基于層次模糊熵和改進支持向量機的軸承診斷方法研究*

李永波， 徐敏強， 趙海洋, 黃文虎

(哈爾濱工業大學深空探測基礎研究中心， 黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于層次模糊熵和改進支持向量機的軸承診斷方法研究*

李永波， 徐敏強， 趙海洋, 黃文虎

(哈爾濱工業大學深空探測基礎研究中心， 黑龍江 哈爾濱 150001)

提出一種新的軸承故障特征提取方法——層次模糊熵 (Hierarchical Fuzzy Entropy ,HFE)。層次模糊熵包括層次分析和模糊熵計算。與多尺度模糊熵相比, 層次模糊熵既分析信號的低頻分量又分析信號的高頻分量，因而能提取更全面、準確的故障信息。改進支持向量機(Improved support vector machine based binary tree，ISVM-BT)相比其他多分類器具有識別率更高的優勢，因此提出了一種基于層次模糊熵和改進支持向量機的軸承故障診斷方法。首先將HFE作為故障特征提取工具，然后將所得的特征向量輸入到改進支持向量機進行模式識別。通過軸承故障診斷的工程應用，表明該方法可以有效提取軸承故障特征，實現軸承不同故障類型和故障程度的準確識別。

故障診斷； 層次模糊熵(HFE)； 改進支持向量機(ISVM-BT)； 滾動軸承

引　言

滾動軸承作為一種基礎的機械構件，在工業領域中發揮著極其重要的作用。人們對滾動軸承的故障診斷進行了大量的研究[1-3]。對于軸承的故障診斷通常采用振動分析方法，通過振動信號采集、故障特征提取和模式識別進行軸承故障診斷。針對滾動軸承故障信號的非平穩、非線性特征，如何有效提取軸承故障信息是最重要的環節。近年來，已有多種非線性分析方法如小波分析、神經網絡、支持向量機、經驗模態分解、分形維數等。

Pincus[4-5]最早提出近似熵的概念，通過比較數據和其自身來反映時間序列的復雜度。Richman[6]在近似熵的基礎上提出了樣本熵，克服了近似熵自身匹配的缺點。由于近似熵和樣本熵都采用階躍函數定義相似性，這與實際樣本類邊緣比較模糊不符。為克服上述不足，陳偉婷[7]提出了模糊熵(Fuzzy Entropy)的概念。然而近似熵、樣本熵和模糊熵只能從單一尺度上度量時間序列復雜性，與復雜度之間沒有直接對應關系，Costa[8-9]等提出了多尺度熵概念，首先對時間序列進行空間尺度分割，然后計算每個尺度下樣本的熵值，進而得到時間序列在不同尺度下的復雜度。鄭近德[10]將粗粒分割與模糊熵相結合提出多尺度模糊熵，并將其應用于軸承不同類型故障的診斷中。

文獻[11-12]指出多尺度熵只能分析時間序列的低頻部分，忽略了高頻成分，進而提出層次熵，它既可反映信號高頻分量復雜度又可反映低頻分量復雜度。本文在模糊熵的基礎上，借鑒層次分析的思想，提出了一種新的熵值計算方法——層次模糊熵。由于測得的軸承振動加速度信號的故障信息頻帶分布比較豐富，只考慮信號中的低頻成分不能完全提取隱藏故障特征。為了能夠更加全面分析非線性、非平穩信號在各個頻段的特征，本文將層次模糊熵作為故障特征提取的工具應用到滾動軸承故障診斷中。

二叉樹的層次結構在二叉樹支持向量機(SVM-BT)中發揮著重要作用。目前二叉樹的層次結構的設計方法主要包括：類間樣本距離法[13]和類內樣本分布法[14]。其中類間樣本距離是先分出距離最遠的類，而類內樣本分布法是先分出分布最廣的類。基于兩種方法的優點，設計一種新的可分性測度，稱為ISVM-BT，可有效提高識別率[15]。

本文利用層次模糊熵提取故障特征，結合ISVM-BT提出了一種新的軸承診斷方法。在此基礎上，將此方法與多尺度模糊熵進行比較。實驗結果表明，該方法可有效完成軸承不同故障類型和程度的準確識別診斷。

