彈性體作定軸轉動的耦合動力學模型與數值分析*

郭小煒， 劉占芳， 郝志明

(1.重慶大學煤礦災害動力學與控制國家重點實驗室， 重慶 400030；2.重慶大學航空航天學院， 重慶 400030；3.中國工程物理研究院總體工程研究所， 四川 綿陽 621900)

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彈性體作定軸轉動的耦合動力學模型與數值分析*

郭小煒1,2， 劉占芳1,2， 郝志明3

(1.重慶大學煤礦災害動力學與控制國家重點實驗室， 重慶 400030；2.重慶大學航空航天學院， 重慶 400030；3.中國工程物理研究院總體工程研究所， 四川 綿陽 621900)

應用含偶應力的彈性理論建立彈性力學模型，應變和曲率張量分別描述彈性體的平動變形和旋轉變形,且分別對應于應力和偶應力兩種內力。對已知定軸變轉速剛體轉動的情況，采用哈密爾頓原理建立了含偶應力彈性體作定軸剛體轉動的運動與變形耦合動力學模型，模型計及了相對慣性力、離心力、科氏力和切向慣性力。考慮以彈性體的位移和變形轉角為獨立變量，利用約束變分原理建立了含偶應力彈性體作定軸剛體轉動的有限元方程，其中單元離散采用8個節點48個自由度的三維六面體實體等參元。以繞定軸旋轉的懸臂梁為例，數值分析了旋轉懸臂梁的動力學特性和動力學響應。當幅值變化但剛體轉速恒定時，旋轉方梁的一階特征頻率出現隨轉速增加保持不變和下降兩種情況。當剛體變轉速時，考察了旋轉懸臂梁位移、變形轉角、動態應力以及偶應力的時變規律。該研究可為作定軸旋轉系統的結構部件的動力學分析提供理論模型和數值分析方法。

偶應力彈性理論；剛-柔耦合； 運動與變形耦合模型； 慣性力效應； 約束變分原理

引　言

剛柔耦合系統的動力學分析在航空航天、機器人和高速旋轉機構等領域具有重要的理論和工程應用價值。譬如直升機旋翼、衛星天線、太陽能帆板和大型渦輪機葉片等，這類系統的運動變量既有大范圍的剛體轉動，又有小幅度的彈性變形，二者產生運動學耦合。國內外許多學者[1-16]對這種大范圍運動的柔性結構動力學問題進行了長期研究，這些研究主要集中在柔性結構的大范圍運動與其自身變形的耦合問題上，提出了剛柔耦合動力學模型，特別考慮了柔性結構的初應力效應以及幾何非線性影響的動力剛化效應問題。洪嘉振[3-6]等基于柔性梁的小變形假設，得到了梁的一次近似剛柔耦合動力學模型，該模型相比傳統的零次近似耦合模型更適用于大范圍運動速度較高的情形，但隨著柔性部件尺寸的增大或者結構材料柔度的增加，這個模型得出的結果與實際情況會出現較大誤差。文獻[3]提出了考慮非線性耦合變形量高階項的高次耦合動力學模型，未提及高次耦合模型與一次近似耦合模型的具體差異以及高次耦合模型能否適應大變形問題。文獻[12]建立了考慮耦合變形量高階項的大范圍旋轉柔性梁的完整動力學模型，指出當柔性梁變形或者變形速度較大時一次近似耦合模型將出現數值發散的情況，而完整耦合模型的計算結果則依然收斂。

傳統剛柔耦合動力學模型針對如板梁[7-8,14]等具體結構型式，能夠獲得結構的動力特性和位移響應，但不能給出應力應變的響應。就旋轉結構而言，動應力狀態對判斷應用幾何非線性或物理非線性是關鍵的控制變量，例如結構是否達到了屈服應力狀態。為了能夠同時考慮旋轉結構的動力學特性和包括位移、應力應變等動力學響應，本文考察任意彈性體作剛體轉動的耦合動力學問題。

