混合FE-SEA線連接建模方法研究*

朱衛(wèi)紅， 馬興瑞， 韓增堯， 鄒元杰

(1.中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京 100094； 2.中國(guó)國(guó)家航天局，北京 100048)

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混合FE-SEA線連接建模方法研究*

朱衛(wèi)紅1， 馬興瑞2， 韓增堯1， 鄒元杰1

(1.中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京 100094； 2.中國(guó)國(guó)家航天局，北京 100048)

基于傅里葉變換提出了一種混合FE-SEA線連接建模方法。首先基于波動(dòng)理論推導(dǎo)了波數(shù)空間下的板結(jié)構(gòu)線連接的阻抗矩陣，然后針對(duì)線連接位移構(gòu)造了一種節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系下三角波形函數(shù)，最后依據(jù)傅里葉變換技術(shù)建立了節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系下的線連接模型。仿真算例分析結(jié)果表明，該混合線連接建模方法具有較好的精度，能夠有效地建立線連接的動(dòng)力學(xué)特性建模。

線連接； 航天器； 力學(xué)環(huán)境預(yù)示； 形函數(shù)； 混合FE-SEA

引　言

航天器結(jié)構(gòu)的中高頻的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)預(yù)示是比較困難的，是目前國(guó)內(nèi)外研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)[1]。中頻段的動(dòng)力學(xué)特性預(yù)示困難，主要是由于在該頻段航天器各子結(jié)構(gòu)或子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性差異很大，很難用常規(guī)的有限元方法(Finite Element Method, FEM)或統(tǒng)計(jì)能量分析(Statistical Energy Analysis, SEA)解決[2]。為了解決該類力學(xué)環(huán)境預(yù)示問(wèn)題，混合有限元-統(tǒng)計(jì)能量分析方法(Hybrid Finite Element-Statistic Energy Analysis)[3-4]得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者和工程師的關(guān)注，已逐漸應(yīng)用于航天航空領(lǐng)域[5-7]。該方法首先將系統(tǒng)進(jìn)行劃分：波長(zhǎng)大于特征尺寸的子系統(tǒng)，劃分為確定性子系統(tǒng)，采用有限元建模；波長(zhǎng)小于特征尺寸的子系統(tǒng)，劃分為隨機(jī)子系統(tǒng)，采用統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)建模。確定性子系統(tǒng)和隨機(jī)子系統(tǒng)由混合連接邊界上的直接場(chǎng)和混響場(chǎng)的互易關(guān)系耦合[8]，然后求解得到整體系統(tǒng)的響應(yīng)，因此混合有限元-統(tǒng)計(jì)能量方法的核心在于混合連接的建模。

混合連接有多種連接方式，包括點(diǎn)、線、面等不同形式。其中，針對(duì)點(diǎn)連接的理論研究較多[9]，公開(kāi)資料也比較全，但對(duì)于更加常見(jiàn)和普遍的線連接的研究卻剛剛起步，國(guó)內(nèi)相關(guān)理論并不完善，可查閱的資料不多。事實(shí)上，航天器結(jié)構(gòu)中線連接比較普遍，如星體壁板的交界處和衛(wèi)星與火箭的對(duì)接界面。如果線連接的兩類結(jié)構(gòu)剛度差異大，就可一部分采用有限元建模，而另一部分采用統(tǒng)計(jì)能量建模。這種情況就是典型的有限元-統(tǒng)計(jì)能量分析的線連接形式。本文基于波動(dòng)理論，首先推導(dǎo)了波數(shù)空間下的線連接阻抗特性，構(gòu)造了一種線性插值三角波形函數(shù)描述線連接處的位移，采用傅里葉變換技術(shù)得到了節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系下的線連接模型。算例仿真分析表明，本文提出的建模方法是有效的，具有一定的理論研究?jī)r(jià)值和工程應(yīng)用價(jià)值。

1　波數(shù)空間下的線連接動(dòng)力學(xué)方程

1.1混合FE-SEA基本理論

混合FE-SEA方法理論認(rèn)為隨機(jī)子系統(tǒng)的能量由直接場(chǎng)和混響場(chǎng)兩部分能量組成。直接場(chǎng)能量定義為通過(guò)連接輸入到子系統(tǒng)后未經(jīng)過(guò)任何邊界反射的能量，混響場(chǎng)能量為經(jīng)過(guò)多次反射后的能量，如圖1所示。

圖1　直接場(chǎng)和混響場(chǎng)Fig.1　The direct field and reverberant field

假設(shè)隨機(jī)子系統(tǒng)與有限元的混合連接邊界的自由度為q，則隨機(jī)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)可表示為

(1)

式中frev為隨機(jī)子系統(tǒng)混響場(chǎng)在混合連接邊界處產(chǎn)生的受擋混響力，f為外載荷，Ddir為混合連接的直接場(chǎng)動(dòng)剛度矩陣。混響場(chǎng)的響應(yīng)一般為能量，由直接場(chǎng)與混響場(chǎng)的互易關(guān)系可建立受擋混響力和混響場(chǎng)能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系[8]

