠EFD=∠EDF，所以∠EFD=∠EBC，這樣根據四邊形的內角和等于360°，就能得到∠BEF=∠BCF=90°，于是得出△EBF是等腰直角三角形，所以就可求出∠EBF=45°.

解：因為四邊形ABCD是正方形，所以AB=BC=CD= DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∠BAC=∠DAC=45°.在

因為∠EFD+∠EFC=180°，所以∠EBC+∠EFC= 180°.

又在四邊形EBCF中，∠EBC+∠BCF+∠EFC+∠FEB=360°，所以∠BCF+∠FEB=180°.

又∠BCD=90°，所以∠BEF=90°，所以△EBF為等腰直角三角形，所以∠EBF=45°.

三、利用菱形的軸對稱性解題

菱形的對角線平分一組對角，它的對角線所在的直線就是它的一條對稱軸.因此能夠找到菱形的一邊上的點關于它的對角線的另一對稱點，從而就可以找到解題的思路.

例4如圖4，在菱形ABCD中，P為對角線BD上的一個動點.

（1）若G、Q分別為邊BC、CD的中點，則點P在何處時使PG+PQ最小；

（2）若G、Q分別為邊BC、CD上的動點，則PG+PQ的最小值是什么？

圖4

圖5

分析：菱形的對角線平分一組對角，因此菱形的對角線所在的直線是它的一條對稱軸.Q是CD上的一點，所以Q點關于直線的對稱點在邊AD上，這樣就將此題轉化為三點共線的問題.

解：（1）如圖5，取AD的中點Q′，連接GQ′與BD相交于點P，這時PG+PQ最小.

因為四邊形ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA.

又Q、Q′分別為邊CD、DA的中點，所以DQ=DQ′.

根據兩點之間線段最短，所以連接GQ′與BD相交于點P，這時PG+PQ最小.

（2）如圖6，由上題可知菱形ABCD是關于對角線BD成軸對稱的，所以動點Q關于BD的對稱點Q′應該在AD上，且PQ=PQ′.

圖6

當三點Q′、P、G共線且Q′P最短時，滿足結論.因為AD∥BC，根據兩平行線間垂線段最短且處處相等，所以PD+PQ的最小值就是菱形ABCD的高.

總之，我們解題時，要注意觀察圖形、善于利用幾何圖形的軸對稱性，找出對應角和對應線段，再根據題目所給的已知條件，進行分析、探索，這樣就能夠快捷地找到解題的途徑.H