彈性力學理論的重要進展是提出了含偶應力的彈性力學理論。偶應力彈性力學[17-20]的理論基礎是在應變張量的基礎上引入曲率張量，應變描述了平動變形，曲率張量即旋轉矢量之梯度則描述了旋轉變形。在材料本構關系方面，相比經典彈性力學的廣義胡克定律，必須增加偶應力與曲率張量的本構關系。偶應力彈性理論已在彈性體孔周應力集中系數[21]、裂紋擴展及微結構[22-23]等靜力學分析中得到了較多應用。偶應力彈性理論一個重要特點是能夠考慮結構的尺寸效應，對于具有強烈尺度效應的微機電系統的發展具有重要價值，已有研究[16]對剛體-微梁系統的剛柔耦合動力學特性進行了研究，在微觀尺寸下，基于偶應力彈性理論得出的結果與未考慮旋轉梯度效應的經典彈性理論有較大差異。

本文采用含偶應力的彈性理論描述任意彈性體的力學行為，利用哈密爾頓(Hamilton)原理[24]建立彈性體繞定軸作變速剛體轉動的耦合動力學模型。應用約束變分原理，以位移和變形轉角為獨立變量，構造了8結點48自由度的六面體等參元，建立了彈性體作定軸變轉速剛體運動的動力學分析有限元方程。以作定軸變速旋轉的空間懸臂梁為例開展了動力特性和動力學響應的數值分析，考察了旋轉梁的旋轉變形和作用于旋轉梁的慣性力的動力學影響。

1　含偶應力彈性體作剛體轉動的耦合動力學模型

考慮旋轉變形的彈性體，彈性體的變形由平動變形和旋轉變形合成。在小變形條件下，位移梯度分解為應變張量和旋轉張量之和

(1)

其中應變張量和旋轉張量

(2)

(3)

旋轉張量Ω為二階反對稱張量，與其等價的旋轉矢量?為

(4)

(5)

所以曲率張量是旋轉矢量的梯度。

彈性體的總應力是對稱應力和反對稱應力之和，而反對稱應力聯系著偶應力。對稱應力與應變張量的本構關系滿足廣義胡克定律，偶應力m和曲率張量χ的本構關系則表達了關于旋轉變形的內力與變形特性，兩個本構關系[25]改成為

(6)

式中λ，μ為拉梅參數，η為旋轉模量。

(7)

(8)

式中t=σ+τ為作用于彈性體質點上的非對稱應力，a為彈性體質點的加速度。含偶應力彈性體滿足邊界條件：

(9)

(10)

在偶應力彈性理論中，彈性體質點上同時作用著非對稱的應力和偶應力，分別對應著平動變形和旋轉變形，并且應力和偶應力滿足動量和動量矩守恒方程。

下面考慮彈性體作定軸剛體轉動的情況。建立一個固定坐標系{ei′}和一個固結在彈性體上的浮動坐標系{ei}，如圖1所示。彈性體繞一定軸以角速度ω作剛體轉動。

圖1　繞定軸轉動的彈性體及其坐標系Fig.1　The elastic body rotates about an axis

彈性體上任意一點在固定坐標系下的位置矢量為[26]

(11)

式中R為聯系浮動坐標系與固定坐標系的正交張量。矢徑r′為質點在固定坐標系下的位置矢量，注意矢徑r0為定系原點在浮動坐標系下的位置矢量，作剛體轉動時保持不變，但矢徑r0在固定坐標系下由于剛體轉動是變化的。矢徑x0為浮動坐標系下彈性體上任意一點的初始位置。矢徑u為浮動坐標系下彈性體上任意一點的位移。

Euler-Rodrigues旋轉公式[27]可以表達為

(12)

(13)

(14)

運動著的彈性體具有動能T、應變能U和外力功W。假設在瞬時t1和t2，彈性體所處的運動狀態為給定的兩種狀態，哈密爾頓原理表達式[24]為

(15)

式中t1和t2為給定的兩種運動狀態的時刻，δT為系統動能的變分，δU為彈性體應變能的變分，δW為作用于彈性體上外力功的變分。

作大范圍剛體轉動的含偶應力彈性體，在固定坐標系下，整個系統的動能為

(16)

將式(13)代入式(16)得到

(17)

式中ρ為彈性體的密度。由正交張量的保內積性質可得系統動能T為

(18)

(19)

系統動能T的變分為

(20)

在上述的推導過程中，變分運算、積分運算與微分運算的次序可以交換。將式(20)對時間t從t1到t2進行積分，得到

(21)

由于時刻t1，t2為系統給定的兩種運動狀態，彈性體的位移變分為零，δu(t1)=0和δu(t2)=0，所以式(21)中第1項對時間積分，得到

(22)

同理可得式(21)中第4項為0。

注意到矢量的混合運算滿足下式

(23)