(2)

式(2)是混合FE-SEA方程的核心，可以看出連接的建模關(guān)鍵在于連接的直接場(chǎng)動(dòng)剛度矩陣，因此混合連接的建模主要圍繞連接的直接場(chǎng)動(dòng)剛度矩陣展開(kāi)。

1.2波數(shù)空間下線連接的動(dòng)力學(xué)方程

板類子系統(tǒng)以橫向運(yùn)動(dòng)為主要運(yùn)動(dòng)，由于彎曲波通常遠(yuǎn)小于拉伸和剪切波，所以面外運(yùn)動(dòng)通常采用統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)建模，而面內(nèi)運(yùn)動(dòng)在分析時(shí)忽略或者采用有限元進(jìn)行建模。為了節(jié)省篇幅，本文僅僅建立了線連接的面外運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。圖2為由n塊板組成線連接示意圖，能量通過(guò)線連接以不同形式的波向結(jié)構(gòu)輻射能量。

圖2　線連接示意圖Fig.2　The schematic diagram of line junction

(3)

圖3　線連接的局部坐標(biāo)系Fig.3　The local coordinate of line junction

圖4　連接處波傳播的Snell定理示意圖Fig.4　The Snell theory of wave transmission at the junction

(4)

(5)

式中kB為彎曲波數(shù)。y方向的波數(shù)可由方程(5)確定。由方程(5)可得4個(gè)根，其中負(fù)虛根和負(fù)實(shí)根是符合真實(shí)狀況的波數(shù)，可以描述正y方向波的傳遞和衰減。實(shí)際上當(dāng)k≥kB時(shí)，μB取2個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，此時(shí)y方向的波為近場(chǎng)衰減波，不傳遞能量；當(dāng)k

(6)

(7)

考慮邊界處y=0，結(jié)合方程(6)和(7)有，則有

(8)

(9)

(10)

由經(jīng)典薄板理論可得x軸向力矩和橫向力可表示為：

(11)

(12)

式中υ為板結(jié)構(gòu)的泊松比， 將式(6)代入式(11)和(12)得：

(13)

(14)

將式(13)和(14)代入式(9)和(10)得

(15)

(16)

2　節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系下的直接場(chǎng)動(dòng)剛度矩陣及形函數(shù)的構(gòu)造

2.1基于傅里葉變換的動(dòng)力學(xué)方程坐標(biāo)變換

上述動(dòng)力學(xué)方程是基于波數(shù)空間坐標(biāo)系建立的，因此需要通過(guò)傅里葉變換獲得節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系下的線連接直接場(chǎng)動(dòng)剛度矩陣[11]。

(17)

(18)

將該載荷投影在廣義坐標(biāo)am上，則相應(yīng)的廣義力可表示為

(19)

將式(18)代入式(17)可得

(20)

定義線連接處的動(dòng)剛度為

(21)

則

(22)

(23)

(24)

(25)

2.2基于線性插值的三角波形函數(shù)

為了描述節(jié)點(diǎn)的位移，首先必須構(gòu)造節(jié)點(diǎn)的位移形函數(shù)，本文采用由線性插值獲得的三角波形函數(shù)，如圖5所示。

圖5　線連接的位移形函數(shù)Fig.5　The displacement shape function of line junction

若線連接處的橫向位移w(或θ)可描述為

(26)

(27)

圖6　形函數(shù)示意圖Fig.6　The schematic diagram of triangle wave shape function

式中Δl為節(jié)點(diǎn)間的距離。考察節(jié)點(diǎn)位于x=0處的形函數(shù)，其波數(shù)空間下的傅里葉變換可表示為

(28)

(29)

采用上面形函數(shù)建立板的面外運(yùn)動(dòng)，其位移可表示為

(30)

將形函數(shù)代入即可得到節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系下的線連接直接場(chǎng)動(dòng)剛度矩陣

(31)

3　仿真算例

為了驗(yàn)證本文提出的線連接模型的有效性，對(duì)如圖7所示的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。結(jié)構(gòu)由2塊相同的板結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的連接組成。板結(jié)構(gòu)為鋁合金,連接結(jié)構(gòu)為鋼,具體幾何參數(shù)如表1所示。分析頻率范圍為1～1000 Hz,點(diǎn)載荷施加在其中一個(gè)SEA板子系統(tǒng)上?？紤]到整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，模態(tài)密度較大的板面外位移采用SEA建模，模態(tài)密度小的板的面內(nèi)位移和剛度大的復(fù)雜連接采用FEM建模，2種模型通過(guò)2個(gè)混合線連接耦合，如圖8所示。

