一種稀疏度自適應的壓縮感知信道估計算法

林思銘,　彭衛東,　李明陽,　林志國,　李　瑞

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一種稀疏度自適應的壓縮感知信道估計算法

林思銘1,2,彭衛東2,李明陽3,林志國1,2,李瑞1,2

(1.空軍工程大學 裝備管理與安全工程學院,陜西 西安710051; 2.空軍工程大學 裝備發展與運用研究中心,陜西 西安710051; 3.中國人民解放軍95972部隊,甘肅 酒泉735018)

針對目前稀疏度自適應的壓縮感知(compressed sensing,CS)信道估計算法計算量過大的問題,文章提出了基于關聯度分析的稀疏度自適應歸檔正則化迭代硬閾值(sparsity adaptive archiving normalized iterative hard thresholding,SAANIHT)算法。ANIHT算法可以解決傳統壓縮感知理論計算量大、計算時間過長的問題,但需要預知信道的稀疏度。引入高斯核函數對一種稀疏度估計算法進行了改進,并與ANIHT算法結合,使其可以在盲稀疏情況下對信道進行估計。仿真結果表明,在同等稀疏度條件下,該算法比其他算法節約了計算時間,在低信噪比下性能更優,具有較好的重構性能與穩定性。

壓縮感知;稀疏多徑信道估計;歸檔正則化迭代硬閥值算法;高斯核函數;稀疏度自適應

壓縮感知(compressed sensing,CS)理論被提出以來,已產生了大量的相關研究與應用。該理論主要涉及3個方面的內容,即信號的稀疏表示、觀測矩陣的構建與重構算法[1-2]。信號能夠被稀疏表示是壓縮感知的前提,如果信號在某個變換基上是稀疏的,設計一個與變換基不相關的觀測矩陣對信號進行觀測,從觀測集合中可以重構出原始稀疏信號。

在無線通信中,準確的信道估計是通信系統的信號檢測、均衡等步驟的基礎和關鍵。已有的信道估計算法分為基于導頻或訓練序列的估計算法和盲估計算法,前者主要包括最小二乘(least square,LS)估計算法,但需要較大的導頻開銷,而后者不適用于較低信噪比情況。已有研究表明,無線多徑信道具有稀疏特性[3-4],利用壓縮感知只需要較少的參考信號即可恢復信道的狀態信息,相對于最小二乘法等傳統信道估計方法大大節省了導頻開銷與計算時間。測量矩陣通常由訓練序列構成,研究主要集中在重構算法方面,主流算法包括基于貪婪算法的匹配追蹤(matching pursuit,MP)算法及正交匹配追蹤(compressive sampling matching pursuit,CoSaMP)算法[5-6]等,其中CoSaMP算法的導頻開銷更小,性能較優。但上述算法存在計算量較大的問題,迭代硬閾值(iterate hard thresholding,IHT)[7]算法復雜度較低,已有研究者改進了其收斂速度慢的缺點[8-10]。

上述重構算法在計算時,需要信道的稀疏度信息,而接收機并不能獲知信道稀疏度信息。稀疏度自適應匹配追蹤算法(sparsity adaptive matching pursuit,SAMP)[11]不需要預知信號稀疏度,但存在運算速度過慢和過估計的問題。針對稀疏度未知信道,本文結合閾值迭代算法、測量向量的關聯分析理論和回溯迭代的思想,提出一種稀疏度自適應的歸檔正則化迭代硬閾值(sparsity adaptive archiving normalized iterative hard thresholding,SAANIHT)算法,解決了自適應中的欠估計與過估計問題。實驗仿真表明,本文提出的算法比SAMP和其他稀疏度自適應算法運算時間縮短,在低信噪比下具有較優的重構性能與穩定性。

1　基于壓縮感知的信道估計模型

一般的無線信道可以等效為線性、時變系統,傳輸模型可以表示為:

(1)

其中,y(t)為接收信號;X(f)為發送信號的傅里葉變換;H(t,f)為信道的時變頻率響應;n(t)為服從N(0,σ2)的高斯白噪聲。若在一個符號周期內,信道的沖激響應是不變的,沖激響應系數則可以簡化為一個長度為N的復增益系數h(i)=aie-jθi(i=0,1,2,…,N-1)。

在導頻輔助的信道估計中,訓練序列的符號可以表示為x(i)(i=1,…,p),其中p為訓練符號的長度,在接收端,采樣符號表示為y(j)(j=1,…,N+p-1),則有:

(2)

假設P為訓練序列組成的(N+M-1)×N維的Toeplitz矩陣,對于傳統的信道估計算法,最小二乘法的信道估計輸出hLS=(PHP)-1PHy,但該方法對導頻長度要求較高,且抗噪性能很差;最小均方誤差估計算法設計了自相關矩陣Rhh，估計值hLMMSE=Rhh[Rhh+σ2(XXH)-1]-1hLS,精確性優于最小二乘法,但涉及大量矩陣的逆運算,計算復雜度高,不適合工程應用。而在基于壓縮感知的信道估計中,(2)式可以直接簡化為:

(3)

