基于指數化主成分分析的國民生產總值應用研究

時志剛

江西財經大學信息管理學院，江西　南昌　330013

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基于指數化主成分分析的國民生產總值應用研究

時志剛*

江西財經大學信息管理學院，江西南昌330013

在對原始數據進行主成分分析之前，采用指數化的方法對原始數據進行預處理。利用指數化主成分分析方法對全國各省市影響GDP增長的因素進行分析，使用Matlab軟件對數據進行仿真模擬，以princomp函數輸出結果為根據，提取出反映GDP增長的主成分，為經濟決策提供理論支持。

GDP；指數化；主成分分析；指標體系；Matlab

一、引言

一般情況下，在對某一事物進行實證研究時，為了更加全面、準確的反映事物的內在特征或發展規律，經常要考慮與此事物有關的多個指標。這樣就產生了如下問題：一是為了避免遺漏重要的信息而分析盡可能多的指標，二是指標增多就增加了問題的復雜性，而且因為這些指標都是對同一事物的反映，容易造成信息重疊、冗余。為了解決這一問題，人們提出了主成分分析的多元統計方法，使得在定量研究中涉及的變量盡可能的少，而反映的信息盡可能的多[1]。

主成分分析(PCA)又稱為主分量分析，是一種利用降維思想，在損失少量信息的情況下，通過線性變換，把反映事物內在特征的多個指標轉化為幾個綜合指標的多元統計方法。通常把轉換之后的幾個綜合指標稱為主成分，各個主成分都是原始變量的線性組合且相互之間線性獨立，由此以來，在研究較為復雜的問題時就可以通過考慮少數幾個主要成分來反映數據信息的內在特征，使得要研究的問題得到簡化，從而提升分析效率，而且不至于造成太多的信息丟失。

求解主成分的過程就是對數據矩陣結構進行分析的過程，在實際的操作中，我們可以從原始數據的協方差矩陣出發求解主成分，也可以從原始數據的相關矩陣出發求解主成分，總之，數據矩陣容易受到數量級和量綱影響，一般情況下，在分析之前，要對原始數據進行預處理，盡可能的減少或消除數量級和量綱的影響[2]。傳統的由SPSS軟件對數據進行的標準化處理，數據協方差矩陣轉化為相關系數矩陣，這樣使得各指標的方差變為1，去除了各指標變異程度的差異，但卻不能夠完全反映原始數據包含的全部的信息，造成信息丟失[3-4]。鑒于此，本文利用指數化方法改進傳統的主成分分析方法。

二、指數化主成分分析方法

在對原始數據進行主成分分析之前，將數據進行標準化處理，在此采用指數化的方法對原始數據進行標準化處理，提高分析結果的準確性。

指數化處理以指標的最大值和最小值的差距進行數學運算，其結果介于0-1之間。若存在由m個樣本組成的樣本集x，每個樣本有n各指標，則第i個樣本的第j個指標值為xij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)。對xij進行標準化的具體計算如下：

zij=(xij-xmin)/(xmax-xmin)

其中，zij為標準分數，xij為某樣本在某指標下的指標值，xmax為某指標下全部樣本的指標之中的最大值，xmin為某指標下全部樣本的指標之中的最小值。經過這樣的標準化處理之后，原始數據轉化為無量綱化指標值，使得所有的指標值都處在同一個數量級別上。

指數化數據處理方法既滿足了對數據進行標準化預處理的要求，又消除了指標量綱上的差異，比較準確的反映了數據的原始信息，克服了標準化處理方法的不足，為之后的主成分分析研究提供了基礎。

三、利用指數化主成分分析方法研究國民生產總值增長情況

改革開放以后，我國經濟和社會發展取得巨大成就，2010年讀中國國內生產總值(GDP)比日本超越日本高出4000多億美元，超越日本成為全球第二大經濟體。新時期下，我國經濟發展面臨一系列挑戰，如何妥善應對，適應經濟發展新常態，不斷創新宏觀調控方式，推動形成經濟結構優化、發展動力轉換、發展方式轉變加快的良好態勢，是我們要著力解決的問題，而衡量經濟發展狀況的重要指標即是GDP。

