一般黏性阻尼振動系統的實空間解耦與自由界面模態綜合法*

何　歡, 王　陶, 陳國平

(1.機械結構力學及控制國家重點實驗室， 江蘇 南京 210016；2.南京航空航天大學振動工程研究所， 江蘇 南京 210016)

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一般黏性阻尼振動系統的實空間解耦與自由界面模態綜合法*

何歡1,2, 王陶1, 陳國平1,2

(1.機械結構力學及控制國家重點實驗室， 江蘇 南京 210016；2.南京航空航天大學振動工程研究所， 江蘇 南京 210016)

一般黏性阻尼振動系統通常可變換到狀態空間，利用解得的復模態可以將系統方程解耦，但解耦后的方程是復系數方程，必須在復數域內進行求解。根據所需要保留的復特征解對的特征，通過復特征向量矩陣的線性變換構造了一種新的模態變換關系，利用模態變換矩陣將一般黏性阻尼振動系統的狀態空間運動方程變換為解耦的實系數二階常微分方程。隨后，構造了一種與實變換矩陣關于系統矩陣加權正交的向量集，利用這種加權正交的向量集推導系統剩余柔度矩陣時可以避免對系統矩陣進行直接求逆，解決了含剛體模態時的系統剩余柔度矩陣的求解問題。然后，將實空間解耦和加權正交向量集與自由界面模態綜合法相結合，推導出了與常規振動微分方程具有相同形式的實系數系統綜合方程。最后，通過數值算例驗證了方法的有效性。

模態綜合法； 黏性阻尼； 復模態； 解耦； 振動

引　言

子結構模態綜合(Component Mode Synthesis, CMS)是一種降低模型自由度數的模型減縮方法，被用于提高模型計算效率。早期的CMS方法用于解決無阻尼或比例阻尼系統的模態分析，如Hurty[1],Goldman[2],Mecneal[3]等的研究工作。這些方法要求系統阻尼符合比例阻尼假設，或忽略阻尼的影響。

然而，實際振動系統都有阻尼，且通常都不符合比例阻尼假設，因此上述方法的實際應用受到了很大的限制。Craig和Bampton[4]對傳統的比例阻尼系統CMS法進行了改進，提出了適用于一般阻尼系統的約束CMS方法，又稱為C-B型CMS方法。Hasselman和Kaplan[5]將C-B型CMS方法提出的方法推廣到復數域，在狀態空間中通過復模態實現了子結構的模態縮聚，并提出了一般阻尼系統的固定界面復模態綜合法。隨后，Craig等人[6]在Goldman方法的基礎上通過保留系統剩余模態影響改善了綜合方程的計算精度，并提出了一般阻尼系統的自由界面復模態綜合法。Tournour[7]提出了一種自由界面CMS方法，并且從試驗和計算兩個角度對幾種典型的模態綜合法的計算精度進行了比較。Rixen[8]提出了一種新的弱界面協調條件，并對C-B型CMS進行了改進。向錦武[9]將一種實Schur向量引入CMS，將復數域內的綜合方程轉換到實數域內。陳國平根據系統復模態的性質構造了一種模態轉換方法，將解耦后的一階復系數微分方程組轉換成二階實系數微分方程組[10]。在文[10]的基礎上，陳國平和韋勇[11]提出了一種線性阻尼結構振動系統的固定界面CMS方法，獲得了實數域內的綜合方程。這種綜合方程是二階常微分方程，與常規的振動微分方程具有相同的形式，這使得原本需要在復數域內求解的綜合方程可以在實數域內進行求解。何歡和陳國平[12]提出了一種自由界面CMS方法，該方法在剩余柔度矩陣計算過程中避免了對子結構剛度矩陣的直接求逆運算，克服了以往的自由界面CMS方法在處理含剛體模態的子結構系統時遇到的困難。

