非均質變截面桿軸向振動的插值矩陣法分析

葛仁余,　張金輪,　韓有民,　牛忠榮,　程長征,　楊智勇

(1.安徽工程大學 力學重點實驗室,安徽 蕪湖　241000; 2.合肥工業大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥　230009)

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非均質變截面桿軸向振動的插值矩陣法分析

葛仁余1,張金輪1,韓有民1,牛忠榮2,程長征2,楊智勇2

(1.安徽工程大學 力學重點實驗室,安徽 蕪湖241000; 2.合肥工業大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥230009)

文章分析了非均質變截面彈性桿軸向自由振動問題,該類桿件的彈性模量、橫截面面積和單位桿長質量是截面位置的函數，對于函數的具體形式無任何限制條件。運用插值矩陣法可一次性地計算出各階振動固有頻率,它們具有同階精度,并可同時獲取相應的振型函數。數值計算結果與現有結果對比表明了文中方法的有效性和良好的計算精度。

變截面桿;軸向振動;固有頻率;插值矩陣法

變截面桿是工程結構中應用廣泛的承力構件,對于變截面桿振動問題,已有研究成果尚缺乏一種計算簡單且精度較高的方法。分析結構振動的固有頻率問題,李茲法是常用的近似計算方法,但計算精度取決于事先假設的振型函數,對于高階頻率的計算往往不能達到滿意的效果。文獻[1-3]用不同的方法對均質變截面桿進行了大量的研究，這些解法不同程度地存在計算方法復雜、求解精度不好的缺點；文獻[4]建立了均質變截面直桿縱振動的頻率方程,將小波分析理論與微分求積法相結合求解微分方程,對其振動頻率進行了分析；文獻[5]根據均質變截面直桿的縱振與等截面直梁的彎曲問題的一些相似性質,把求變截面直桿縱振函數變為求梁彎曲時的截面上的彎矩問題,對應于桿的橫截面面積的某些變化規律,得到了求桿的縱振函數及固有頻率的計算公式。

隨著航空航天工業的飛速發展,非均質變截面直桿振動問題也引起了人們的普遍重視。在工程結構的優化設計中,為了達到強度和質量的最佳分布或滿足結構功能的要求,常常使用非均質變截面直桿類構件。但非均質變截面彈性直桿的軸向自由振動的控制方程是變系數二階偏微分方程,現有的解析方法只能得到一些特殊類型的非均質變截面直桿的振動方程的精確解,例如楔形體和錐體、截去尖端的楔形體和錐體、彎曲剛度隨長度坐標以任意冪函數變化的懸臂直桿等。文獻[6]獲得了計算微弱楔形直桿固有頻率的簡便公式,但該公式對截面變化很大的楔形直桿不能使用；文獻[7]獲得了彈性模量、密度和截面面積以指數形式變化時的直桿縱振和扭振的一個通解,但求解固有頻率時計算量特別大且解的形式比較復雜；文獻[8]采用攝動法得到了該類直桿縱振的固有頻率和振型,但也只適用于彈性模量、密度和截面面積變化微弱的直桿；文獻[9]借助積分方程理論得出一種計算非均質變截面直桿的振動頻率和振型的方法。

本文從非均質變截面桿件一般形式的振動微分方程出發,將非均質變截面桿件振動頻率的計算轉化為常微分方程組的特征值求解,運用插值矩陣法求解常微分方程組特征值問題,可獲得桿件軸向振動所有頻率,同時相應的振型一并解出。插值矩陣法原理簡單、易于計算、實用性好、計算精度高,能靈活適用于任意變截面彈性直桿的軸向自由振動問題。

1　非均質變截面桿軸向振動微分方程

1.1振動微分方程的建立

一變截面桿件如圖1所示。

圖1　變截面桿

設桿件固有軸向振動位移為w(x,t),則非均質變截面桿軸向振動的平衡微分方程[3]為：

(1)

將(1)式展開,則有：

(2)

