偽彈性形狀記憶合金梁彎曲特性研究

崔世堂,　劉淑莉，　王　波，　張　科

(1.中國科學技術大學 中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室,安徽 合肥　230026； 2.陸軍軍官學院 四系,安徽 合肥　230031)

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偽彈性形狀記憶合金梁彎曲特性研究

崔世堂1,2,劉淑莉2，王波1，張科1

(1.中國科學技術大學 中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室,安徽 合肥230026； 2.陸軍軍官學院 四系,安徽 合肥230031)

基于理想偽彈性形狀記憶合金的非線性應力應變關系,文章對形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)梁在純彎曲載荷作用下的力學行為進行了研究；給出了加卸載過程中應力、彎矩和曲率之間的解析表達式,彎矩曲率關系呈現明顯的非線性滯回特性；揭示了梁截面上各相的發展演化以及相邊界的運動規律。在加載階段相邊界均隨彎矩的增大向中性層移動,而在卸載階段相邊界的變化規律不僅與加載結束時表層材料所處的狀態有關,還與卸載的程度有關,表現出與加載階段完全不同的特性。

形狀記憶合金;純彎曲;相變;彎矩曲率關系

形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)是一類特殊的兼有功能性和結構強度的智能材料,近年來已受到材料科學和工程界的重視,在機械、航天及醫學等領域逐步得到應用。其最引人注目的2個特性是偽彈性(pseudo-elastic,PE)和形狀記憶效應(shape memory effect,SME),其變形和吸能的物理機制在于熱彈性奧氏體相和馬氏體相的相互轉化[1-2]。當材料處于形狀記憶狀態時,在經歷較大變形后會留下殘余變形,只要適當加熱,變形即可恢復;材料處于偽彈性狀態時,當加載應力超過某一臨界值,將產生應力誘發馬氏體相變,相變結束后,材料由奧氏體相轉變成馬氏體相。材料卸載達到另一臨界值時將誘發馬氏體相變,材料重新轉變成奧氏體相。加卸載的過程并不重合,應力應變曲線具有較大的滯回,但卸載后無殘余變形,呈現出和普通彈塑性材料截然不同的特性。目前對于SMA梁的研究主要集中在準靜態,文獻[3]從理論上研究了偽彈性SMA梁的彎曲問題,給出了在單彎矩脈沖作用下矩形截面梁的彎矩曲率表達式。文獻[4-5]研究了2個數值計算程序來確定梁截面的響應,并采用有限元方法模擬了三點彎曲和四點彎曲實驗,數值計算結果和實驗非常接近。文獻[5]建立了一維本構模型,考慮了熱力耦合作用并借助于有限元方法對純彎曲問題進行求解。文獻[6]通過實驗和數值方法研究了加載過程中SMA絲的彎曲問題。文獻[7]通過實驗和數值方法研究了SMA梁的彎曲問題,目的在于驗證其提出的相變函數。在上述研究中,更多關注的是偽彈性狀態下SMA梁的變形以及梁截面上應力分布等問題。而在加卸載過程中,梁截面上相邊界處的應力梯度存在間斷,截面上會由于材料的相變演化形成運動的相邊界,對相邊界的運動規律以及各相之間的演化等問題的研究相對不多。

本文以理想偽彈性SMA梁為研究對象,通過引入平截面假定,研究了純彎曲情況下矩形截面梁的彎曲特性。以曲率為基本未知量,得到了加卸載階段截面上的應力和彎矩分布的解析表達式,并通過數值算例揭示了加卸載過程中梁截面上各相的演化以及相邊界的運動規律。

1　形狀記憶合金的本構關系

理想偽彈性SMA的應力應變關系如圖1所示。

圖1　理想偽彈性SMA的應力-應變曲線

在加載階段,奧氏體相開始向馬氏體相轉變的起始應力和應變分別為σ2=465 MPa和ε2=0.75%(A點),奧氏體相完全轉化為馬氏體時的應力和應變分別為σ2=465 MPa和ε4=4.75%(B點);在卸載階段,如果卸載開始時的應變ε>ε4,逆相變開始時的應力和應變分別為σ1=186 MPa和ε3=4.3%(C點),逆相變結束時的應力和應變分別為σ1=186 MPa和ε1=0.3%(D點)。如果加載結束時的應變為εB′(B′點),卸載后應變沿著B′C′降至εC′(C′點)后開始發生逆相變,沿C′D和DO回到原點。為簡化起見,假設奧氏體相和馬氏體相的彈性模量均為E,彈性卸載段和彈性加載段斜率相同,即圖1中OA∥B′C′。