近年來，大量研究者將CMS方法與其他研究方法相結合，取得了非常豐碩的成果，極大地拓展了CMS方法的應用領域。Besset[13]將CMS和優化分析算法相結合，提出了一種多孔腔體的噪聲優化設計方法，極大地提高了優化計算效率。Kim[14]考慮鉸鏈的滑動模態特征，提出了一種含鉸鏈的非線性結構系統的CMS，大幅提高了這種非線性系統動力學模型的計算效率，并通過試驗驗證了該方法的計算精度。Zhou和Ichchou[15]等利用界面模態計算波投射系數，提出了一種基于CMS的波動有限元法。Mencik[16]結合CMS和波矩陣方程，采用少量彈性模態描述子結構界面的動力學特征，考慮諧波激勵條件，計算了界面力的頻域響應。Chiello[17]等人將彈性支承和試驗件視為2個不同的子結構，利用CMS保留彈性支承的剩余柔度，對整個振動系統進行自由度減縮。他們利用減縮模型分析了彈性支承板的黏彈性特性，并提出了黏彈性板損耗因子優化設計方法。Bouazizi等[18]提出了一種具有魯棒性的CMS，然后將這種方法應用于局部非線性系統的自由度減縮中，并通過數值算例檢驗了方法的計算效率和計算精度。Chentouf等[19]提出了一種考慮不確定性影響的累積概率方法，并將這種方法與CMS相結合。Papadimitriou等[20]將CMS與模型修正方程相結合，推導出了減縮修正方程，用減縮模型進行每個修正迭代步的計算，大大提高了模型修正問題的計算效率。Lima和Silva[21]將CMS與增強Ritz基相結合，提高了超大規模黏彈性阻尼系統動力學模型的計算效率。

文[10]提出的實變換方法要求待變換的子結構系統全部特征值必須共軛成對。這意味著這種實變換方法無法對含剛體模態的子結構系統進行變換，因此只能與固定界面CMS方法相結合，而且這種固定界面CMS法也無法處理含有過阻尼特性的子結構系統。本文在文[10]的基礎上提出了適用于一般黏性阻尼振動系統的實變換方法。隨后，將這種實變換方法與自由界面子結構綜合法相結合，提出了一種新的一般阻尼振動系統的自由界面子結構綜合法。這種新的自由界面子結構綜合法給出的綜合方程為實系數二階常微分方程，與一般振動系統微分方程具有相同的形式。本文方法給出的綜合方程中不包含界面自由度，其總自由度數僅僅由子結構保留模態數決定。相比于傳統的復模態綜合法給出的狀態空間中的復系數一階常微分綜合方程，若采用相同的保留模態數，本文方法獲得的綜合方程總自由度數是傳統的復模態綜合法的1/2，且能夠在實數域內求解。此外，本文方法構造的剩余柔度矩陣很好地保留了原系統的高階模態特性，這使得本文方法具有很高的計算精度。

1　基本方程和實變換

N自由度一般阻尼結構振動系統的振動微分方程可表示為

(1)

式中M，C和K∈RN×N分別為系統質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，u和f∈RN×1分別為廣義位移向量和載荷向量。

將式(1)轉換到狀態空間后可得

(2)

令式(2)中右端項為零，解齊次方程可得系統復特征解對。

對一般結構系統(例如，含有剛體模態和過阻尼特征)，計算得到的復模態必定由實特征解對和共軛特征解對構成，實特征根還分為重實根和一對互異的實根兩種情況。

設由特征方程解得前l對特征值包含m對共軛成對的復特征值，n對互異的實特征值和k對重特征值。下面根據特征根的不同特點分別進行討論。

1.1共軛特征解對的實解耦變換

記復特征值矩陣及其對應的復特征向量矩陣為[9]

(3)

(4)

若Yc已經按系統矩陣A歸一化，不難證明

(5)

1.2互異實特征解對的解耦變換

對N自由度系統來說，實特征解對自然可以在狀態空間中進行實變換。但這種變換與式(5)給出的形式不同，而且變換后的空間仍然是在狀態空間中的，不利于減縮變換后的系統規模。為此，對實特征解對，本文提出了與式(5)形式類似的變換方法。

記特征解對中的互異實根構成的實特征值矩陣分別為

(6)

定義

(7)

根據特征向量與系統矩陣的加權正交性可知

(8)

(10)