當非均質變截面桿做固有振動時,設其解為:

(3)

其中,W(x)為桿件軸向振動的振型函數;ω為桿件軸向振動的固有頻率。將(3)式代入(2)式可得非均質變截面桿軸向振動的微分方程為:

(4)

其中,E(x)、A(x)、ρ(x)分別為變截面桿彈性模量、截面面積和密度,皆為截面位置x的函數。

設ξ=x/l,則有0≤x≤l,ξ∈[0,1],單位化后(4)式轉化為:

(5)

由于(5)式中含有ω2項,引入新變量g(ξ),消去(5)式中含ω2的非線性項,組成新的方程組如下:

(6)

當材料為均質材料時,E(ξ)=E,ρ(ξ)=ρ,由(6)式可得均質材料變截面桿軸向振動的方程為:

(7)

從而,非均質和均質變截面桿軸向振動固有頻率分析轉化為求解常微分方程組(6)式、(7)式的常微分方程組特征值問題。

1.2軸向振動微分方程的邊界條件

將(3)式代入下列3種情形,于是將桿端邊界條件轉化為以下表達形式。

情形1一端固定、一端自由的桿件軸向振動邊界條件為:

(8)

情形2兩端自由的變截面桿件,其軸向振動邊界條件為:

(9)

情形3大頭固定、小頭有彈性支承(設其彈性剛度為k)變截面桿件,其軸向振動邊界條件為:

(10)

至此,非均質變截面桿件軸向振動頻率ω的計算歸結為求解在邊界條件(8)～(10) 式下線性常微分方程組(6) 式的特征值問題。一般需要數值方法求解這類問題,本文采用插值矩陣法計算[10-12]。

2　常微分方程組特征值問題求解

針對一般的常微分方程組兩點邊值問題,A.Φ.斯米爾諾夫用拉格朗日多項式插值創立了積分矩陣法,求解區間最多分為7段。文獻[11]在積分矩陣法基礎上建立了插值矩陣法,采用了分段多項式插值,使得求解區間可以任意等分,計算值可達到充分高的精度。假設一個含r個方程的線性常微分方程組特征值問題為(11)式,相應的邊值條件為(12)式,即

(11)

(12)

插值矩陣法將求解區間[xa,xb]剖分為n+1個節點、n個子區間,在每個子區間上使用低階分段多項式函數插值逼近待求函數,以常微分方程組中出現的最高階導數在離散節點上的值作為離散系統的未知參數,形成代數特征值方程組,解之可以獲得特征值與相應的特征函數。該方法可以同時求解出常微分方程組特征值問題中出現的所有函數和其各階導數,且具有同階精度。本文采用插值矩陣法來求解非均質變截面桿件軸向振動頻率的常微分方程組特征值問題。

3　算例分析

算例1設一直桿的彈性模量、橫截面面積、密度均以指數函數變化,即

(13)

其中,α、β、γ為常數;E0、A0、μ0分別為ξ=0處的彈性模量、橫截面面積和單位桿長的質量。將(13)式代入(6)式得:

(14)

(15)

令

(16)

將(16)式代入(15)式可得:

(17)

引入新函數g(ξ)=λW(ξ),則(17)式變換為：

(18)

由插值矩陣法求解常微分方程組(18)式,可以獲得非均質變截面桿在一端固定另一端自由和兩端固定的邊界條件下微分方程的特征值λ,再由(16)式可以獲得軸向振動的固有頻率如下：

(19)

本文解與文獻[2]解、文獻[13]解、Bessel解、精確解的對比見表1、表2所列。由表1、表2可見,當m=0,ε=1/2時,本文計算結果與精確解吻合良好,插值矩陣法計算精度比文獻[2]解和文獻[13]解要高。同時本文方法還給出了m、ε為其他任意值時的計算結果,而m、ε為其他任意值時獲得精確解是十分困難的,所以這也是本文方法的一個顯著優點。