1　多尺度模糊熵和層次模糊熵

1.1多尺度模糊熵

樣本熵和模糊熵的定義參考文獻[7,16], 為了更準確地描述時間序列的復雜性，Costa提出多尺度概念[8]。鄭近德借鑒多尺度分析與模糊熵的概念提出了多尺度模糊熵(multi-scale fuzzy entropy，MFE)并將其應用到軸承故障診斷中[10]。MFE方法的計算流程如下：

(1)

式中τ為尺度因子，τ=1,2,…，n(n為正整數)。

(2) 對于每一個得到的粗粒向量求取模糊熵，得到n個粗粒向量的模糊熵值，將其表示成尺度因子τ的函數，稱為多尺度模糊熵分析。

(2)

式中相似容限r=(0.1～0.25)*SD，SD為原始序列的標準差。

從上述多尺度模糊熵的計算流程可以看出，多尺度模糊熵是從不同尺度因子上度量時間序列的復雜度。實際上，在多尺度模糊熵中，粗粒化的過程是求平均化的過程，即只考慮了原始序列的低頻分量，忽略高頻分量。對于故障信息主要分布較豐富的時間序列，多尺度模糊熵不能滿足要求。為了提取信號中高頻分量的故障信息，本文引入了層次模糊熵的概念，相比于多尺度模糊熵，層次模糊熵同時考慮了信號中低頻分量和高頻分量，從而能提供更加全面、準確的時間模式信息。

1.2層次模糊熵

江英提出了層次熵的概念，用于度量時間序列在不同節點處的復雜性，并將其成功應用到生物學信號分析中[11]。借鑒層次熵中層次分割的優勢，結合模糊熵的定義，提出了層次模糊熵(hierarchical fuzzy entropy，HFE)的概念。與層次熵類似，層次模糊熵的計算流程如下：

(1) 給定長度為N的時間序列{u(i),i=1,2,…，N}，定義平均數算子Q0和Q1如下：

(3)

(4)

注：N=2n，n是正整數。算子Q0和算子Q1的長度為2n-1。根據算子Q0和Q1原始序列可重構為

(5)

當j=0或j=1,定義矩陣Qj算子如下

(6)

(2) 構造一個n維向量[γ1,γ2,…,γn]∈{0,1}, 則整數e可表示為

(7)

式中正整數e對應的向量為[γ1,γ2,…,γn]。

(3) 基于向量[γ1,γ2,…,γn]，定義時間序列u(i)每一層分解的節點分量如下

(8)

式中k表示層次分割中的第k層，如圖1所示，原始時間序列u(i)在第k+1層的低頻和高頻部分分別用uk,0,uk,1表示。

(4) 對所得每一個層次分量求其模糊熵，得到2k個層次分量的模糊熵值，即為層次模糊熵分析，層次模糊熵可表示為：

HFE(u,k,e,m,r)=FuzzyEn(uk,e,m,r)

(9)

圖1　時間序列u(i)的層次分割示意圖(k=3)Fig.1　Hierarchical tree diagram of time series u(i) with k=3

綜上所述，Q0和Q1算子是低頻部分和高頻部分，與Haar小波的低通和高通濾波的原理相一致[11]。在圖1中最左側的分解節點U1, 0,U2, 0和U3, 0的模糊熵值分別對應多尺度分析中尺度所得的模糊熵值，即分解節點Uk, 0對應多尺度分析中尺度的模糊熵值。以上分析說明多尺度模糊熵只分析時間序列低頻部分的模式信息(層次模糊熵的最左側的分解節點)，忽略了高頻部分的模式信息，而層次模糊熵在分析時間序列高頻部分的同時還分析低頻部分的模式信息。實際測得軸承振動信號在其高頻部分也存在重要的故障信息，信號低頻部分的信息并不能完全反映軸承故障的本質特征，說明了對信號進行層次分析的重要性。