結合式(7)，(8)和(9)可得

根據式(9)，定義

(12)

(13)

則有

(14)

1.3重特征解對及對應的解耦變換

(15)

(16)

定義

(17)

(18)

定義

引入變換對

(20)

結合式(17)，(18)和(19)可得

(22)

(23)

可得

(24)

1.4實解耦變換

對全部變換對，將式(4)，(14)和(23)所得變換式進行組合，得到總體變換矩陣

(25)

將特征值矩陣重新組合為

(26)

(27a)

(27b)

由式(27)給出的矩陣中的任意一列都是原系統方程解向量或特征向量的疊加，因此，Φ和Ψ仍然是原方程的解。

根據式(5)，(14)和(24)，并結合特征向量之間關于系統矩陣的加權正交關系可得

(28)

(29)

引入一種新的模態變換式

(30)

(31)

將式(31)展開得

(32)

(33)

(34)

與傳統的復模態綜合法中引入的模態變換得到的復系數解耦方程不同，式(34)是一個實系數解耦方程。此外，式(34)的獨立方程數為l個，而復模態變換得到的復系數解耦方程數為2l個，這意味著在相同的保留模態數的前提條件下，采用本文實解耦方法獲得的子結構綜合方程的總自由度數是傳統的復模態子結構綜合方程總自由度數的一半。

2　加權正交向量集

(35)

Ψ如式(27a)所示。

(36)

(37)

將式(28)代入式(37)得

(38)

(39)

注意到J-1ΨTAΦ=I，因此有

(40)

將式(29)給出的W=ΨTBΦ代入式(40)，可得

(41)

由于Φ為系統的解特征向量矩陣，因此有

(42)

將式(42)代入式(39)可得

(43)

(44)

Φ如式(27b)所示。采用同樣的方法可解得

(45)

類似地可以證明

(46)

3　剩余柔度矩陣與界面坐標

(47)

(48)

式中

(49)

取式(48)的第二式，同時進行Laplace變換可得

(50)

對式(50)進行Taylor展開，取一階近似，并進行反Laplace變換，得

(51)

將式(51)代入式(47)得

(52)

(53)

式(53)又可分塊表示為

(54)

將x沿界面坐標分割，并將式(54)寫成分塊形式

(55)

式中下標i和j分別表示內部自由度和界面自由度。令fi=0，則式(55)的第二式可表示為

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

將式(61)代入式(58)可得

(62)

(63)

(65)

(66)

4　自由界面子結構綜合

不妨設整個系統可劃分為a和b兩個子結構。對每個子結構可根據式(62)給出界面坐標為

(67)

同樣地，給出每個子結構的解耦方程

(68)

子結構a和b的界面連續性條件和界面力協調條件可表示為

(69)

(70)

將式(67)代入式(69)，再結合式(70)，得

(71)

記

得綜合方程

(72)

式(72)即為綜合后的系統方程。觀察式(72)不難看出，得到的方程形式為二階常微分方程，與式(1)具有相同的形式。傳統的復模態綜合法得到的綜合方程是復系數方程，必須在復數域內進行求解，本文方法由于引入了實變換，式(72)中的全部系數矩陣均為實系數矩陣，意味著可以在實數域內進行求解，這使得方程的求解變得更為簡便和快捷。

除此之外，式(72)中不包含界面自由度，極大地減縮了綜合方程的規模。從式(72)的推導過程中還可以看出，若所有子結構保留的復特模態數階數為2n，采用傳統的復模態綜合法的綜合方程總自由度數仍然為2n，而對相同保留模態數而言，采用本文方法得到的綜合方程的總自由度數為n。

5　數值算例

如圖1所示底部固定的桁架系統，沿對稱軸等分為左、右兩個子結構。記左半部為子結構1，右半部為子結構2，每個子結構含286個2節點梁單元，共計92個節點，552個自由度。對每個子結構，設阻尼模型Cr=αrMr+ηrKr，α1=α2=1.0(1/s)，η1=1×10-5s，η2=3×10-5s。

