《垂直于弦的直徑》教學設計

陳超江

【關鍵詞】《垂直于弦的直徑》

教學設計 初中數學 圓的對稱性

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）08A-0063-03

一、教學重難點及關鍵點

（一）教學重點：探究垂徑定理及其推論，并運用這些結論解決一些與圓有關的證明和計算問題。

（二）教學難點：分清垂徑定理及其推論的條件和結論。

（三）教學關鍵點：圓的軸對稱性。

二、教學目標

（一）知識與技能：理解圓的軸對稱性，掌握圓是軸對稱圖形的證明方法；掌握垂徑定理及其推論，并學會運用這些結論解決與圓有關的證明和計算題。

（二）過程與方法：主要采用設疑激趣、講授、直觀演示、引導發現的教法。學生歷經“實驗、觀察、猜想、證明”的探索過程、體會探索問題的一般方法和由一般化為特殊的化歸數學思想方法，從而對知識的發生、發展和形成的過程認識得更加深刻。

（三）情感態度與價值觀：學生感受探索數學問題的樂趣，獲得解決數學問題的成就感；體會數學圖形的對稱美，知識的內在美、形式美、和諧美，從而激發對數學的熱愛。

三、教學過程設計

（一）復習舊知

如圖1，復習作出已知點關于直線對稱的方法和步驟。

設計意圖：電子白板和幾何畫板相結合，讓學生回顧并派代表回答作出已知點關于直線對稱的方法和步驟（教師通過電子白板鏈接幾何畫板動態演示），為證明圓的軸對稱性做好知識鋪墊。

（二）直觀體會圓的軸對稱性

如圖2所示，讓學生拿出手中的圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復做幾次。

設計意圖：通過學生自主探究活動，讓學生經歷探索圓的軸對稱性的過程，能直觀體驗并理解圓是軸對稱圖形，增強學生之間互相學習，學會分享的情感，并提高學生自身的動手操作能力。最后，教師通過電子白板和幾何畫板相結合，動態演示改變直徑，將圓沿著直徑所在的直線折疊，增強學生對該知識點的理解。

（三）探究并證明圓的軸對稱性

如圖3，在⊙O中，CD為⊙O的任意一條直徑。怎樣證明⊙O是軸對稱圖形呢？

設計意圖：通過電子白板和幾何畫板相結合，利用圖形的動態演示，教師拖動點在圓上滑動，學生觀察并發現點關于直徑的對稱點也都在圓上，讓學生體會把證明圓的軸對稱性轉化為證明圓上任意一點的軸對稱性問題中蘊含的由一般化為特殊的數學思想方法。

（四）探究垂徑定理

理解了圓的軸對稱性后，利用如圖4所示的圖形引導學生探究垂徑定理。

如圖4（1）和圖4（2），利用電子白板和幾何畫板相結合，通過動態演示將這個圖形沿著直徑CD折疊，在折疊的過程中，學生觀察、猜想并發現了相等的線段和相等的弧。就這樣，自然而然地引出了垂徑定理。為了讓學生進一步學習垂徑定理，分清定理的條件和結論，筆者組織學生學習垂徑定理的內容和幾何語言，從幾何語言的表述中，學生能較直觀地找出并分清垂徑定理的條件和結論。

教師讓學生觀察并找出相等的線段和相等的弧。

設計意圖：結合圓的軸對稱性，學生在圖形的動態演示過程中，通過觀察、猜想并發現了垂徑定理。教師為學生創造了探究問題情境和實踐活動，讓他們親身歷經探究結論的過程，能理解并分清垂徑定理的條件和結論，掌握垂徑定理的幾何語言。

（五）探究垂徑定理的推論

學習了垂徑定理后，引導學生通過交換垂徑定理的條件和部分結論，進行探究垂徑定理的推論，提出這樣的猜想：如果一條直徑平分弦，那么這條直徑會不會垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧呢？