GDP是國民經濟核算的核心指標，也是衡量一個國家或地區總計經濟狀況的重要指標，而影響GDP增長的因素，總的來說，包括三大產業的增加值，詳細劃分主要體現在：農林牧漁業增加值、工業增加值、建筑業增加值、批發和零售業增加值、交通運輸、倉儲和郵政業增加值、住宿和餐飲業增加值、金融業增加值、房地產業增加值等方面。

由于我國幅員遼闊，物質基礎、資源能源分布不均，環境狀況不同，使得我國經濟發展不平衡狀況明顯。因此，對我國各地區GDP增長的各項指標進行統計分析，綜合出全面的反映我國各地區GDP增長情況的主要因素，為我國實施結構性改革，推動新舊動能接續轉換和經濟結構的轉型升級，促進我國經濟又好又快發展，提供合理的決策依據。

表1　我國各地區GDP增長指標體系

(一)構建GDP增長指標體系

要分析研究我國經濟發展情況，必須構建一套科學完整的指標體系，全面、客觀、真實的評價我國GDP增長狀況，要嚴格遵循整體性、針對性、系統性、科學性和可操作性原則。根據指標體系構建原則和影響GDP增長的因素構成，本文構建了我國各地區GDP增長指標體系如表1所示。該指標體系包含8項反映我國GDP增長狀況的指標，根據該指標體系，以2014年我國各地區GDP增長狀況數據(來源于國家統計局——中國統計年鑒)為研究樣本，分析研究我國GDP增長構成情況。

圖1　各省市兩個主成分得分值散點圖

地區GDP總增加值第一主成分得分值西藏638.840青海1947.540.0446寧夏2301.580.0802海南2974.020.1708甘肅5433.370.2551新疆7614.20.3567貴州7657.350.4162吉林11645.780.48山西10707.070.4986天津12842.460.5099云南10401.930.5481重慶11905.440.6074江西13423.530.619黑龍江12284.320.6333廣西13482.180.6655陜西15257.930.6781內蒙古15580.010.7682北京13220.660.783安徽18062.070.7888上海18305.760.9097福建20820.040.9798湖南21400.21.0007湖北22569.261.0927遼寧24274.911.1167四川23970.471.1755河北26129.521.2188河南30150.531.4555浙江33304.531.5722山東50368.932.314江蘇53230.362.4949廣東55515.492.5416

表3　兩方面GDP增加值之差和第二主成分得分值

(二)利用指數化主成分分析方法對各省市GDP增長情況進行matlab仿真模擬分析

隨著動力系統和非線性科學的迅猛發展，對數學人才在微分方程知識方面的要求逐步提高，教師應該與時俱進，針對常微分方程課程的特點，用科學發展的眼光不斷革新教學內容與方法。只有這樣，才能提高學生學習常微分方程的積極性和主動性，培養學生的創新意識，提高學生應用知識解決實際問題能力，最終實現“學數學”、“用數學”的教育目標。

1.指數化后的數據主成分分析

使用Matlab軟件，針對指數化后的全國各省市的GDP增長狀況樣本數據，利用princomp函數進行主成分分析，輸出矩陣所對應的協方差矩陣的所有特征向量組成的矩陣COEFF、各主成分的得分數據SCORE以及協方差矩陣的特征值LATENT。利用數據的Matlab運行結果輸出，作進一步的分析研究。

根據樣本相關系數矩陣的特征值LATENT，通過計算特征值和所有特征值總和的比值得出各個主成分的貢獻率Explained。

Explained=[83.459，10.323，1.997，1.643，1.192，0.698，0.555，0.133]

由此可以看出，前兩個主成分的貢獻率已經達到了93.782%，后面6個主成分的貢獻率相對較小。因此，在這里只選取前兩個主成分作為代表，作進一步的分析。

結合主成分表達式的系數矩陣COEFF，可以得出前兩各主成分的系數表達式：

y1=0.29x1+0.38x2+0.35x3+0.37x4+0.36x5+0.37x6+0.33x7+0.37x8

y2=0.69x1+0.05x2+0.27x3-0.24x4+0.05x5+0.11x6-0.53x7-0.31x8

從第一主成分的表達式中可以看出，每一個指標變量都有接近的正載荷，說明每個指標對第一主成分的影響是相近的。這樣以來，可以將指數化之后的全國各地區的各個GDP的增加值指標數據匯總并計算出各地區GDP的總的增加值，并按照第一主成分得分的大小由高到低進行排列，結果如表2所示。

