一道期末統考數學試題的錯誤分析及思考

☉浙江省臺州市白云學校張安軍

一道期末統考數學試題的錯誤分析及思考

☉浙江省臺州市白云學校張安軍

一、試題呈現

題目：（本題6分）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交BG于點G，且AC∥BG，DE⊥GF，交AB于點E，連接EG.

（1）求證：BG=CF；

（2）請你判斷BE+CF與EF的大小關系，并證明你的結論.

圖1

第1小題利用三角形全等，證明兩條線段相等.兩個三角形全等的確定，從已知條件中可以直接得到對頂角相等，由中點的定義得到線段相等，由兩條直線平行得到內錯角相等，全等條件基本上都可以直接得到.第2小題在第1小題的基礎上，把線段BE、CF、EF通過等量代換集中到△EBG，從而由三角形兩邊之和大于第三邊，就能證得結論.

上述題目是區八年級上期末一道測試題，所用的是人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級上冊，該題為試卷的第20題（本卷選擇題10題，填空題5題，簡答題8題，共23題，100分制），從試題的結構和分布情況來看，命制者把此題放在簡答題的第四題，認為此題目不難，是容易得分的題目；同樣任課的老師也認為是一道中檔難度的試題.然而通過閱卷統計后，教研區的三個學校統計學生得分情況如下表：

人數平均分最高分最低分得6分得0分1032 2.6 6 0 187人179人

學生的錯誤千姿百態，本文試圖對學生的錯誤答題進行分類整理，呈現部分錯誤的解答，為一些老師了解學生的學習狀態，調整自己的教學，促進因材施教的實施，提供一些依據.

二、錯誤分類

對于學生作業中的錯誤，國內外學者已經開展了有益的工作，Newman等人從解題過程角度提出錯誤的層級，將其分為5個水平：閱讀、理解、轉換、加工技能、編碼.理解錯誤指的是沒有掌握問題中所有信息的意義.操作技能錯誤指的是與算法有關的錯誤.編碼錯誤指的是書寫錯誤，如筆誤等［1］.戴再平先生從解題結果的角度把解題錯誤分為知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤、心理性錯誤［2］.本次收集一道幾何解答題的解答錯誤，并且是一次期末考試，它和自然狀態下學生的作業重視程度是不一樣的.Newman等人是基于學生解文字題得到的研究成果，主要是針對代數內容；戴再平先生過于籠統，缺乏針對性，如邏輯性錯誤本質上也是知識性錯誤.鑒于上述原因，把本次收集的錯誤分成四類，具體如下.

1.不知所云式的錯誤

閱卷的過程中發現這樣一類錯誤，學生認真作答，寫了很多的內容，但所寫的內容和答案相差甚遠.有的所寫內容閱卷老師很難讀懂，他們的答題缺乏目標導向，或者僅對已知的條件進行簡單的拼湊，推理時缺乏邏輯，不按照數學結構特征和關系去說理，一切都按主觀的想法去構建解答.這樣一類錯誤如同兩個黃鸝鳴翠柳，不知所云.從中可以發現，這些學生對書本中的概念、定理等基礎知識不會理解，或者大部分都不清楚，當然更不清楚它們之間的關系.

［錯例1］（1）在△GBD和△FCB中，AC∥BG，DG= DF，DE⊥GF.

所以△GBD≌△FCB，所以BG=CF.

（2）由BE+CF=90°，EF=135°，90°＜135°，得EF＞BE+CF.

對于（1）的解答，證明兩個三角形全等時，把已知條件中兩線的位置關系平行和垂直作為全等的判定條件；對于（2），在說明線段EF和BE+CF的大小關系時，用角度代替線段的大小，這樣的想法讓閱卷老師百思不得其解.改完試卷后，在第二學期通過該考生的任課老師了解得知該考生成績比較差，同時明白為什么得到“BE+ CF”等于90°，該考生的解釋是“FC所對∠2=18°，BE所對∠BGE=62°，EF和EG所夾的角∠GEF=135°”.當然如上述考生這樣的錯誤僅僅是個案，但我們經過統計發現存在這樣一類錯誤的學生占9%，他們都很努力地進行解答，還有接近8%的考生是空著不做.按評分標準計分，這兩類考生該題的得分都是零分，但兩者還是有著區別的，努力地完成解答的學生，他們在整體上對數學還是有所感悟的，比如上述這位學生在證明兩條線段相等時，知道用三角形全等的方法；比較線段的大小時，化形為數，用數形結合的思想方法來比較線段的大小，并且這樣的學生在學習態度上大都還是端正的，他們愿意配合老師的作業，他們可能存在偏科，他們也努力實現自己的進步，但由于他們接受數學知識比一般的同學要慢得多，更需要數學老師的呵護和關愛.數學課程標準倡導“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”.其次課堂上設計的問題要有層次性，盡可能照顧到不同層次的學生，讓數學基礎差的同學也有所收獲.

