考慮頻變參數的油浸式變壓器繞組分數階傳輸線模型

梁貴書　王雁超

(華北電力大學電氣工程學院　保定　071003)

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考慮頻變參數的油浸式變壓器繞組分數階傳輸線模型

梁貴書王雁超

(華北電力大學電氣工程學院保定071003)

建立精確的變壓器繞組模型對于準確分析研究繞組各處的電壓分布具有重要意義。導線的趨膚效應和油紙介電常數的頻變特性分別是造成變壓器繞組傳輸線模型的阻抗和導納參數頻變的主要因素。然而，以往的變壓器繞組傳輸線模型通常將油紙介電常數的頻變特性和導線的趨膚效應忽略，影響暫態過電壓分布計算的準確性。該文以具有單弛豫過程的Cole-Cole模型為基礎，對油浸紙樣品的實測介電常數進行擬合，利用擬合模型和平行板電容公式，推導出變壓器繞組傳輸線模型的分數階導納參數，進而建立變壓器繞組的分數階傳輸線模型。通過對分數階傳輸線模型進行仿真計算，得到繞組上的過電壓波形，將仿真值與實驗實測值以及未考慮頻變參數時建立的整數階傳輸線模型仿真值進行對比，驗證了所提分數階模型的準確性。

油紙介電常數趨膚效應Cole-Cole模型分數階模型

0　引言

油浸式變壓器是電力系統重要的組成元件，幾乎是所有110kV及以上輸電網變電站的主變壓器，其能否安全、可靠、經濟地運行對電力系統影響巨大[1-3]。一個恰當的變壓器繞組的等效電路模型是進行快速暫態仿真的關鍵。目前，變壓器繞組模型主要包括低頻和中頻下的集中參數模型以及采用分布參數理論建立的高頻模型[4-12]。文獻[4]以變壓器單餅或雙餅為單元建立了等值集中電路模型，但所得模型的頻率范圍較低，且容易造成系統不穩定。文獻[8]提出了以集中參數和分布參數相結合的混合電路模型，對線圈最容易損壞的前幾匝，以線匝為單元構造多導體傳輸線(Multi-ConductorTransmissionLine，MTL)模型，線圈的其余部分則以線餅為單元進行建模，但存在模型中集中電路部分的元件參數不易確定的問題。文獻[9]采用了單導體傳輸線和多導體傳輸線相結合的模型，但該模型未考慮餅間互感，其仿真計算結果與實際測量存在較大誤差[10]。文獻[11，12]將變壓器的每匝線圈看成一條傳輸線，建立了繞組的全多導體傳輸線模型，這種模型仿真準確度更高，并可以在一個較寬的頻率范圍下詳細反映變壓器線圈的電磁過程。

電力變壓器的內絕緣主要是由礦物油和纖維紙構成的復合絕緣組成[13]。許多研究者在不同的頻率范圍內對油紙的介電常數進行了實際測量，測量結果表明，在一定的頻率范圍內，油紙的介電常數具有較為明顯的頻變特性[14-17]。然而，以往的變壓器繞組模型并未考慮油紙介電常數的頻變特性。文獻[14]指出，變壓器油紙絕緣的介電損耗可能對繞組中快速暫態過電壓的分布影響很大，在建立變壓器繞組傳輸線模型時，忽略油紙介電常數的頻變特性會影響暫態過電壓分布計算的準確性。趨膚效應是指當交變電流通過導體時，導體截面上電流分布因電磁感應作用而不均勻，且越靠近導體表面，電流密度越大的現象，它是對變壓器繞組影響較顯著的另一個頻變效應[18]。以往的變壓器繞組傳輸線模型往往將兩個頻變特性忽略，對繞組上過電壓分布計算的準確性造成影響。因此，需要提出一種同時考慮油紙介電常數頻變特性以及導線趨膚效應的更準確的變壓器繞組傳輸線模型。