1.3參數選擇

根據層次模糊熵的定義，在進行層次模糊熵計算前需要設置4個參數：嵌入維數m，模糊函數的相似容限r，模糊函數的邊界梯度n和層次分解的層數k。(1)嵌入維數m的取值會影響動態重構時信息量的多少。m取值過小會造成重構時信息的丟失，m取值過大會有很多的詳細信息，但m越大，計算所需要的數據長度N就越大(N=10m～30m)，因此綜合考慮設置m=2。(2)相似容限r的取值對統計特性有影響，r過大會造成統計信息的丟失；r過小估計出的統計特性不準確。因此一般取r為0.1～0.25倍原始數據的標準差，即r=(0.1～0.25) SD。(3)模糊函數的邊界梯度n在向量的相似性計算中發揮權重作用，n>1時，更多地計入較近的向量對其相似度的貢獻，而更少地計入較遠的向量的相似度貢獻；n過大會導致細節信息的喪失，而n<1時則相反。為了獲取盡量多的細節信息，根據文獻[7]，取較小的整數值n=2。(4)分解層數k，k值過大會影響計算效率并且會導致參與每一個層次分量計算的點減少，同時k值過小會導致原始序列頻帶劃分不夠詳細，從而不能獲得足夠的從低頻到高頻的層次分量，綜合考慮取k=3。

1.4仿真數據試驗

為了比較多尺度模糊熵和層次模糊熵，根據參考文獻[11]定義一個白噪聲信號，數據長度N=5000 如圖2(a)所示，對其進行傅里葉變換和歸一化處理，其結果如圖2(b)所示。由圖2可知，白噪聲信號在各個頻帶上的復雜度近乎不變。

然后用層數k=3的HFE和尺度τ=8的MFE分別求解白噪聲信號的模糊熵值，同時為了觀察HFE和MFE算法的穩定性，在每一個尺度上分別求取100組獨立白噪聲的熵值的誤差棒如圖3所示。

圖2　白噪聲的時域波形和頻譜圖Fig.2　Waveform and FT( Fourier transform) spectrum of white noise

圖3　白噪聲的層次模糊熵和多尺度模糊熵 Fig.3　HFE and MFE curves of white noise

由圖3可以看出，對于白噪聲信號，由HFE計算得出的層次熵值隨分解節點的變化平穩，熵值變化近似獨立于節點的變化, 此現象與不同頻帶上白噪聲的熵值近似不變的結論保持一致[11]。同時觀察MFE計算的白噪聲的模糊熵值變化，發現模糊熵值隨著尺度增加單調下降，這與白噪聲在各個頻帶復雜度近似不變結論不符。由于MFE只分析了仿真信號的低頻成分，忽略其高頻的成分，而HFE能同時分析信號中的低頻和高頻成分，因而能提取更加豐富的信息。 最后觀察HFE和MFE的計算100組獨立白噪聲的熵值的誤差棒，通過圖3發現，尺度較小時HFE和MFE都具有很好穩定性，但隨著尺度增大，HFE相比于MFE的誤差棒更小，這說明HFE相比于MFE的穩定更好。

2　改進二叉樹支持向量機(ISVM-BT)

二叉樹支持向量機(ISVM-BT)識別能力主要依賴于二叉樹層次結構，目前的二叉樹生成算法主要有：類間樣本距離[13]和類內樣本分布[14]。兩種算法從不同的角度描述了樣本的可分性，且具有較好的推廣能力。文獻[15]在結合兩種算法優勢的基礎上提出了一種新的生成二叉樹層次結構的算法，理論上能夠將類間樣本距離較大且類內樣本分布越廣的類優先分離出來。

為實現上述目的，采用歐氏距離來分別描述類間樣本距離和類內樣本分布的情況。給定同類特征樣本集合{xi，i=1，2，…，k}，類內樣本距離的定義如下：

類內樣本歐氏距離為

(10)

樣本xi到其他類內樣本的平均距離

(11)

定義類內所有樣本到其他類內樣本的平均距離

(12)

同理定義類間樣本距離，首先給定兩類樣本集合{xi，i=1，2，…，k}和{yj，j=1，2，…，k}，其中xi∈類A，yj∈類B，定義類A與類B的類間樣本平均距離如下：

類A與類B間的歐氏距離

(13)

計算類A樣本xi對到類B各樣本間的平均距離

(14)

定義類A和類B間的平均距離

(15)

將類內平均距離和類間平均距離結合起來定義類A和類B的可分性IA,B為

(16)

式中AVIxy為類A與類B的平均距離，AVx和AVy為類內樣本平均距離，K為權重值。可分性IA,B表達式中含有類內樣本距離和類間樣本距離，因此能同時反映類A和類B的類間樣本距離和類內樣本分布的情況。通過調節權重系統K(K取值為[2-4，2-3，…，23，24])，可生成最優的二叉樹層次結構。

