帶形狀參數的二次非均勻雙曲B樣條曲線

方　玲,　王旭輝

(合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥　230009)

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帶形狀參數的二次非均勻雙曲B樣條曲線

方玲,王旭輝

(合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥230009)

文章給出了帶形狀參數λ的二次非均勻雙曲B樣條曲線,可以通過改變λ值來調節曲線形狀,從而為曲線表示提供了一種新方法。此外,該曲線不僅具有一般多項式B樣條曲線的諸多優良性質,還可以精確地表示雙曲線。文章給出具體例子說明通過改變λ的值來反映其對圖形的影響。

雙曲B樣條;形狀參數;非均勻節點;調節

0　引　　言

B樣條是一種通過基函數的線性組合表示的特殊樣條曲線。B樣條曲線在CAD、CAGD中被廣泛應用。為了調整B樣條曲線的形狀,可以通過調節其控制頂點或改變其節點向量來完成,但這2種方法都有一定的局限性,如調節其控制頂點需要重新計算曲線方程,改變節點向量沒有一定的規則。為了完善這些不足,人們研究了其他形式的樣條曲線。例如,有理B樣條曲線、三角多項式曲線[1-8]、雙曲樣條曲線[9-17],但是由于之前研究的曲線通過權因子的變化來調整曲線的形狀或改變曲線的位置在計算方面(如求導、求積等)比較麻煩。為了增加對樣條曲線的控制性,文獻[11-15]研究了帶形狀參數的樣條曲線,可以更加方便有效地對曲線形狀進行調控。雖然二次非均勻B樣條曲線的結構比較簡單,但是它廣泛應用于曲線曲面造型。

本文通過增加形狀參數,給出了一種帶一個形狀參數的雙曲B樣條曲線的構造方法,不僅保持了雙曲樣條的連續性、幾何不變性等很多優良性質,而且可以通過改變形狀參數得到不同形狀的曲線,達到調控曲線形狀的效果。更重要的是該曲線能精確表示某些圓錐曲線和超越曲線。文獻[3-8]中提出的方法能夠精確表示橢圓,但不能精確表示雙曲線,本文的方法能夠精確地表示雙曲線,補充了上述文獻中提出的方法的不足。與文獻[14]相比,在能夠達到同樣的目的下,本文構造的基函數形式更簡潔、更易于應用。另外,相比于多參數的方法,在精確表示雙曲線方面,單參數的方法更易于計算參數與調控。

1　二次雙曲B樣條的基函數

1.1基函數的構造

定義1對于任意給定的節點u0

稱

(1)

為第i個帶形狀參數λ的二次非均勻雙曲B樣條基函數,簡稱二次雙曲B樣條基函數。當取均勻節點向量時,稱(1)式為第i個帶形狀參數λ的二次均勻雙曲B樣條基函數。

經驗證,若節點是均勻的,當λ=0時,(1)式定義的基函數為文獻[9]中當α=1時的二次均勻雙曲B樣條基函數。

1.2基函數的性質

定理1通過(1)式所定義的基函數具有以下性質:

(1) 局部支撐性。當ui0;當u0≤u≤ui或ui+3≤u≤un+3時,bi(u)=0。

證明證明如下：

(1) 當ui

1-cosh1<0,

所以有：

即

即

當ui0,ci>0,所以βici>0。

當ui+1

因為

所以

即0<1-βi+1ci+1-αi+1di+1<1。

當ui+20,di+2>0,所以αi+2di+2>0。

1.3基函數的連續性

定理2設節點u0,u1,…,un+3滿足u0

證明因為

所以

故(1)式定義的基函數bi(u)可以通過調節形狀參數λ來改變基函數,如圖1所示。

圖1　形狀參數λ的變化對基函數的影響

1.4重節點的情形

當雙曲B樣條基函數的節點重數k≤3時,只要把對應的區間縮小為0,并去掉基函數的相應段即可。特別地,當ui+1=ui+2時,Δui+1=0,(1)式變為：

(2)