目前，分數階微積分理論已被廣泛應用于各個領域，如圖像處理[19]、線路建模[20]、分數階控制器[21-23]等。隨著分數階微積分理論發展，電介質的物理現象也可以通過分數階模型進行解釋。A.K.Jonscher指出，對于油紙絕緣這種復合電介質，傳統的Debye模型在描述電介質的特性時具有很大的局限性[24]。因此，許多學者對傳統的Debye模型進行了改進，提出了含有分數階項的改進模型，比較經典的有Cole-Cole、Davidsion-Cole等模型[24]。與Debye模型相比，改進后的模型可以更為準確地描述油紙介電常數的頻變特性[14]。除此之外，在網絡參數寬頻建模時，可以利用匹配法對頻變參數進行分數階傳遞函數的逼近[25]。在變壓器繞組建模時，如果考慮趨膚效應的影響，則可以建立多導體傳輸線分數階模型，擴展變壓器繞組的建模方法[18]。

本文首先采用Novocontrol寬頻介電阻抗譜儀對油浸紙樣品的介電常數進行測量，然后從Cole-Cole模型出發對實測介電常數進行擬合。在考慮油紙介電常數頻變特性的前提下，利用油紙介電常數的擬合模型與平行板電容公式推導出變壓器繞組傳輸線模型的單位長度導納參數，同時與考慮導線趨膚效應時的單位長度阻抗參數相結合，建立變壓器繞組的分數階多導體傳輸線模型。最后通過實驗與仿真結果驗證所建模型在過電壓分布計算時的準確性。

1　油紙介電常數的測量

1.1樣品制備

本實驗采用昆侖25號變壓器新油對DLZ-13型電纜紙與E-71-75-0.95型芬蘭紙進行浸油處理，兩種樣品均被裁切為直徑為38mm(略大于測量時所用的附加電極直徑)的小圓片。浸油過程中需要注意：①在浸油前，樣品首先要在烘箱中干燥72h以上，干燥溫度設定為110 ℃左右，以保證試樣完全烘干；②絕緣紙需要在變壓器油中真空浸泡48h以上，浸油條件要保證容器內壓力低于133Pa。以上所有油紙樣品的制作均嚴格按照實際變壓器油紙生產工藝流程進行。

1.2寬頻介電阻抗譜儀測量原理及過程

Novocontrol寬頻介電阻抗譜儀的測量頻率范圍為3μHz～1GHz。在介電常數的測量過程中，樣品被固定在樣品架的兩個電極，即樣品電容之間，如圖1所示。對樣品電容施加幅值為U0、固定頻率為f=ω/(2π)的正弦電壓u(t)， 即

u(t)=U0cosωt

(1)

設產生的電流i(t)的幅值為I0， 在一般情況下，由于樣品介電特性的影響，電流和施加電壓之間會出現相位移動，相移角度用φ表示，則

i(t)=I0cos(ωt+φ)

(2)

樣品的阻抗為

Z=U/I=Z′+jZ″

(3)

式中，U為電壓相量，U=U0；I為電流相量，I=I′+jI″。

樣品電容器的阻抗直接與樣品的復介電常數相關。該復介電常數為

(4)

式中，C0為未夾樣品時電容器的電容，可以表示為

(5)

式中，ε0為真空介電常數；A為兩電極正對面積；d為兩電極之間的距離。

圖1　兩電極樣品電容器Fig.1　The capacitor with two electrodes

本實驗的測量頻率范圍為50 Hz～10 MHz。在測量過程中，樣品架被放置于恒溫系統中進行測量，恒溫系統中不斷有氮氣通入，以排除環境中水分對測量的影響。整套測試系統如圖2所示。為了保證實測數據的一致性，對每種樣品進行3次測量，之后取3次測量的平均值。

圖2　介電常數測試系統Fig.2　Testing system of permittivity

2　油紙復介電常數的擬合

2.1復介電常數的擬合模型

經典Debye弛豫模型將復介電常數定義為角頻率和弛豫時間常數的函數[26]。K.S.Cole和R.H.Cole在Debye模型基礎上引入表示電介質弛豫時間常數分散程度的系數，提出了著名的Cole-Cole模型，拓展了模型的適用范圍[27]。

根據介電弛豫理論，在寬頻范圍內，電介質的介電響應特性通常可以采用包含2個介電弛豫過程的Cole-Cole模型進行描述[28]。雙弛豫過程Cole-Cole模型包含α和β兩個弛豫過程[29]