對于已知剛體轉動的情況，利用上式，式(21)中第3項改寫為

(24)

同樣注意到矢量的混合運算滿足

(25)

則式(21)中第5項和第6項之和改寫為

(26)

將式(24)和(26)代入式(21)得

(27)

δW=∫Vρ(δu′·b′+δ?′·c′)dV+

(28)

(29)

將邊界條件(9)代入式(29)并利用高斯積分變換公式，可得

δW=∫V[ρ(δu·b+δ?·c)+(δu··t+δ?··m+t:δu+m:δ?)]dV

(30)

將式(8)代入式(30)得

δW=∫V[δu·(·t+ρb)+(δε:σ+δχ:m)]dV

(31)

含偶應力彈性體的變形能包含質點的平動變形能和旋轉變形能，在固定坐標系下，彈性體變形能U的變分為

δU=∫V(δε′:σ′+δχ′:m′)dV=

∫V(δRTεR:RTσR+δRTχR:RTmR)dV=

∫V(δε:σ+δχ:m)dV

(32)

將式(27)，(31)和(32)代入式(15)得到含偶應力彈性體的哈密爾頓方程

(r0+x0+u)}dVdt=0

(33)

使方程(33)對任意時刻t都成立，必須滿足體積為V、面積為S的任意彈性體上的積分為零，即有

(34)

由于δu≠0，則上式必須滿足

(

(35)

考慮到含偶應力彈性體中t=σ+τ，將式(10)代入上式，得到另一種形式的含偶應力彈性體的動力學方程

×(×c=

(36)

由方程式(35)或(36)可知，彈性體由于作剛體轉動受到了離心力、切向慣性力、科氏慣性力的附加慣性力作用，造成彈性體的動力學行為發生演化。剛體轉動與彈性變形發生了運動學耦合。觀察發現，沒有剛體轉動，耦合動力學模型退化為含偶應力彈性理論，且進一步忽略彈性體旋轉變形，含偶應力彈性理論退化為經典彈性力學。

2　含偶應力彈性體作剛體轉動的耦合動力學方程的有限元格式

含偶應力彈性體體積為V，面積為S，取權函數為真實位移的變分δu和變形轉角的變分δ?，彈性體內力所作的虛功，作用于彈性體上外力和外力偶所作的虛功以及系統作剛體轉動產生附加慣性力所作的虛功滿足虛功方程

(37)

式中δε和δχ為虛應變和虛曲率張量。注意到曲率張量χ是位移的二階導數而變形轉角?是位移的一階導數，采用有限元方法進行數值分析時，為避免變形轉角在節點上的非連續性，采用約束變分原理來建立有限元方程。為此，在彈性體內引入一個附加變形轉角φ，該變形轉角φ與由位移決定的變形轉角?在彈性體域內滿足變分約束條件：∫Vδ(φ-?)·(φ-?)dV=0。對彈性體進行有限元離散時，附加變形轉角φ與位移一起作為單元節點未知變量，則位移與變形轉角φ均滿足連續性要求。利用罰因子α將約束條件引入虛功方程，即有含偶應力彈性體作剛體轉動的虛功方程(37)的約束變分形式為

α∫Vδ(φ-?)·(φ-?)dV=0

(38)

采用六面體8個節點48個自由度的等參元對彈性體進行離散，單元體上節點位移和變形轉角均為未知變量，單元節點位移-轉角列陣：

(39)

(40)

考慮到偶應力是非對稱的，應力-偶應力列陣：

(41)

式中D1為經典的彈性矩陣，D2為偶應力與曲率張量的本構關系矩陣。其中D2=4ηI9×9，I9×9為9×9單位矩陣。

關于增加的約束項，取其變形轉角差值列陣為{φ-?}=[φx-?xφy-?yφz-?z]T，與單元節點位移-轉角列陣δe存在關系

(42)

約束變分原理中出現的附加慣性力都與剛體轉動速度有關。剛體轉動角速度ω等價于二階反對稱張量Θ，且滿足Θ=-·ω，注意以下關系式

(43)

(44)

{δδe}T(∫VeρΝTΘ′2ΝdV)δδe+

{δδe}T(α∫VeBαTBαdV)δδe={δδe}T(∫VeρΝTfdV)+

(45)

由于單元節點位移-轉角變分的任意性，立即有含偶應力彈性體作剛體轉動的耦合動力學模型的有限元方程

(46)