ISVM-BT的計算流程圖如圖4所示。

圖4　ISVM-BT的計算流程Fig.4　Flowchart of ISVM-BT procedure

具體算法流程如下：

(1) 給定權值K的范圍(K=2n，n=-4，-3，…，4)，計算訓練樣本的AV和AVI；

(2)選取某一權值K，計算當前K下的可分性矩陣SI=[Ii,j],i,j=1,2,…,N,i≠j(SI為對稱矩陣)；

(17)

(3)對SI的每一行分別求和，并按值大小進行排序，若數值相等，序號小的在前；

(4)子分類器的構建：將可分性最大的類作為子分類器的第一個正類，余下的N-1類樣本集合作為子分類器的負類；

(5)重復步驟(4)的過程，直至建立N-1個SVM子分類器，生成二叉樹層次結構。

(6)將測試樣本輸入當前層次結構下支持向量機, 得出測試樣本的識別準確率，并記錄；

(7) 令n=n+1，得到不同的權值K，重復步驟(2)～(6)，通過最高的測試樣本識別率確定最優權值K。

3　層次模糊熵和改進支持向量機的算法流程

基于層次模糊熵故障特征提取和ISVM-BT模式識別的軸承故障診斷方法流程如下：

(1)采用層次模糊熵對采集不同狀態下的軸承信號進行層次k=3的模糊熵計算，得到8個節點的熵值，對每一個節點進行模糊熵計算時設置嵌入維數m=2，相似容限r=0.15*SD；

(2)將得到的8個節點熵值作為故障特征向量，同時將特征向量分為訓練樣本集和測試樣本集；

(3)將訓練樣本集輸入到ISVM-BT中訓練，根據最高識別準確率，選出最優二叉樹層次結構；

(4)將測試樣本輸入到由步驟(3)得到的最優二叉樹層次結構中做故障模式識別。

需要注意的是經遺傳算法計算的罰函數C和核函數γ會略有不同，因此以5次優化過程中最高識別率作為當前權重K值對應的識別準確率。

4　工程應用實例

4.1試驗數據介紹

以美國西儲大學(Case Western Reserve University)軸承實驗室滾動軸承為研究對象[17]，試驗臺包括一個2馬力電機，一個轉矩傳感器和一個功率計，如圖5所示。本次試驗采用驅動端的深溝型球軸承，其型號為6205-2RS JEM SKF。采用電火花機分別對軸承做3種故障的損傷：軸承內圈故障(IRF)，外圈故障(ORF)和滾動體故障(BF)，并做4種不同程度損傷，損傷直徑分別為0.1778 mm, 0.3556 mm, 0.5334 m和0.7112 mm。振動加速度傳感器固定在驅動電機支撐軸的軸承座上方，并在四種不同工況下采集振動信號。采樣頻率為12 kHz，采樣時長為1 s，驅動電機的轉速為1730 r/min，載荷為2206.50 W。

圖5　軸承試驗臺結構簡圖Fig.5　The sketch of rolling bearing experiment system

4.2振動信號分析與故障特征提取

本次試驗采用振動數據由3種故障狀態振動信號和正常狀態振動信號組成，每種故障狀態又包含不同程度的故障，每種狀態取60組數據，其中10組為訓練樣本，剩余50組為測試樣本，數據長度N=2048，詳細信息如表1所示。8種不同故障類型和不同故障程度的軸承故障振動加速度信號的時域波形如圖6所示。

表1　試驗數據列表

圖6　8種不同狀態下的振動信號時域波形圖Fig.6　The waveforms of rolling bearing vibration signal under eight different conditions

由圖6 可知，由于背景噪聲干擾和故障類型較多，難以從時域波形上對不同類型和不同程度的軸承故障進行區分。首先采用MFE對不同狀態下的振動數據進行處理，為了避免偶然性，每種狀態下選取50組數據進行多尺度模糊熵分析，然后求均值，結果如圖7所示。

圖7　8種不同狀態下的振動信號多尺度模糊熵Fig.7　MFE values over 8 scales for analyzing 8 health bearing conditions