ε*=ε

(6)

α和β弛豫過程中的頻變項分別在低頻和高頻范圍內對復介電常數虛部產生影響，使其呈現出類似拋物線形的頻變趨勢[30]。文獻[30]指出，當油浸紙樣品的介電常數虛部測量值在高頻部分出現明顯的峰值時，擬合模型才需要考慮β弛豫過程。從圖3所示的介電常數實測圖形可以看出，當頻率達到10 MHz時，兩種樣品的復介電常數虛部并沒有出現峰值，表明β弛豫過程的影響可以忽略。因此，僅需考慮單α弛豫過程的Cole-Cole模型來擬合復介電常數[24]

ε*=ε

(7)

式中，ε為ω趨于無限大時的介電常數；Δεα為α弛豫過程中介電常數的變化；τα為α弛豫時間；α為分布參數，且0<α<1。

2.2簡化的Cole-Cole模型

為了獲得單弛豫Cole-Cole模型中的各個參數，可以對測量得到的復介電常數曲線進行擬合。本文利用最小二乘法對實測曲線進行擬合。采用的擬合評價函數為

(8)

約束條件為

(9)

擬合結果見表1，其中，復介電常數實部的擬合度R(ε′)與虛部的擬合度R(ε″)被分別給出。由表1中的擬合參數可知，在50 Hz以上頻率范圍內，Cole-Cole模型分母中的常數項1對復介電常數的影響很小，故將式(7)寫為下列簡化模型

ε(ω)=ε　(10)表1　單弛豫Cole-Cole模型的參數擬合結果Tab.1　The parameter fitting results of the Cole-Colemodel with one relaxation process

樣品ε￥ΔεατααR(ε')R(ε″)DLZ-132.95511.9950.3120.799.30%90.36%芬蘭紙2.10940.055 8.00.799.51%87.01%

樣品簡化模型的參數擬合結果見表2。其中，復介電常數實部和虛部的擬合度均達到85%以上，表明擬合效果較為理想。圖3為簡化模型曲線與油紙介電常數實測曲線的對比。

表2　簡化模型的參數擬合結果Tab.2　The parameter fitting results of the simplify model

圖3　復介電常數實測值與擬合值對比Fig.3　Comparison of the measured value and fitted value of complex permittivity

3　含頻變參數的油浸式變壓器繞組的分數階傳輸線模型

3.1含頻變參數的變壓器繞組多導體傳輸線電報方程

把變壓器繞組導線的每匝看作一根傳輸線，則整個變壓器繞組構成了一個多導體傳輸線模型。對于連續式線圈模型，這些傳輸線按線圈繞制關系首尾相連，如圖4所示，其中下標s表示線路首端，下標n表示線路末端。

圖4　線圈示意圖Fig.4　The schematic diagram of the coil

考慮頻變參數時，多導體傳輸線電報方程的復頻域形式為

(11)

(12)

式中，Z(s)為計及趨膚效應時的多導體傳輸線單位長度阻抗矩陣；Y(s)為計及油紙介電常數頻變特性時的單位長度導納矩陣；U(x，s)與I(x，s)分別為N根傳輸線在x(x=1，2，…，n)處的電壓與電流向量，且U(x，s)與I(x，s)均為N×1階列向量。

3.2計及趨膚效應時變壓器繞組的單位長度阻抗參數

計算變壓器繞組的單位長度電阻矩陣和電感矩陣時，必須考慮高頻下的趨膚效應。

當忽略電流在截面形狀不同的導線中的趨膚深度的差異，并假設電流均勻分布在一個趨膚深度的區域內時，單位長度的電阻參數計算表達式[31]為

(13)

式中，Rde為直流電阻矩陣；Rhf為趨膚效應作用下產生的電阻矩陣；h為變壓器繞組的導線凈金屬高度；b為線餅徑向厚度；σ、μ分別為導體的電導率與磁導率；E為單位矩陣。

單位長度的電感參數計算表達式[32]為

(14)