對于離散為n個單元的含偶應力彈性體，由單元有限元方程組集可得結構總體有限元方程

(47)

式中M為n個單元質量陣組集成的彈性體質量陣，C為單元科氏矩陣組集成的總體科氏矩陣，K為單元剛度矩陣、單元離心剛度矩陣、單元切向剛度矩陣和單元約束矩陣組集成的系統總體剛度陣，P為單元體力和面力列陣、單元初始離心力列陣和單元初始切向慣性力列陣組集成的彈性體廣義外力列陣，δ為彈性體的位移-變形轉角列陣。

3　作剛體轉動懸臂梁的耦合動力學分析

利用上述有限元方程對旋轉懸臂梁的動態頻率、動態位移、動態應力和偶應力等進行系統分析。繞定軸轉動的懸臂梁如圖2所示，梁的一端固定在轉動的剛性輪轂上，剛體轉動的角速度為ω。固定坐標系的原點為o′。浮動坐標系的原點在旋轉懸臂梁的固定端面中心，其中x軸沿著梁的展向，y軸沿剛體轉動的切向，z軸與剛體轉動軸一致。浮動坐標系原點與固定坐標系原點的距離r0=1.0 m，梁長L=10 m，梁橫截面寬度B=0.1 m，橫截面高度H=0.2 m。選取懸臂梁的材料為軋制錳黃銅，材料的彈性模量為E=110 GPa、泊松比ν=0.35、密度ρ=8.5×103kg/m3。為確定軋制錳黃銅的旋轉模量，參照Fleck和Hutchinson[21]細銅絲扭轉試驗，銅的內稟長度約為l=4 μm，利用η=μl2得旋轉模量η=0.72 Pa·m2。

圖2　繞定軸轉動的懸臂梁Fig.2　The cantilever beam rotating along a fixed axis

對已知剛體轉動的情況，耦合動力學方程是時變的偏微分方程組，即方程中的系數項與剛體轉動的速度有關。在剛體轉速恒定情況下，耦合動力學方程退化為常系數偏微分方程組，這時可考察不同恒定轉速下旋轉懸臂梁的特征頻率。圖3為旋轉懸臂梁作剛體恒定轉速運動但幅值不同時的第1階特征頻率。旋轉懸臂方梁不作剛體轉動時，其第1階模態為懸臂梁的橫向彎曲振動，即梁截面的寬度和高度兩個方向，因而其相應的第1階模態會出現兩個特征頻率值。從圖3可以看出，旋轉懸臂梁的第1階模態對應的特征頻率值會隨著剛體恒定轉速幅值的改變而發生漂移。第1階模態對應的特征頻率值會隨著剛體恒定轉速的增加保持不變和下降兩種情況。旋轉懸臂梁的特征頻率值隨著恒定轉速幅值的不斷增加將會逐漸下降，這里將會出現使得其特征頻率趨近于零時的最大剛體恒定轉速，這個最大恒定轉速幅值約為2.52 rev/s，此值為旋轉懸臂梁不作剛體轉動時的第1階固有頻率值。由于特征頻率值不能為零或者低于零，因而剛體恒定轉速幅值不能超過這個值。產生這種現象的原因是由于計算模型中出現的附加慣性力項，包括相對慣性力、離心力、科氏力和切向慣性力等對旋轉懸臂梁的特征頻率的影響，其中離心力對其影響最為顯著。

圖3　不同恒定轉速下旋轉懸臂梁的特征頻率Fig.3　Dynamic frequency of rotational cantilever beam versus varied constant rotational velocity

令已知剛體轉動的角速度變化規律[1]為

(48)

式中ts為剛體轉動達到恒定轉速之前的加速時間，ωs為最終的恒定轉速。

取加速時間為20.0 s以及最終的恒定轉速為6.0 rad/s，剛體轉動的角速度按照式(48)進行變化，得到圖4所示的旋轉懸臂梁轉動角速度和角加速度隨時間的變化曲線。

圖4　角速度和角加速度時間歷程Fig.4　Time history of the angular velocity and angular acceleration