即通信系統的傳輸模型可以表示為:

y=Xh+n

(4)

其中，X為具有Toeplitz結構的M×N(M

min‖h‖1,

(5)

其中,ε為噪聲能量。

PN(pseudo-noise sequence)序列作為信道估計訓練序列時,重構性能比其他構造方法更加優異。本文選取PN序列循環移位生成的優化觀測矩陣作為觀測矩陣X。文獻[8]已證明，對于該矩陣X，始終存在δk∈[0,1-1/n)∈[0,1)，使之滿足RIP特性,為估計算法的重構精度提供了保證。

2　信道估計算法

2.1稀疏度自適應算法

壓縮感知的傳統重構算法不適用于稀疏度未知的情況,針對這一問題,文獻[11]提出的SAMP算法是利用分段思想實現信號重構,雖然估計精確度較高,但迭代次數很大,非常費時;文獻[13]采用原子匹配測試的方法,提出了一種改進的MSAMP算法;文獻[14]根據相鄰信號能量差的變化規律,提出了對數型“變步長”的雙閾值估計法。這些算法都一定程度上優化了SAMP算法,但沒有跳出原有框架,收斂速度的提升有限。文獻[15]運用小波分析的方法,將稀疏度估計與重構過程分開,減少了收斂時間,對算法研究具有啟發意義。

已有的重構迭代方式基本都是通過迭代計算找出合適的原子組成支撐集,進而重構原始信號。借鑒信號重構的思想,使用測量向量與測量矩陣的關聯度信息來獲得稀疏度的粗略估計[16],定義接收信號與觀測矩陣的關聯性,即

C=XTy

(6)

其中,C為關聯向量;XT為觀測矩陣的轉置。

C的物理意義在于每個元素的值表示了測量矩陣中的每個列向量與接收信號的關聯度大小。定義“有效原子”為測量矩陣中與信道系數非0向量的對應列,其與測量向量的關聯度高于其他“未激活原子”。在理想情況下,采用該方法分析長度為64、稀疏度分別為2、4、8、16的稀疏信道,得到關聯向量的二階差分幅值降序,如圖1所示。

圖1　關聯向量的二階差分幅值降序排列

圖1中,幅值為關聯向量的系數模值,單位為1。由圖1可以看出,在基于關聯度分析的方法中,幅值在真實稀疏度附近會有一定程度的突降,因此該方法可以大致估計信道稀疏度,但在稀疏度較高時準確性會受到一定的影響。基于關聯度分析理論,定義稀疏度估計式[16]為:

(7)

其中,D為關聯向量C各元素降序排列的二階差分向量;L為信道長度;ρ為閾值系數,ρ∈[1,10)。在實際應用中,ρ的取值依賴經驗,取值過大,容易造成稀疏度粗估計過小,若粗估計值過小,將很難對其進行修正,但是,若信道稀疏度很低,需要取很大的ρ值才能讓稀疏度盡快收斂;同時,由于無線信道的時變特性,很難找到能夠對應多種情況的ρ值。因此,需要對其進行改進。

高斯核的定義是信號距離的平均值,近似高斯核變換可以去除無關信息[17],獲取冗余信息來作為稀疏度粗估計的外部信息。通過將接收信號和關聯向量的差放大，高斯核函數的圖形可以在一定程度上反映出稀疏情況。本文引入高斯核函數,定義基于高斯核函數的稀疏度估計表達式為:

(8)

其中,η為估計系數,初始值一般設為2。高斯核函數值與最大二階差分值的乘積能夠在一定程度上反映信道狀況,與(7)式相比不需要依賴經驗,對實際應用具有一定的價值。

當粗估計稀疏度后,若信號重構的信號殘差超出容忍度,需要對稀疏度進行修正,定義稀疏度修正表達式為:

(9)

不同于已有的指數型修正方法,本文選用二階差分向量中的從Kn到L-2位數據對稀疏度進行修正,從而可以避免指數型修正方法在多次迭代后使重構算法陷入死循環;但本文的辦法可能導致在一定修正次數后,恒等于某一個遠小于稀疏度的值。為了解決這一問題,設置當Kn+1=Kn時,令η=η+1,采用(9)式對稀疏度進行修正。設置信道稀疏度為8,當稀疏度粗估計值為20,分別采用2種方式對稀疏度進行修正,結果如圖2所示。

圖2　2種稀疏度修正方式對比

由圖2可以看出,在粗估計值相對實際稀疏度較大的情況下,本文方法對稀疏度的逼近更快,而且避免了指數型修正方式的稀疏度震蕩問題;另一方面,從算法復雜度來看,本文算法僅涉及1次指數運算,而指數型修正法每次都要調用指數運算,算法復雜度高出了1個數量級。