圖7　組合結(jié)構(gòu)模型Fig.7　The model of combined structures

參考算法采用基于有限元的能量流分析與Monte Carlo試驗(yàn)相結(jié)合的方法[12]，并與商業(yè)軟件VA One[13]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。有限元方法是目前廣泛應(yīng)用的一種動(dòng)力學(xué)分析方法，通過(guò)對(duì)分析數(shù)據(jù)或者算法進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)實(shí)現(xiàn)子系統(tǒng)的能量流分析，同時(shí)采用Monte Carlo仿真引入?yún)?shù)攝動(dòng)描述不確定性對(duì)中高頻響應(yīng)的影響。由于有限元方法并未使用大量的假設(shè)，能量流分析-Monte Carlo仿真方法的分析結(jié)果可作為SEA方法或中頻力學(xué)環(huán)境預(yù)示方法研究和改進(jìn)的依據(jù)[3,14-16]。

圖9為2個(gè)統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)間的耦合損耗因子計(jì)算結(jié)果。仿真結(jié)果表明，本文提出的建模方法和VA One的計(jì)算結(jié)果均與Monte Carlo仿真的結(jié)果都相吻合。但是VA One計(jì)算結(jié)果偏于保守，尤其是在非共振峰位置。

圖9　板1和板2間的耦合損耗因子Fig.9　The coupling loss factor between plate 1 and plate 2

圖10和圖11分別為統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)的能量響應(yīng)。可以看出3種方法計(jì)算得到的板1的能量非常吻合，但是VA One計(jì)算得到的板2的能量偏于保守，尤其是在非共振峰位置。圖12給出了板2的能量的相對(duì)誤差，參考結(jié)果為Monte Carlo試驗(yàn)結(jié)果(0 dB)。分析結(jié)果顯示在250～500 Hz，VA One誤差比本文方法誤差平均大3 dB，VA One最大誤差6.77 dB，本文方法最大誤差3.16 dB。而在600～1000 Hz之間，在共振峰位置本文方法與VA One的誤差相差1 dB左右，而在非共振峰位置，VA One最大誤差比本文方法大7 dB左右。本算例仿真表明，本文提出的建模方法能夠有效地建立板結(jié)構(gòu)面外運(yùn)動(dòng)的線連接模型,Monte Carlo試驗(yàn)表明，本文方法具有較好的預(yù)示精度，尤其是在非共振峰位置，精度優(yōu)于VA One，同時(shí)共振峰位置也能保證相對(duì)高的精度。

總體而言，本文方法與VA One的混合線連接模型均能有效地描述能量在連接處的傳遞，但是在某些頻段VA One偏于保守，導(dǎo)致上述差異的原因在于：一方面VA One采用的混合線連接建模方法及位移形函數(shù)模型可能與本文方法有所不同；另一方面由于衰減波不傳遞能量，本文沒(méi)有考慮衰減波對(duì)混響場(chǎng)的能量貢獻(xiàn)，而VA One在建模過(guò)程中考慮了衰減波對(duì)混響場(chǎng)的能量貢獻(xiàn)，這也是導(dǎo)致二者差異的原因之一，后續(xù)應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步展開(kāi)衰減波對(duì)線連接建模與分析結(jié)果的影響研究。

圖10　板1的能量Fig.10　The energy of plate 1

圖11　板2的能量Fig.11　The energy of plate 2

圖12　板2的能量誤差曲線Fig.12　The error curve of plate 2 energy

4　結(jié)　論

本文研究了一種基于傅里葉變換技術(shù)的混合線連接建模方法。該方法基于由波動(dòng)理論得到的線連接阻抗矩陣，通過(guò)構(gòu)造線性插值三角波形函數(shù)，采用波數(shù)空間下的傅里葉變換技術(shù)得到節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系下的線連接模型。仿真結(jié)果表明，本文提出的線連接建模方法具有比較好的分析精度，能夠預(yù)示能量在線連接處的傳遞，可應(yīng)用于航天器的中頻段動(dòng)力學(xué)環(huán)境預(yù)示，具有一定的理論研究和工程應(yīng)用價(jià)值。

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The research on the modeling method of hybrid FE-SEA line junction

ZHUWei-hong1，MAXing-rui2，HANZeng-yao1，ZOUYuan-jie1

(1. China Academy of Space Technology， Beijing 100094， China;2. China National Space Administration， Beijing 100048， China)

A modeling method of hybrid line junction is proposed based on the Fourier transform. Firstly, the impedance matrix of plate line junction is deduced with the wave theory.Then a triangular wave shape function of line junction displacement is constituted in the node coordinate system. Finally the hybrid line junction model in node coordinate is established using the Fourier transform algorithm. The analysis of numerical example shows that the method proposed in this paper has a good precision, and can model the dynamic characteristics of line junction effectively.

line junction; space craft; mechanical environment predication; shape function; hybrid FE-SEA

2014-04-11；

2015-05-04

總裝“十二五”預(yù)研項(xiàng)目(51334050101)和國(guó)防973項(xiàng)目(613133)

TB123; V414.4

A

1004-4523(2016)01-0017-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.003

朱衛(wèi)紅(1985—)，男，博士研究生。電話：13810273147；E-mail：zhuweihong-2004@163.com