數值計算得到了旋轉懸臂梁繞定軸作剛體轉動的動力學響應，包括懸臂梁的動態位移、動態變形轉角、動態應力和偶應力隨時間的變化曲線。圖5描述了旋轉懸臂梁自由端面中心點處的橫向位移和變形轉角隨時間的變化曲線，圖5(a)為浮動坐標系下旋轉懸臂梁自由端面中心點處y方向的位移uy，圖5(b)為懸臂梁自由端面中心點處變形轉角φz，從圖5可以看出，懸臂梁變形轉角φz和位移uy的變化趨勢一致，并且位移和轉角在剛體角加速度達到最大值的時刻也達到最大值，而初始切向慣性力關聯于剛體角加速度，說明初始切向慣性力對位移和變形轉角的影響起著主導作用。圖6為旋轉懸臂梁固定端面中心的動態應力和偶應力響應曲線。動態偶應力隨時間的變化趨勢和變形轉角隨時間的變化趨勢一致，主要由于偶應力取決于變形轉角。動態應力既包括徑向離心力對懸臂梁軸向拉伸產生的正應力又包括切向慣性力對懸臂梁橫向彎曲產生的剪切應力，因而應力隨時間的變化趨勢與旋轉懸臂梁的剛體角速度和角加速度都有關，如圖6所示，達到應力峰值的時刻會延后于達到剛體角加速度最大值的時刻，此外，當懸臂梁作恒定的剛體轉動時，由于離心力的作用，懸臂梁始終存在軸向正應力，而且這個值對旋轉懸臂梁起著主導作用。

圖5　懸臂梁自由端面中心點在浮動坐標系下的橫向位移與變形轉角隨時間變化曲線Fig.5　Transverse displacement and the deformation angle at the free end center of cantilever beam versus time in the floating frame

圖6　旋轉懸臂梁固定端處的動態應力和偶應力隨時間變化曲線Fig.6　Dynamic stress and couple stress at the fixed end of cantilever beam versus time in the floating frame

下面將改變旋轉懸臂梁剛體轉動的角速度變化規律，使角速度在加速階段線性增加，最終達到恒定角速度，其運動規律為

(49)

同樣取加速時間為20.0 s以及最終的恒定轉速為6.0 rad/s，得到圖7所示的旋轉懸臂梁轉動角速度和角加速度隨時間的變化曲線。

圖7　角加速度和角加速度時間歷程Fig.7　Time history of the angular acceleration and angular velocity

圖8描述了旋轉懸臂梁在作剛體恒定角加速度時自由端面中心點處的橫向位移和變形轉角隨時間的變化曲線，圖8(a)為浮動坐標系下旋轉懸臂梁自由端面中心點處y方向的位移uy，圖8(b)為自由端面中心點處變形轉角φz。從圖(8)中可以看出，旋轉懸臂梁的動態位移和變形轉角的響應，在角速度恒加速階段，位移和變形轉角會發生振蕩，同時位移和變形轉角振動的平衡點會出現跳躍隨著角加速度的突然消失，然后在恒定角速度階段作周期性的振動。

圖8　懸臂梁自由端面中心點在浮動坐標系下的橫向位移與變形轉角隨時間變化曲線Fig.8　Transverse displacement and the deformation angle at the free end center of cantilever beam versus time in the floating frame

圖9為旋轉懸臂梁固定端面中心的動態應力和偶應力響應曲線。如圖9(a)所示，動態應力和偶應力的響應在角速度恒定加速階段同樣會出現振蕩，并且應力幅值會隨著角速度的增大而增大，當角加速度降為零時，應力平衡點會出現跳躍，在旋轉懸臂梁恒定角速度轉動時，應力將隨時間呈周期性變化。圖9(b)為偶應力響應曲線，由于恒定角速度時變形轉角很小，而偶應力與變形轉角直接相關，因而偶應力在恒定角速度階段將會在零點附近作微小振動。角速度作線性增加的剛體轉動，旋轉懸臂梁的位移、變形轉角、應力和偶應力的響應會出現振蕩，這與旋轉懸臂梁作連續的變角加速度轉動時的響應不同，產生這種現象的原因將在下面結論中討論。

圖9　旋轉懸臂梁固定端處的等效應力和等效偶應力隨時間變化曲線Fig.9　Equivalent stress and couple stress at the fixed end of cantilever beam versus time in the floating frame