2　加載階段的應力分布和彎矩曲率關系

假設矩形截面梁的寬度為B,高度為2H,如圖2所示。

圖2　梁微元段彎曲示意圖

在純彎曲加卸載過程中始終滿足平截面假定[8],根據經典的梁理論,離開中性層的距離為y處的應變如下:

(1)

其中,κ為截面中性層的曲率。

記λ1=ε4/ε2,λ2=ε3/ε1,當截面表層材料的應變分別為ε1、ε2、ε3、ε4時,定義其曲率分別為:

(2)

根據平截面假定,在整個加卸載過程中截面表層材料的應變始終最大,且在純彎曲的情況下,梁截面上材料處于單向拉伸或者單向壓縮狀態,考慮到截面的幾何形狀、受力狀態與材料的應力應變曲線的對稱性,僅對受拉側進行分析。在加載過程中,總是表層材料率先發生相變或相變完成,因此表層材料處于奧氏體相(0≤κ<κ2)、混合相(κ2≤κ<κ4)和馬氏體相(κ4<κ)。

2.1奧氏體相階段

梁整個截面上材料始終為奧氏體相,并沒有相變發生,截面上的應力分布如圖3a所示。

(3)

隨截面上的彎矩不斷增大,表層材料的應變首先達到ε2,彈性階段結束。

圖3　加載過程中的應力分布

2.2混合相階段

表層材料開始相變,相變區自表面向中心擴展,此時截面上中心部分材料處于奧氏體相,外層材料處于奧氏體相和馬氏體相的混合狀態,奧氏體相區和混合相區之間存在一個相邊界B1,如圖3b所示。當表層材料的應變達到ε4時,表層材料已完全轉化為馬氏體相,第2階段結束。設相邊界的高度為y1,相邊界處的應變為ε2,可得:

(4)

由(4)式可見,隨著截面彎曲變形(κ)的增大,相邊界的高度減小,即相邊界B1向中性軸方向移動,圖3b中的箭頭代表相邊界移動的方向。截面上應力的分布為:

(5)

2.3馬氏體相階段

截面表層材料相變完成,完全處于馬氏體相。截面中心向外分別為奧氏體相區、混合相區和馬氏體相區。在奧氏體相區和混合相區、混合相區和馬氏體相區的界面上存在2個相邊界B1和B2,如圖3c所示。設相邊界B1和B2的高度分別為y1和y2,y1處的應變為ε2,y2處的應變為ε4,由應變和曲率之間的關系可得相邊界的高度如下:

(6)

截面上的應力沿高度的分布表達式為:

(7)

截面上的平衡條件為:

(8)

將(3)式、(5)式和(7)式分別代入(8)式,可得加載階段的彎矩曲率關系為:

(9)

其中,I為梁截面的慣性矩。

3　卸載階段的應力分布和彎矩曲率關系

設加載結束時梁中性軸的曲率為κi,當0≤κi<κ2時，整個截面處于彈性變形,截面上的應力分布如圖3a所示,卸載后的彎矩M為:

(10)

當κ>κ2時,表層材料已發生相變或相變完成,從不同的階段進行卸載,卸載的路徑完全不同。以下對κ2≤κi<κ4和κi>κ42種情況進行討論。

3.1κ2≤κi<κ4

加載結束時,相邊界B1的高度為：

(11)

截面上的應力分布如圖3b所示。根據卸載階段截面上材料的相變特性分為4個階段。

(1)κi-(δ/H)<κ<κi。卸載開始后,截面上的應力和應變線性減少,并與截面高度呈正比,因此表層材料應變降得最快,當表層材料的應變減小δ時,表層材料最先到達逆相變的臨界點,而其余位置并沒有逆相變發生,此時截面中性軸的曲率減小δ/H,而相邊界B1處的應變減小量Δε<δ,逆相變還沒有開始,因此相邊界并沒有移動，此時的應力分布如圖4a所示,截面上的應力分布表達式為:

(12)

圖4　κ2≤κi<κ4時卸載階段的應力分布

(2) (κ1κi/κ2)≤κ<κi-(δ/H)。隨著截面曲率的減小,表層材料開始發生逆相變,在逆相變區和混合相彈性卸載區之間出現一個向中心發展的卸載相邊界U1,如圖4b所示。B1和U1之間的材料進行彈性卸載,并沒有發生逆相變,相邊界B1的高度不變。直到相邊界B1處的材料達到逆相變的臨界點,卸載相邊界U1和相邊界B1重合,此時截面中性軸的曲率降為κ1κi/κ2。設卸載相邊界U1的高度為y2,此處的應變減小了δ,根據應變和曲率的關系可得:

(13)

截面上的應力分布表達式為:

(14)

(3)κ1≤κ<(κ1κi/κ2)。整個混合相區都在發生逆相變,相邊界B1消失,出現1個新的向表層移動的卸載相邊界Ub1,如圖4c所示。直至移動到梁的表層,該階段結束,結束時中性軸的曲率降為κ1。設卸載過程中相邊界Ub1的高度為yb,此處的應變為ε1,根據應變和曲率的關系可得:

(15)

截面上的應力分布表達式為:

(16)

(4) 0≤κ<κ1。截面上材料逆相變完成后,材料處于奧氏體相,相邊界消失,截面上應力分布如圖4d所示。截面上的應力分布表達式與 (3) 式相同。

3.2κi>κ4

當加載結束時中性軸的曲率κi>κ4時,截面表層材料已經相變完成,完全處于馬氏體相,截面上的應力分布如圖3c所示。根據卸載截面上材料的相變特性分為5個階段。

(1) (κ1λ2/κ2λ1)κi<κ≤κi。卸載開始后,奧氏體相區、混合相區和馬氏體相區的應力和應變線性減小,但逆相變沒有開始,相邊界的位置并沒有發生變化,截面上應力的分布如圖5a所示。

圖5　κi>κ4卸載階段應力分布

相邊界B2處的應變為ε4,當該處的應變減小δ降為ε3時,y1和y2之間的混合相區的應變減小量Δε均小于δ,混合相區僅發生彈性卸載,并沒有發生逆相變。根據平截面假定,馬氏體相區的應變ε(y)均大于ε3,即馬氏體相區也沒有發生逆相變,因此卸載過程的逆相變首先是從相邊界B2處開始。

當相邊界B2處開始發生逆相變時,梁截面中性軸的曲率降為(κ1λ2/κ2λ1)κi。截面上應力的分布表達式為:

(17)

(2)λ2κ1<κ≤(κ1λ2/κ2λ1)κi。逆相變在y2處發生后,相邊界B2消失,形成兩條向兩側發展的卸載相邊界U1和U2,如圖5b所示。此時截面上自中性軸向外依次為奧氏體相區、未發生逆相變的混合相區、已發生逆相變的混合相區和馬氏體相區。當相邊界U2達到梁表面時,該階段結束,此時梁中性軸的曲率降為λ2κ1。設新的卸載相邊界的高度分別為yb1和yb2,卸載相邊界U1處由于卸載應變減小了δ,相邊界U2處的應變為λ2Hκ1。因此卸載相邊界U1和U2的高度分別為:

(18)

截面上的應力分布表達式為:

(19)

繼續進行卸載,截面上應力的分布、相邊界的移動規律等均與表層材料為混合相時的卸載規律相同。

3.3彎矩曲率關系

根據以上各個階段的應力分布,將應力的表達式代入 (8) 式可得不同卸載階段的彎矩曲率關系。

當κ2<κi<κ4時,即加載至表層材料為混合相時，卸載的彎矩表達式為:

(20)

當κi>κ4時,即加載至表層材料為馬氏體相時卸載的彎矩表達式為:

(21)