式中，L0為在沒有高頻分量進入鐵心時的單位長度電感參數矩陣；L1為在高頻情況下，透入導體的磁通產生的電感矩陣，即趨膚效應作用下產生的電感矩陣。

將式(13)、式(14)代入阻抗表達式中，得到計及趨膚效應時變壓器繞組的單位長度阻抗矩陣

Z(jω)=R+jωL=Rde+Rhf+jω(L0+L1)

(15)

將f=ω/(2π)代入式(14)，得到

(16)

將式(16)簡化為

(17)

式(17)對應的復頻域形式為

(18)

3.3計及油紙介電常數頻變特性時變壓器繞組的單位長度導納參數

在通常的變壓器多導體傳輸線模型中，電容矩陣由匝間電容Cs、 餅間電容Ct以及靠近鐵心與油箱的邊匝對地電容Ck和Cw組成，其他線匝的對地電容被邊匝屏蔽，故忽略不計[32]。

由平行板電容公式得到單位長度的匝間電容表達式[32]為

(19)

式中，ap為匝絕緣的兩邊厚度；ε(ω)為匝間絕緣介質的介電常數，即油紙的復介電常數。

將式(10)代入式(19)，得

(20)

單位長度的餅間電容表達式[32]為

(21)

式中，εde為線餅間絕緣的等值介電常數；ad為線餅間絕緣的等值絕緣厚度。

由同軸圓柱電容公式可得單位長度的匝對鐵心的電容[33]為

(22)

式中，εwe為匝與鐵心間介質的等值介電常數；Ro為線圈的內半徑；Ri為鐵心的外接圓半徑。

單位長度的匝對油箱的電容[32]為

(23)

式中，εwt為匝與油箱間介質的等值介電常數；Rt為油箱內壁的等效半徑；Rw為線圈的外半徑。

將ε(ω)分別代入εde、εwe與εwt中，得到各個等值介電常數表達式，通過平行板電容公式分別得到單位長度的餅間電容與匝對鐵心/油箱電容，即

(24)

因此，變壓器繞組的單位長度電容矩陣C為

(25)

傳輸線的單位長度導納參數形式如下

=jωC1+C2(jω)1-α+G

(26)

式中，G為單位長度電導參數矩陣。

式(26)對應的復頻域形式為

Y(s)=sC1+s1-αC2+G

(27)

3.4油浸式變壓器繞組的分數階模型

將式(18)和式(27)分別代入式(11)和式(12)中，可得到變壓器繞組復頻域分數階傳輸線模型為

(28)

式中，1-α=0.3。

對式(28)進行拉普拉斯反變換，可得時域分數階傳輸線方程為

(29)

式(29)對應的微元集中參數等效電路如圖5所示。

圖5　微元集中參數等效電路Fig.5　The lumped parameter equivalent circuit with micro element

4　仿真及實驗結果驗證

為驗證本文所提變壓器繞組分數階傳輸線模型的準確性，對所建立的分數階傳輸線模型在Matlab下進行仿真計算，分別得到變壓器繞組各餅末端的過電壓波形，將其與實驗系統的實測電壓以及不考慮任何頻變參數建立的變壓器繞組整數階傳輸線模型下的電壓波形進行對比。圖6為實驗系統，連續式繞組置于油桶中由昆侖25號變壓器新油浸泡48 h以上后，浸油進行過電壓測量。本文實驗分別選擇雷擊浪涌發生器和GMY-1型毫微秒高壓脈沖源模擬雷電沖擊和特快速暫態過電壓(Very Fast Transient Over-Voltages，VFTO)，示波器選用Agilent MS06104A四通道數字存儲示波器。

圖6　實驗系統Fig.6　The experimental system

圖7和圖8分別給出了激勵為雷電波和VFTO時，兩種模型下第2餅末端的仿真電壓以及實測電壓波形。表3和表4分別列出了在兩種激勵下，變壓器繞組第2餅末端的電壓最大峰值及峰值對應時間的實測結果和仿真計算結果。可以看出，與整數階模型相比，分數階模型對電壓峰值和峰值對應時間的仿真計算結果與實測結果更吻合，以上結果驗證了分數階模型的準確性。