2.2稀疏度自適應信道估計算法實現

由于信道估計中的觀測矩陣滿足RIP性質,線性規劃算法和貪婪算法都能精確估計信道系數。凸優化算法不適合求解大規模信號,且可能產生能量搬移問題。貪婪算法計算時間過長,且性能受限于稀疏度大小。IHT算法對應求解l0問題,通過直接計算稀疏信號的非零元個數,尋找逼近度最高的K項支撐[8],文獻[10]對IHT算法提出了改進,構造了NIHT算法,該尺度因子對NIHT算法進行了較大簡化。文獻[8]結合了NIHT與BIHT算法[9-10],利用外部歸檔引入精英策略設計了ANIHT算法,該算法比原有算法收斂速度更快,在低信噪比下重構精度和穩定性更高,而且配合由PN序列組成的觀測矩陣,可以將算法中的乘積運算簡化為加減運算,降低了硬件的資源占用,具有較高的工程應用價值。

結合改進的稀疏度估計和信號重構算法,本文給出改進算法的具體步驟,稱為基于關聯度分析的歸檔正則化迭代硬閥值算法。

稀疏度估計的具體步驟如下:

(1) 對于接收信號,計算關聯向量C=XTy。

(2) 計算C的二階差分值,得到二階差分向量D=diff2(C),并將各元素按幅值降序排列。

(3) 粗略估計稀疏度,即

信道重構的具體步驟如下:

(1) 令r0=y,h0=0,μ0=1,a0=1。

(2) 如果ai>hi+μiXTri,則

ai=hi+μiXTri;

(3) 如果|hi-hi-1|l∞≤ε,迭代結束。否則,若k

(4) 輸出信道系數的估計值h。

3　仿真與性能分析

本文在Matlab平臺上進行仿真驗證,仿真采用OFDM信道模型,發送的信號功率為1,設置信道長度為64,稀疏度為8,誤差容忍度為10-2,訓練序列為長度64的PN序列,在信噪比(signal noise ratio,SNR)為10 dB下進行仿真,本文方法的估計結果如圖3所示。

圖3　估計性能

由圖3可知,通過設置適當的誤差容忍度,本文方法可以高概率地重構真實多徑,由于噪聲影響,個別徑上的信道系數估計存在一定誤差,但這種誤差會隨著信噪比的增大而可以忽略不計。

對本文算法在不同信噪比下的估計性能進行仿真,并與SAMP算法和文獻[15]提出的算法進行對比,設置信道條件不變,將信噪比范圍改為0～30 dB,對不同算法分別進行100次MonteCarlo仿真。不同算法的均方誤差(mean squared error,MSE)性能曲線如圖4所示。

圖4　不同算法的性能比較

由圖4可以看出,隨著信噪比的增加,不同算法信道估計的均方誤差都不斷下降。由于ANIHT算法在縮短收斂時間時犧牲了重構精度,加上算法設計原理不同,精度的提升速度較其他算法稍慢;但在低信噪比下,本文算法相對于其他算法具有更優性能,更適合工程實際應用。

在實際工程應用中,對于壓縮感知的信道估計算法,不僅需要其重構算法具有較高的重構精確度,還由于無線信道的快速時變特性,需要算法具有較低的運行收斂時間。測試使用的計算機配置為Pentium(R)Dual-Core 2.5 GHz,2.5 GHz搭載2 G內存,其他條件與上文相同。本文提出的算法與其他算法的運行收斂時間見表1所列。由表1可知,與其他稀疏度自適應的信道估計算法相比,本文算法減少了計算量,收斂時間較短。

表1　不同算法的計算時間對比　s

4　結　　論

本文提出了一種稀疏度自適應的壓縮感知無線信道估計算法SAANIHT,該算法分為2步,即稀疏度粗估計和信道重構與稀疏度修正。仿真結果表明,相比于其他算法,本文算法的性能更優、計算量更小、收斂速度更快,具有一定的應用價值。

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(責任編輯胡亞敏)

A sparsity adaptive CS-based channel estimation algorithm

LIN Siming1,2,PENG Weidong2,LI Mingyang3,LIN Zhiguo1,2,LI Rui1,2

(1.College of Equipment Management and Safety Engineering,Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China; 2. Research Center of Equipment Development and Application, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China; 3.Unit 95972 of PLA, Jiuquan 735018, China)

The traditional sparsity adaptive multipath channel estimation algorithms based on compressed sensing(CS) cost too much time. For solving this problem, a sparsity adaptive archiving normalized iterative hard thresholding(SAANIHT) algorithm based on correlation analysis is proposed. The ANIHT algorithm has fewer calculation amount than traditional algorithm only if the channel sparsity degree has been known. In order to make the algorithm possess the ability of blind sparse channel estimation, a sparsity adaptive method optimized by the Gaussian kernel function is introduced. The simulation results show that for the same sparsity degree, the proposed algorithm costs fewer time than other algorithms and has better performance in low signal-to-noise ratio and better convergence performance and stability.

compressed sensing(CS); sparse multipath channel estimation; archiving normalized iterative hard thresholding(ANIHT) algorithm; Gaussian kernel function; sparsity adaptive

2015-10-28；

2016-02-24

國家自然科學基金資助項目(6150051163)

林思銘(1992-),男,福建福州人,空軍工程大學碩士生;

彭衛東(1968-),男,河北石家莊人,博士，空軍工程大學教授,碩士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.08.010

TN911.5

A

1003-5060(2016)08-1055-05