4　結　論

利用含偶應力彈性理論進行彈性體的變形分析，結合哈密爾頓原理推導彈性體作定軸剛體轉動的耦合動力學方程。通過約束變分原理，以位移和變形轉角為獨立變量，構造三維彈性體的六面體8個節點48個自由度的等參元，給出含偶應力彈性體作剛體轉動的耦合動力學分析的有限元方程。針對繞定軸作剛體轉動的懸臂梁，數值分析了旋轉懸臂梁剛體轉速恒定但幅值不同時的特征頻率，計算分析了旋轉懸臂梁繞定軸作變角速度轉動的動態位移、動態變形轉角、動態應力和偶應力的動力學響應。

旋轉懸臂方梁不作剛體轉動時，其一階模態為懸臂梁的橫向彎曲，相應的一階模態會出現兩個特征頻率值。旋轉懸臂方梁作定軸剛體轉動時，其特征頻率會出現隨剛體轉速增加保持不變和下降兩種變化情況。針對旋轉懸臂梁作定軸旋轉運動的角速度變化情況，分別計算了變角加速度和恒角加速度兩種工況。當旋轉懸臂梁作連續的變角加速度轉動時，其動態位移、變形轉角、動態應力和偶應力等動力學響應比較平滑，不會出現較大的振蕩。然而，當旋轉懸臂梁作恒角加速度變化時，懸臂梁角速度呈線性增大至最終恒定轉速，旋轉懸臂梁動力學響應會出現振幅較大的周期性振動，同時在角加速度突變為零時刻會出現跳躍。模型中考慮附加慣性力，離心力、科氏力關聯于角速度以及切向慣性力關聯于角加速度，這些力由于角速度和角加速度的改變而發生較大改變，從而使得旋轉懸臂梁的動力學響應發生較大的振蕩，同時出現跳躍。

采用偶應力理論不僅可分析宏觀尺寸的旋轉結構，也適合于分析微觀尺寸的旋轉彈性結構。根據本文結果，即使對宏觀旋轉梁的分析，也能夠給出變形轉角、曲率張量、偶應力等動態響應，對彈性結構的動態分析更為全面。本文的研究可為定軸旋轉系統的結構和部件如直升機旋翼、衛星天線、離心振動臺、太陽能帆板和大型渦輪機葉片等的研制、測試以及動力學分析提供基礎理論和數值分析方法。

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Dynamic modeling and numerical analysis of elastic body with couple stress under fixed-axis rotation with variable rotational speed

GUOXiao-wei1，LIUZhan-fang1,2，HAOZhi-ming3

(1.State Key Laboratory of Coal Mine Disaster Dynamics and Control, Chongqing University, Chongqing 400030, China;2.College of Aerospace Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030, China;3.Institute of Structural Mechanics, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900, China)

A generalized linear elastic model is proposed with the couple-stress elastic theory. The strain and curvature tensor of the elastic body is described in kinematics by translational and rotational deformations, corresponding to the internal force stress and couple-stress respectively. For the case of the rigid body rotation with known rotational speed, the kinematics-deformation coupling kinetic model of the couple-stress elastic body is derived by using Hamilton′s principle. Moreover, the relative inertia force, centrifugal force, Coriolis inertia force and tangential inertia force are taken into account in this model. The finite element equations of the couple-stress elastic body is established using the constrained variation principle by using the hexahedron solid isoparametric element with 8 nodes and 48 degrees-of-freedom and taking the displacement and the deformation angle as independent variables. A cantilever beam rotating about a fixed axis is used here as an application example to explore the dynamic characteristics and the dynamic response. The first mode characteristic of the rotational rectangular beam goes to two cases with different constant rigid rotational velocities, one of which decreases to vanish and the other remains the same with the rotational speed increasing. The displacement, deformation rotor angle, and the dynamic stress and couple stress of the rotational beam versus time are numerically implemented while the rigid body rotates with variable speed. The dynamics analysis research for the fixed-axis rotation structure can provide theoretical model and numerical analysis method.

couple-stress elastic theory; rigid-flexible coupling; kinematics-deformation coupling model; effect of inertia force; constrained variation principle

2015-05-27；

2015-11-04

國家自然科學基金面上項目資助(11372365);國家自然科學基金委員會和中國工程物理研究院聯合基金資助項目(11176035)

O326； O313．3

A

1004-4523(2016)01-0050-11

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.008

郭小煒(1985—)，男，博士研究生。電話: 13648319976； E-mail: guoxiaowei1478@sina.com

劉占芳(1963—)，男，教授，博導。 電話: 13648354436； E-mail: zhanfang@cqu.edu.cn