圖7　雷電波激勵下的第2餅末端電壓波形Fig.7　The voltage waveform of section 2 under lighting wave表3　雷電波激勵下的測量與仿真結果Tab.3　The results of measurement and simulationunder lighting wave

模型電壓峰值/V電壓峰值對應的時間/μs測量值296.001.7分數階模型297.491.7整數階模型300.611.6

圖8　VFTO激勵下的第2餅末端電壓波形Fig.8　The voltage waveform of section 2 under VFTO表4　VFTO激勵下的測量與仿真結果Tab.4　The results of measurement and simulation under VFTO

模型電壓峰值/V電壓峰值對應的時間/ns測量值124.0010.7分數階模型119.66.8整數階模型114.2547.2

5　結論

本文采用Novocontrol寬頻介電阻抗譜儀測量了油紙樣品的復介電常數，利用簡化Cole-Cole模型對實測介電常數進行擬合，通過擬合模型與平行板電容公式得出變壓器繞組單位長度導納參數的分數階形式，進而建立了含頻變參數的油浸式變壓器繞組分數階傳輸線模型，得出的主要結論為：本文提出的簡化Cole-Cole模型在50Hz～10MHz頻率范圍內能夠較好地描述油紙復介電常數的頻變特性。對比不含頻變參數的變壓器繞組整數階傳輸線模型，本文提出的分數階模型在進行暫態過電壓計算時更準確。

本文還有以下幾方面不足有待進一步研究與改進：①本文采用的平行板電容法忽略了導體間的邊角效應，計算所得的電容參數存在一定的近似；②本文沒有考慮繞組中墊塊等因素的影響，在計算大型變壓器時，需要將墊塊等因素考慮周全；③本文忽略了電流在截面形狀不同的導線中的趨膚深度的差異，得到的阻抗參數存在一定近似。如果以上不足得以完善，則計算結果將會更加準確。

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Fractional Transmission Line Model of Oil-Immersed Transformer Winding Considering Frequency-Dependent Parameters

Liang GuishuWang Yanchao

(PowerEngineeringInstituteofElectricalEngineeringNorthChinaElectricPowerUniversityBaoding071003China)

Establishingtheprecisemodelofthetransformerwindingshasthevitalsignificanceforanalyzingthevoltagedistributiononthewindings.Thefrequency-dependentcharacteristicsoftheimpedanceparameterandtheadmittanceparameterinthetransmissionlinemodelofthetransformerwindingsaremainlycausedbytheskineffectandthefrequency-dependentcharacteristicsofthepermittivityoftheoil-paperrespectively.However，traditionaltransmissionlinemodelsofthetransformerwindingsoftenignorethefrequency-dependentcharacteristicsofthepermittivityofoil-paperandtheskineffect，whichinfluencetheaccuracyofcalculatingoftransientovervoltagedistribution.ThemeasuredpermittivityoftheoilpapersamplesarefittedbasedontheCole-Colemodelwithonedielectricrelaxationprocess.Bycombiningthemodelwiththecapacitanceformulaofparallelplate，thefractionaladmittanceparametersarederived.Then，thefractionaltransmissionlinemodelofthetransformerwindingsisestablished.Throughthesimulationofthefractionaltransmissionlinemodel，theovervoltagewaveformonthewindingsisobtained.Itisthencomparedwiththeexperimentalwaveformandthesimulationwaveformofthetransmissionlinemodelwithoutconsideringthefrequency-dependentcharacteristicsoftheimpedanceparameterandtheadmittanceparameter.Theresultsconfirmthevalidityoftheproposedfractionalmodel.

Oil-paper，permittivity，skineffect，Cole-Colemodel，fractionalmodel

2015-06-04改稿日期2015-11-22

TM411

梁貴書男，1961年生，教授，博士生導師，研究方向為電網絡理論及其應用、電力系統電磁兼容和電力系統過電壓及其防護等。

E-mail：gshliang@263.com(通信作者)

王雁超男，1990年生，碩士，研究方向為電力系統過電壓及其防護等。

E-mail：bluesnowwyc@163.com

國家自然科學基金(51177048，51407073)、河北省自然科學基金(E2012502009)和河北省科技指導性計劃(Z2012033)資助項目。