定理3若u=uj(j=i,i+1,i+2,i+3)是基函數bi(u)的k (k=2,3)重節點,則基函數的支撐區間從3段減少為4-k段。對均勻節點,當k=2時,基函數在uj上連續;當k=3時,基函數不連續。對非均勻節點,基函數不連續。

節點u2=3為2重節點,其余節點分別為單節點且等距或不等距時的基函數如圖2所示。

圖2　節點u2=3為2重節點,其余節點為單節點的基函數

從圖2可以看出,除重節點外,若其余節點為單重且等距,則基函數是連續的;若其余節點為單重且不等距,則基函數不連續。

2　二次雙曲B樣條曲線

利用定義1的基函數(1),可以定義如下的二次雙曲B樣條曲線。

定義2任意給定R2或R3中控制頂點P0,P1,…,Pn(n≥2),節點 u0,u1,…,un+3及形狀參數0≤λ<2e/(e2-1),則

(3)

稱(3)式為單形狀參數的二次非均勻雙曲B樣條曲線,其中bi(u)為(1)式所定義的基函數。

當ui

(4)

2.1曲線的連續性

定理4給定節點u0,u1,…,un+3,當u=ui為單節點時,(3)式定義的曲線在該點為C1連續;當u=ui為k重節點時,(3)式定義的曲線在該點為C2-k連續(k=2,3)。

2.2曲線的整體調控性

給定樣條曲線的控制頂點,其對應的二次樣條調控性可分為:

(1) 固定節點,通過改變λ的值來進行調控,如圖3a所示。

(2) 固定λ,通過改變節點來進行調控,如圖3b所示。

(a)　改變λ

(b)　改變節點向量

2.3精確表示雙曲線

定理5二次樣條曲線(3)式可精確表示雙曲線。

證明令之前所定義的雙曲B樣條曲線中的λ=0,控制頂點為Pi=(xi,yi),i=0,1,2,且x2=x0≠0,y2=-y0≠0,x1=y1=0,則有：

(5)

則有：

(6)

易知(6)式可精確表示雙曲線,如圖4所示。

圖4　精確表示的雙曲線

2.4圖形例子

通過改變二次雙曲B樣條的形狀參數λ值得到的一系列圖形如圖5所示。

(a)　花瓣

(b)　心形

3　結　　論

本文構造了帶一個形狀參數的二次雙曲B樣條曲線,其形式比較簡單,具有二次B樣條曲線的連續性、權性等性質，并且能夠整體調控曲線,能精確表示雙曲線,能近似表示圓與橢圓。當控制多邊形和節點向量確定時,可以通過改變形狀參數的大小來調整曲線的形狀,從而獲得需要的形狀。

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(責任編輯朱曉臨)

Quadraticnon-uniformhyperbolicB-splinecurveswithashapeparameter

FANGLing,WANGXuhui

(SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009，China)

Akindofquadraticnon-uniformhyperbolicB-splinecurvewithashapeparameterλispresented.Theshapeofthecurvecanbemanipulatedbychangingthevalueoftheparameterλ,thusconstructingasimplemethodtorepresentplanarcurves.ThiskindofcurvenotonlypossessesthemostadvantagesofquadraticpolynomialB-splinecurves,butalsorepresentshyperbolasaccurately.Thenumericalexamplesaregiventodemonstratetheeffectoftheparameterλonthegraphbychangingthevalueofit.

hyperbolicB-spline;shapeparameter;non-uniformknot;regulation

2015-03-30；

2015-08-14

國家自然科學基金青年基金資助項目(11301131)

方玲(1989-),女,安徽安慶人，合肥工業大學碩士生;

王旭輝(1980-),男,安徽廬江人，博士,合肥工業大學副教授,碩士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.08.028

TP391

A

1003-5060(2016)08-1148-05