表1　算例1一端固定、另一端自由變截面桿軸向振動前8階固有頻率　Hz

表2　算例1兩端固定變截面桿軸向振動前8階固有頻率　Hz

算例2設非均質變截面彈性直桿的參數為:

(20)

其中,E0、A0、μ0分別為ξ=0處的彈性模量、橫截面積和單位桿長質量。將(20)式代入(6)式得：

(21)

(22)

引入新函數g(ξ)=λW(ξ),則(22)式變換為：

(23)

因此,非均質變截面彈性直桿軸向振動固有頻率及其相應振型的計算,轉化為由插值矩陣法求解常微分方程組(23)式特征值問題。由本文方法計算出一端固定、另一端自由的非均質變截面桿軸向振動前8階固有頻率,并與文獻[2]和文獻[14]計算結果比較,見表3所列。由表3可見,本文方法計算值與已有結果吻合良好,再次證明了本文方法的有效性。由本文方法計算兩端固定非均質變截面桿軸向振動前8階固有頻率,結果見表4所列。

表3　算例2一端固定、另一端自由變截面桿軸向振動前8階固有頻率　Hz

表4　算例2兩端固定變截面桿軸向振動前8階固有頻率　Hz

本文方法可計算出(3)式中非均質變截面桿軸向振動的前若干階固有頻率ωn,同時相應的振型W(ξ)也一并解出。表3中前4階固有頻率所對應的振型函數W(ξ)的分布曲線如圖2所示。

圖2　變截面桿軸向振動前4階固有頻率對應的振型

4　結　　論

本文從非均質變截面桿件一般形式的振動方程出發,采用變量代換法,將關于非均質變截面直桿軸向振動固有頻率的一組非線性常微分方程的特征值問題轉化為線性特征問題,用插值矩陣法求解,獲得了軸向振動固有頻率及相應的振型。本文方法可一次性地計算出非均質變截面直桿軸向振動所有固有頻率和相應的振型函數,克服了其他方法的一些缺點,如計算方法復雜、求解精度不好等；求出的同一階振型函數及其各階導數的計算精度是同階的,在利用振型的一階導數計算振動結構應力場時,這是一個顯著優點；本文方法數值計算結果與現有結果吻合良好,表明了本文方法的有效性和良好的計算精度；本文方法適用于任意變截面彈性直桿的軸向自由振動問題,在計算復雜工程結構振動的固有頻率和振型方面具有較高的計算精度和一定的工程應用價值。

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(責任編輯張淑艷)

Longitudinal vibration analysis of nonuniform elastic straight bar with variable cross-section by interpolating matrix method

GE Renyu1,ZHANG Jinlun1,HAN Youmin1,NIU Zhongrong2,CHENG Changzheng2,YANG Zhiyong2

(1.Key Laboratory for Mechanics, Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China; 2.School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

This paper deals with the longitudinal vibration problems of functions of section location of elastic straight bar including elasticity modulus, section area and mass per unit length under the normal conditions. There is no restriction to the specific form of function. By applying the interpolating matrix method to solving the established equations, all the natural frequencies of longitudinal vibration companying with the corresponding vibration mode functions of bar with variable cross-section are calculated at a time. All the calculated natural frequencies of longitudinal vibration have the same high accuracy. The numerical results show that the computed results from the presented method have very high accuracy compared with the existing solutions.

variable cross-section bar; longitudinal vibration; natural frequency; interpolating matrix method

2015-03-30；

2016-06-18

國家自然科學基金資助項目(11272111;11372094);安徽省高校自然科學研究重點資助項目(KJ2016A055)

葛仁余(1969-),男,安徽合肥人,博士,安徽工程大學副教授;

牛忠榮(1957-),男,安徽合肥人,博士,合肥工業大學教授,博士生導師;

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.08.016

O326

A

1003-5060(2016)08-1084-05

程長征(1979-),男,安徽太湖人,博士,合肥工業大學教授,博士生導師.