2.大意失荊州式的錯誤

在閱卷的過程中，發現部分學生讀題時不夠細心，比如漏看條件，增加了條件，或者錯看條件；在審題時，沒有挖掘題中的隱含條件，或者想當然當作以前做過的題目，沒有發現似曾相識背后問題的不同.在考試時，限時做一份試卷，學生急于把試卷做完，在解答或書寫時，有的出現了上下行抄錯，有的是抄寫時產生錯誤，如本來想寫的答案是甲，結果卻寫成答案乙等.當然從試卷本身的角度分析，本題條件多、圖形復雜、信息量大的特點造成認知負荷，從記憶的貯存、編碼到信息的提取過程中容易出現各種錯誤.這類錯誤和平常的做題習慣有關，稱之為“大意失荊州”式的錯誤.

［錯例2］由D是BC的中點，得GD=FD.

［錯例3］由AC∥BG，得∠C=∠BGD.

錯例2中“D是BC的中點”本應該是BD=DC，而學生錯寫成GD=FD.錯例3中由“AC∥BG”可得到“∠C=∠3”，但學生卻錯寫成“∠C=∠BGD”.除此之外，還有比如三角形全等要按照對應點的順序來寫，學生卻錯寫成“△GBD≌△DFC”，犯這樣一類錯誤的學生千姿百態，數學優秀生或困難生都有著不同程度的體現.究其原因，一部分是由于平常做作業時，沒有養成良好的書寫習慣，做作業時未曾集中注意力，如邊看電視邊做作業，長期以往形成不良的習慣，還有客觀上的原因，本題的題意較長，語言敘述煩瑣，信息量多而散亂，記憶的貯存容易遺失或增加，這樣考生提取信息時，出錯率相對就高.對于上述這樣的錯誤，如何有效地避免呢？學生養成良好的書寫習慣除了專心致志做作業外，還要減少作業，老師不要注重作業量完成的多少，要注重作業的品質，布置作業前，老師自己先做題目，精選題目，避免重復；其次，為了體現考試的信度和效度，在題目語言敘述上做到精練，條理清楚.如把原題改寫為下面的敘述.

如圖1，過△ABC邊BC的中點D作直線交AC于F點，并同時與過B點且與AC平行的線交于點G.

（1）求證：BG=CF；

（2）E為AB上的動點，連接EG、EF，當DE⊥GF時，判斷BE+CF與EF的大小關系，并證明你的結論.

改編后的題目與原題相比，題干變得簡潔、明了，信息的干擾少，易于第1小題的解答；同時第1小題的順利解決，為第2小題的解答帶來了便利.

3.撲朔迷離式的錯誤

在閱卷過程中，有這樣一類錯誤，學生對基本概念、性質的理解比較模糊，混淆定理應用的條件，數學語言表述不準，理由不夠充分，邏輯推理混亂，缺乏因果.這類錯誤是由于對數學概念和定理等缺乏理解，分不清相近概念之間的關系，把這樣一類錯誤稱之為雌雄難辨、撲朔迷離式的錯誤.

［錯例4］（1）由D是BC的中點，得BD=DC，GD=DF.

在△GBD和△FCB中，BD=DC，∠1=∠2，GD=DF.

則△GBD≌△FCB，則BG=CF.

（2）在Rt△EGD和Rt△EDF中，ED=ED，GD=DF，則△EGD≌△EDF（HL），則EG=EF.

又BG=CF，在△GBE中，BG+BE＞GE，則CF+BE＞EF.

錯例4中的第1小題，把“中點的定義”和線段“互相平分”兩個概念混淆，同時無法準確地找出條件和結論之間的關系，無法排除無關條件和信息、挖掘隱含條件，如沒有察覺到兩直線“AC∥BG”這一條件；第2小題在證明兩個直角三角形全等時，把兩條邊相等都當作直角三角形的“HL定理”，混淆了“HL定理”和一般三角形全等的區別，對具體問題不具體分析，機械地運用結論，出現張冠李戴的現象.