師生活動：問題提出后，讓學生思考，學生回答：“不一定。”教師把握時機，按條件畫出圖形（如圖5（1），5（2）所示），讓學生觀察、思考，得出垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

設計意圖：通過命題中條件和結論的交換，引導學生提出垂徑定理推論的猜想，形成新舊知識的碰撞，讓學生在數學問題的情境中生成思維的火花。根據條件，用圖形的直觀分析，降低學習的難度，讓學生在不同條件下的兩個圖形得到不同結論的鮮明對比中得出垂徑定理的推論，并真正理解推論中的條件“平分弦（不是直徑）的直徑”。

（六）定理辨析：判斷下列圖形，哪些能夠使用垂徑定理，為什么？

設計意圖：通過上述具有相同或不同特點的圖形讓學生判斷哪些能夠使用垂徑定理，學生能夠正確找出這些圖形，教師進而引導學生總結這類圖形的共同點，即得出垂徑定理的條件：（1）過圓心；（2）垂直于弦。進而加深了學生對垂徑定理條件的理解。

（七）課堂練習

如圖6，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm。求⊙O的半徑。

設計意圖：學生剛剛學了垂徑定理的內容，本道練習題能讓學生初步掌握定理的簡單應用。教師還可以利用本道習題引導學生總結使用垂徑定理解決與圓有關問題的解題思路：①構造直角三角形，把與圓有關的問題轉化到直角三角形中；②使用垂徑定理和勾股定理求解。另外，這個解題思路可以為例2中利用垂徑定理解決實際問題做好鋪墊。

（八）例題講解

例 趙州橋（圖7所示）的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m，求出趙州橋主橋拱的半徑（結果保留小數點后一位）。

設計意圖：解題思路如圖7（1）-7（4），本例題與“課堂練習”不同，它是垂徑定理進一步的應用，它首先讓學生學會將實物圖轉化為平面圖形來研究。通過學習本例題，提高學生將所學知識聯系實際問題并利用所學知識解決實際問題的能力。

（九）能力提升

原題：如圖8，已知在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。求證：AC=BD。

設計意圖：在學習垂徑定理之前，證明線段相等常用的方法就是證明三角形全等。然而，本題讓學生在新舊知識中產生了“思考的火花”，讓他們學會選擇簡便方法證明線段相等。這是垂徑定理在證明線段相等方面的重要應用，能進一步提高學生靈活應用垂徑定理解決問題的能力。

變式1：如圖8（1），將原題中的大圓隱去，連接OA、OB，設OA=OB，求證：AC=BD.

變式2：如圖8（2），將原題中的小圓隱去，連接OC、OD，設OC=OD，求證：AC=BD.

設計意圖：變式1和變式2雖然對原題進行了條件改變，證明的結論不變，但是解決問題的方法和思路與原題仍然是相同的。這兩道變式題有利于培養學生觀察、分析、對比問題進而尋找問題共同實質的能力。

（十）課堂小結

教師和學生一起回顧本節課所學的主要內容以及在學習過程中運用的數學思想方法，并讓學生互相之間充分交流和分享學習心得。

設計意圖：課堂小結能夠讓學生對本節課學習的內容有一個比較完整的知識結構框架，也有利于培養學生善于及時總結知識的良好學習習慣。

（十一）布置作業

教科書第83頁練習第2題，第90頁第10題、11題。

設計意圖：讓學生及時鞏固垂徑定理的應用。

（十二）板書設計

24.1.2 垂直于弦的直徑

1.圓的對稱性。

2.（1）垂徑定理；（2）垂徑定理的推論。

3.垂徑定理及其推論的概括：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（推論中的弦不是直徑）；④平分弦所對的兩條弧。

4.利用垂徑定理解題的思路。

（1）構造直角三角形；

（2）利用垂徑定理和勾股定理求解。

設計意圖：板書設計能讓學生便于記憶本節課所學的主要內容，并形成知識結構框架。

[此教學實錄榮獲2014年第十屆全國民族中學“民教杯”信息技術與教學融合技能競賽一等獎]

（責編 林 劍）