4　結果分析

加卸載階段的無量綱彎矩曲率關系如圖6所示。

圖6　彎矩-曲率關系

由圖6可知，兩階段均表現出明顯的非線性偽彈性滯回特性,圖6中的M2=EIκ2,即表層材料開始發生相變時對應的彎矩,圖6和圖1中的字母一一對應。彈性加載段(OA)的彎矩和曲率呈線性關系,當表層材料發生相變后,梁的抗彎剛度降低,彎矩曲率曲線(AB)的斜率降低,曲率持續增加,而彎矩變化并不大。當表層材料相變完成后,梁的抗彎剛度進一步增大,彎矩曲率曲線(BE)的斜率再次增大。而在卸載階段,無論加載結束時表層材料處于混合相還是馬氏體相,卸載后都會發生彈性卸載,如圖中的BC、B′C′等,并沒有發生逆相變,該階段的彎矩曲率關系呈線性;而在逆相變開始后,彎矩曲率關系呈現出明顯的非線性,卸載的曲線和加載曲線并不重合,直至逆相變完全結束(D),再次進入彈性卸載階段。

加載結束時表層材料為混合相和馬氏體相后進行卸載的相邊界演化圖如圖7所示。

(a)　κ2<κi≤κ4

(b)　κi>κ4

圖7中的數字代表卸載的階段。加載階段的相邊界B1和B2用虛線表示,卸載階段的相邊界用黑實線表示,箭頭指向代表運動的方向。在加載階段,隨彎矩的增大,表層材料率先發生相變或相變完成,相邊界自表面向梁中心擴展,當表層材料為混合相時,相邊界B1隨彎矩增大迅速向截面中心移動,一旦表層材料相變完成,相邊界B1向中心擴展的速度明顯趨緩。

5　結　　論

本文基于平截面假定,對理想偽彈性SMA梁純彎曲條件下某截面的變形行為進行了分析,揭示了梁截面上相變區的發展演化過程以及相邊界的運動規律,給出了加卸載過程中應力和曲率、彎矩和曲率之間的解析表達式,得出以下結論:

(1) 梁截面上的彎矩曲率關系表現出明顯非線性的滯回,呈現出材料本身特有的偽彈性特性,卸載結束后并沒有殘余變形。

(2) 加載階段,截面上的應力幅值隨距中性層距離的增大而單調增大,相邊界隨彎矩的增大向中性軸方向移動。

(3) 卸載階段,截面上的應力沿截面高度方向不具有單調性,卸載相邊界的個數、運動方向與加載結束時表層材料所處的狀態有關。當加載結束時表層材料處于混合相時,逆相變首先從表層開始,形成一個向中心傳播的卸載相邊界,整個過程只有一條移動的相邊界;而當加載結束時表層材料處于馬氏體相時,逆相變首先發生在馬氏體相和混合相的界面上,形成2個移動方向相異的卸載相邊界。無論加載結束時表層材料處于何種狀態,逆相變最終均在表層完成。

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(責任編輯閆杏麗)

Research on bending properties for ideal pesudo-elastic shape memory alloy beam

CUI Shitang1,2，LIU Shuli2，WANG Bo1，ZHANG Ke1

(1.CAS Key Laboratory of Mechanical Behavior and Design of Materials, University of Science and Technology of China, Hefei 230026，China; 2.No.4 Dept., Army Officer Academy, Hefei 230031, China)

Using an ideal pesudo-elastic constitutive model of shape memory alloy(SMA), the behavior of the SMA beam section under pure bending condition is analyzed. The analytical expressions of stress, moment and curvature are deduced. The moment-curvature relationships show nonlinear hysteretic characteristic. The development and evolution of phase constituents and the moving law of phase boundaries are revealed. The phase boundaries move to the neutral axis with the increase of moment during the loading stage, while during the unloading stage, the change law of phase boundaries is relate to the state of surface material and the degree of unloading and exhibits completely different properties.

shape memory alloy(SMA); pure bending; phase transformation; moment-curvature relationship

2015-04-27；

2015-07-09

安徽省自然科學基金資助項目(1408085ME84)

崔世堂(1978-),男,山東臨沂人,博士,中國科學技術大學副研究員.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.08.008

O347

A

1003-5060(2016)08-1043-06