由圖7 可得出以下結論：首先正常狀態下，滾動軸承的振動信號在大尺度上熵值較大，故障狀態下熵值較小。這是由于正常滾動軸承振動信號是隨機振動信號[10]，在大尺度上信號無規則性更高，自相似性較低，因此熵值較大。相比于正常狀態，滾動軸承出現故障時，采集的振動信號由于受到周期性沖擊，規則性增加，自相似性降低，因此熵值偏小。其次3種軸承輕度故障的多尺度模糊在大尺度上排序為：軸承外圈故障<軸承內圈故障<軸承滾動體故障。由于滾動軸承的外圈在工作時固定在基座上，不隨軸旋轉，出現故障時，測得振動信號自相似性最強，熵值最低；內圈是隨著軸一起轉動，且相比于外圈故障，內圈故障的傳遞路徑較長，測得振動信號雖具有一定沖擊性，但也具有干擾。因此相比于外圈故障，內圈故障復雜性較高，熵值較大；滾動體在隨軸轉動同時還有自身的轉動，且傳遞路徑最遠，因此理論上滾動體故障相比于其他兩種故障具有最高復雜度，熵值最大。

雖然通過多尺度模糊熵能夠區分軸承正常工況和3種不同類型輕度故障工況，然而對于同一故障類型不同故障程度(如內圈輕度和中度故障)以及不同故障類型和故障程度(如內圈輕度故障、外圈中度故障和滾動體輕度故障)的故障信號，采用多尺度模糊熵進行計算時，在每個尺度上，模糊熵值很接近不能進行有效區分。

圖8　8種不同狀態下的振動信號層次模糊熵Fig.8　HFE values of the 8 hierarchical decomposition nodes for analyzing 8 health bearing conditions

針對多尺度模糊熵在分析軸承不同故障類型和程度存在的不足，提出了采用多層次模糊熵進行軸承故障特征的提取，設置分割層數k=3，軸承在不同狀態下層次模糊熵曲線如圖8所示。由圖8可得出如下結論。首先軸承正常狀態的層次模糊熵值隨分解節點數增加呈單調下降趨勢，說明振動信號的低頻成分包含主要的時間模式信息。其次當軸承處于故障狀態時，振動信號在低頻部分(節點=3)和高頻部分(節點=7)熵值較大，說明故障信息不僅隱藏在振動信號的低頻部分，振動信號的高頻部分也包含重要的故障信息。第三每種狀態下選取50組數據進行層次模糊熵分析，每一個分解節點處的不同狀態模糊熵值排序保持不變，說明層次模糊熵分析具有很好的穩定性。

綜上所述，滾動軸承的振動信號的高頻部分也包含重要的故障信息，只考慮低頻部分的信息不能完全刻畫軸承故障的本質，從而驗證了層次模糊熵的優越性，適合進行軸承故障特征的提取。

4.3軸承故障診斷與結果分析

通過4.2節的分析，利用層次模糊熵提取軸承的故障特征。選取4.2節中8種工況各60組特征向量作為樣本集，其中以每種工況10 樣本作為訓練樣本，剩余50組為測試樣本。權重K的取值范圍設為[2-4，2-3，…，23，24]，對于每一個K值對應的二叉樹層次結構，采用LibSVM工具箱對剩余的50組樣本進行測試，得出在各個權值K下識別準確率，識別結果如表2所示。從表2中可以看出K=21時，識別率達到100%，從而確定出最優二叉樹層次結構如圖9所示。注：N 表示正常工況；I1, I2, I3表示內圈的輕度，中度和嚴重故障；O1, O2表示外圈的輕度和中度故障；B1, B2表示滾動體的輕度和重度故障。

表2　不同權重值K下的層次結構和識別準確率

圖9　最優層次結構下子分類器示意圖Fig.9　The order of multi-fault classifier under optimum hierarchy structure

為了評價ISVM-BT的識別性能，與單獨的類間樣本距離法(Inter-BT)類內樣本分布法(Intra-BT)進行對比，識別結果如表3所示。從表3可知ISVM-BT具有高的識別率，驗證了其識別性能的優越性。