從表2中可以看出，每一個地區的GDP的總增加值與第一主成分得分數據基本呈正比例。因此，第一主成分反映了全國各地區GDP增加值的整體水平，可以用第一主成分作為整體的GDP增加值影響成分。

3.第二主成分分析

從第二主成分的表達式中可以看出，評價指標農林牧漁增加值、建筑業增加值呈正載荷，金融業增加值、房地產業增加值呈負載荷，由此可以反映出農林牧漁業和建筑業的增加值、金融業和房地產業的增加值對整個地區GDP增加值的影響兩個方面的對比。計算出這兩個方面GDP增加值之差，并按照第二主成分的得分值由小到大排列，結果如表3所示。

從表3中可以看出，這兩個方面的GDP增加值之差與第二主成分得分基本成正比關系，通過比較發現，從地區的經濟地位和產業結構來看，上海、北京、廣東、天津、浙江、江蘇等在金融業和房地產業方面對GDP增加值的影響較大，而河南、湖南、四川、河北、山東、湖北、黑龍江等在農林牧漁業和建筑業方面對GDP增加值的影響較大。綜合考慮其主要原因是上海、北京、廣東等地區處于經濟比較發達的地區，金融業和房地產業對相關地區GDP的貢獻值較大，而河南、四川、黑龍江等地區的產業結構中第一產業占據相當大的份額，因此，其農林牧漁業和建筑業對相關地區GDP的貢獻值較大。因此第二主成分可以當做結構性GDP增加值影響成分。

(三)綜合分析

為了分析各省市在主成分所反映的經濟意義方面的情況，對使用指數化方法進行標準化之后的原始數據代入主成分表達式計算出各省市的主成分得分，將各省市的主成分得分值在二維空間中描述出來，得到其分布情況的散點圖，如圖1所示。

從圖1中可以看出，第一主成分得分較高的省市有廣東、山東、江蘇、浙江、河南，這些地區的總的GDP增加值較高；而總的GDP增加值較低的西藏、青海、寧夏、海南、甘肅、新疆，第一主成分的得分值也較低，這說明第一主成分反映了綜合的GDP增加值水平的高低。

另外，經濟較為發達的北京、上海、廣東、天津、浙江等地，第二主成分得分較低，而河南、四川、湖南、黑龍江等地第二主成分得分值較高，這主要是由經濟結構不同引起的，經濟發達地區金融業、房地產業等對地區GDP增長的影響較大，經濟欠發達的地區農林牧漁業、建筑業等對地區GDP增長的影響較大。

四、結束語

利用指數化主成分分析方法對GDP增加值情況進行分析，能夠降低使用傳統的主成分分析的數據標準化方法產生的原始數據失真的影響，分析結果更加合理、準確，為進一步的研究建立了基礎，各省市可以根據對影響GDP增加值的各指標主成分分析的結果，在提高傳統優勢產業的發展水平的基礎上，科學合理的調整產業結構，轉變經濟增長發展方式，加強地區間的交流互動，優勢互補，促進經濟又好又快發展。

[1]何曉群.多元統計分析(第四版)[M].北京：中國人民大學出版社，2015.

[2]紀榮芳.主成分分析法中數據預處理方法的改進[J].山東科技大學學報，2007(12)：95-98.

[3]王亞雄，李建英.主成分分析方法在多元質量控制中的應用[J].工業工程與管理，2005，10(3)：121-125.

[4]李竹逸，徐琤.數據預處理在基于主成分分析質量管理中的作用[J].商業文化，2012(2)：175.

[5]李紅松，鄧旭東.統計數據分析方法與技術[M].北京：經濟管理出版社，2014.

[6]趙喜林，李德宜，龔誼承.應用數理統計與spss操作[M].武漢：武漢大學出版社，2014.

時志剛，江西財經大學信息管理學院，管理科學與工程專業碩士，研究方向：管理決策。

F275；F832.51

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1006-0049-(2016)19-0093-03