如何化解學生知識性等錯誤呢？首先要讓學生學會審題，分解題意中的關系和結構，對圖形語言、自然語言、符號語言之間的關系進行轉換，挖掘隱含條件的信息，從而建立結論和條件之間的通道；其次，在教學中要重視數學中的基本概念、定理、公式等教學，注重結果的同時，更應關注學生對概念和定理等形成過程的教學，只有這樣，學生才能清楚知識的來龍去脈，清楚知識間的聯系和區別，注重解題后的歸納總結和反思，注重數學思想方法的提升，這樣才能綜合運用相關的知識.

4.南轅北轍式的錯誤

在閱卷過程中，部分學生對第1小題解答思路清晰，條理清楚，然而在第2小題的解答過程中，出現了方向性的錯誤.第2小題是開放型的問題，由于猜想出現錯誤，考生為了證明自己的結論，達到自己的目的，缺乏正確的心理勢態，沒有從反向思考，對自己的猜想進行質疑，為了證明自己的結論，有的悄悄增加了條件，錯誤接連不斷，也不遵從邏輯規則，任意得到想得到的結論，這樣的錯誤稱之為南轅北轍式的錯誤.

［錯例5］猜想的結論：BE+CF=EF.

由△GBD≌△FCB，得EF=EG.

由DE⊥GF，得△GBD是直角三角形.

則∠EGB=60°.

則△GBO是等邊三角形.

則BG=OG.

由CF=BG，得CF=OG，則BE+CF=EF.

圖2

其次，課堂中應讓學生親身經歷從“大膽的猜想”到“小心的求證”這樣一個思維的否定之否定的過程.這是因為數學中的合情推理和演繹推理是從已有的事實或經驗出發，憑借經驗或直角，通過歸納或類比推斷某些結果.由于合情推理的結論不一定正確，因此有必要對歸納得到的結論進行驗證.從猜想、假設、質疑再到新的猜想、假設、質疑是循環往復的，如上述問題中“BE+CF與EF的大小關系”的猜想，有同學得到這樣的猜想：“BE+CF=EF”或“BE+CF＜EF”，通過實際測量或者從已有的事實知識出發進行驗證，當發現這一結論與測量的結果不符合實際，或者不能從已有事實推出時，就轉向質疑并否定，于是產生新的猜想和驗證.因此在教學過程中，要讓學生經歷從假設猜想到質疑否定這樣一個批判性思維的形成過程，也是在平常教學中“思考”的沉淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的.

除了上述錯誤，還發現了一些問題，如學生書寫字跡了草，還有很多學生解決此題思維不簡潔，煩瑣復雜，缺乏思維的靈活性，缺乏對新知識的遷移.例如上述問題中在證明“EF＜BE+CF”時，為了證明“GE=EF”，沒有用已知條件DE⊥GF和已證得的結論GD=DF，當然利用這兩個結論可得到ED是線段GD的垂直平分線，從而得出“GE=EF”.然而學生舍近求遠利用“△GED≌△FED”去證明“GE=EF”，“線段垂直平分線”的性質是圖形與幾何中的核心知識，利用這個性質可直接證明線段相等，它們是全等三角形特殊的推廣，閱卷的過程中大部分學生不自覺運用三角形全等去證明線段相等，在一定程度上反映出教師沒有注重解題過程中舉一反三、觸類旁通，沒有重視解題后歸納、反思和思維的優化等.

三、對錯誤的思考

一花一世界，一點雨露能映照出大自然的光輝，同樣學生的錯誤也可折射教與學存在的問題，學生的很多錯誤是有規律的而不是偶然的，從學習者身上觀察到的一系列錯誤表明，錯誤不是教給的，而是學習者構造了自己特有的概念和程式造成的.學生在解題中出錯是學生解題的必然行為，教師對錯例的剖析是解題教學的一部分，因此教師要善待學生的錯誤，既要適當暴露學生的錯誤給出補救和糾正，又要在教學上進行反省；既要消除錯誤的負面影響，又要讓錯誤散發出正能量.同時對錯誤的修正也不能光靠教師的講解和不斷的強化，其更好的途徑是發揮學生的主體作用，進行反思質疑，從而提高錯誤修正的效果.

1.黃興豐，等.初中生在幾何解題中所出現錯誤的調查研究［J］.數學教育學報，2003（8）.

2.戴再平.數學習題理論［M］.上海：上海教育出版社，1996.

3.應建軍.初中數學“五步歸一”錯例修正法的實踐與探索——以一道作業本習題為例［J］.中學數學（下），2015（6）.Z