為了驗證層次模糊熵在故障特征提取能力上的優越性，采用多尺度模糊熵對相同樣本進行計算，為了使得輸入特征向量維數與層次模糊熵保持一致，設置尺度, 采用相同步驟對多尺度模糊熵進行模式識別，K取2-1對應最高識別率為98.75%，共出現5個測試樣本被誤分。其中3個內圈輕度故障錯分為滾動體輕度故障, 2個外圈中度故障錯分為內圈輕度故障，與上述的理論分析一致。

表3　3種不同分類器下的層次結構和識別準確率

同時為進一步說明層次模糊熵的優越性，將其與小波包分解的方法進行對比。為了保證兩種方法在輸入特征向量維數上的一致性，使用3層小波包分解[18]。小波包分解的方法如下：首先對軸承振動信號進行小波包分解，然后計算各頻帶分量的模糊熵值作為特征向量，最后輸入ISVM-BT進行模式識別。當K=20對應最高識別率為99.25%，出現3個測試樣本被誤分。其中2個軸承內圈輕度故障錯分為內圈中度故障和1個滾動體輕度故障錯分為內圈輕度故障。對比結果進一步驗證了層次模糊熵能有效提取故障特征，實現軸承不同故障類型和故障程度的診斷。同時對層次模糊熵和小波包分解的方法在計算效率方面進行對比。采用長度N=2018的軸承振動信號作為測試信號，分別采用兩種方法進行求解。層次模糊熵的計算時間為2.16 s，而小波包分解方法的計算時間為50.42 s，結果表明層次模糊熵在計算效率上優于小波包分解的方法。

為避免采用單一分類器出現的偶然性，本文采用一對一方法(OAO)[19]、一對多方法(OAA)[20]、Inter-BT方法 和Intra-BT方法等不同多分類器分別對層次模糊熵法和多尺度模糊熵法進行模式識別，識別結果如表4所示。由表4可得出以下結論：首先在每種多分類器下，相比于多尺度模糊熵，層次模糊熵都擁有較高的識別準確率，排除了單一分類器識別準確率高的偶然性，進一步驗證了層次模糊熵能夠更全面、更深刻的提取軸承故障信息。其次相比于其他多分類器，ISVM-BT對于層次模糊熵和多尺度模糊熵都具有最高識別準確率，也說明了ISVM-BT在識別能力上具有優越性。

表4　基于HFE和MFE的最優參數和診斷結果

5　結　論

(1)在模糊熵的基礎上，結合層次分析思想提出一種新的特征提取方法——層次模糊熵。與多尺度模糊熵相比，層次模糊熵同時分析信號中的低頻分量和高頻分量的故障信息，對故障特征描述更加全面。

(2)給出了層次模糊熵的算法步驟，并利用仿真信號驗證了該算法的優越性。

(3)基于層次模糊熵提取滾動軸承的故障特征，應用ISVM-BT實現了軸承不同故障類型和故障程度的準確診斷，為軸承故障診斷提供了一種新思路。

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A study on rolling bearing fault diagnosis method based on hierarchical fuzzy entropy and ISVM-BT

LIYong-bo,XUMin-qiang,ZHAOHai-yang,HUANGWen-hu

(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)

A new rolling bearing fault feature extractor called hierarchical fuzzy entropy (HFE) is proposed in this paper, which is composedcomprises the of hierarchical procedure and the fuzzy entropy calculation. Compared with multi-scale fuzzy entropy (MFE) method, HFE method considers both the low and high frequency components of the vibration signals, which can provide a much more accurate estimation of entropy. Besides, improved support vector machine based binary tree SVM (ISVM-BT) has the priority of high recognition accuracy compared with other classifiers. HenceTherefore, in this paper we proposed a novel rolling bearing fault diagnosis method based on HFE and ISVM-BT is proposed in this paper. Firstly, HFE is utilized to extract fault features and then the fault features are fed into the ISVM-BT to automatically fulfill the fault patterns identifications. The experimental results show the proposed method is effective in recognizing the different categories and severities of rolling bearings.

fault diagnosis; hierarchical fuzzy entropy (HFE); improved support vector machine based binary tree(ISVM-BT); rolling bearing

2014-09-01；

2015-04-27

國家自然科學基金資助項目(10772061)

TH165+.3

A

1004-4523(2016)01-0184-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.023

李永波(1986—),男，博士研究生。E-mail：liyongbo0532@126.com

徐敏強(1960—)，男，博士生導師，教授。E-mail：xumq@hit.edu.cn