圖1　底部固定的桁架系統Fig.1　Bottom fixed frame structure

采用本文方法分別取每個子結構的前10對、前20對和前30對低階模態進行子結構綜合，然后從綜合方程中計算出系統前20對復模態。本文采用Craig自由界面復模態綜合法，取前30對復模態進行計算作為比較。

分別定義特征值的實部誤差和虛部誤差如下：

圖2給出了特征值虛部誤差隨模態階數的變化規律，圖3給出了特征值實部誤差隨模態階數的變化規律。

從計算結果的對比可以看出，根據本文方法對每個子結構各取10對復模態進行子結構綜合得到的前11對復特征值具有良好的計算精度，但隨著模態數的增加計算精度下降，這是由于各取10對復特征值只能得到具有20個自由度的綜合方程，能夠求解出的復模態僅有20對的原因。當對每個子結構各取前20對復模態進行子結構綜合時，本文方法得到的前20對復特征值計算結果已經與原FE模型計算結果吻合，虛部誤差不超過2%，實部誤差不超過8%，隨著保留模態階數的增加，本文方法計算精度還會進一步增加，這說明本文方法具有很高的計算精度。通過對比發現，對每個子結構各取前30對復模態進行綜合時，Craig方法僅有前10對特征值計算結果誤差較小，而且從第10階開始，特征值實部出現了難以接受的誤差。

表1　完全有限元模型計算得到的復特征值(單位：rad-1)

圖2　特征值虛部誤差隨模態階數的變化Fig.2　Imaginary part errors vary with the mode number

圖3　特征值實部誤差隨模態階數的變化Fig.3　Real part errors vary with the mode number

對比圖2和3可以發現，相比于特征值實部，特征值虛部誤差更小，這主要是由于特征值實部通常很小，對于數值計算的擾動非常敏感，容易受矩陣分解、求逆以及綜合過程中引入的數值誤差的影響，因此誤差更為顯著。

在圖5中的53號點施加X方向激勵，分別采用完全有限元模型和本文方法計算53號點和121號點的頻響函數。圖4和5給出了0～120 Hz頻帶范圍內的幅頻特性曲線對比。

圖4　第53號測點處的幅頻特性曲線對比Fig.4　Comparison of amplitude of FRFs measured at point 53

圖5　第121號測點處的幅頻特性曲線對比Fig.5　Comparison of amplitude of FRFs measured at point 121

從圖中可以看出，取前10階模態進行子結構綜合得到的幅頻特性曲線在120 Hz范圍內與原系統幅頻特性曲線吻合，而采用20階和30階模態進行子結構綜合得到的幅頻特性曲線則可以在計算頻帶范圍內與原系統幅頻特性曲線吻合，這與前面給出的特征值對比結論是相符的，也進一步說明了本文方法的準確性。

6　小　結

本文提出一種一般黏性阻尼振動系統的實變換方法，能夠將狀態空間中解耦的復系數一階常微分方程組轉換為與常規振動微分方程形式相同的解耦的實系數二階常微分方程組。

然后，采用待保留的復模態構造了與保留模態關于系統矩陣矩陣A和B加權正交的向量集。由于這種向量集與保留模態加權正交，因此不包含剛體模態。這使得推導剩余柔度矩陣時無需直接對系統矩陣B進行求逆，避免了傳統自由界面復模態綜合法在推導剩余柔度矩陣時對系統矩陣B進行的求逆運算困難。

最后，將實解耦方法與加權正交向量集相結合，推導了一種新的一般阻尼振動系統的自由界面子結構綜合法。由于進行了實解耦變換，利用本文方法能夠得到與一般振動系統微分方程具有相同的形式的實系數二階常微分綜合方程。相比于傳統的復模態自由界面綜合法來說，本文方法既降低了綜合方程的總自由度數，又可以在實數域內進行求解，提高了計算效率。

[1]Hurty W C. Dynamic analysis of structural systems using component modes[J]. AIAA Journal ,1965,3: 678—785.

[2]Goldman R L. Vibration analysis by dynamic partitioning[J]. AIAA Journal, 1969,7:1152—1154.

[3]MacNeal R H. A hybrid method of component mode synthesis[J]. Computers and Structures, 1971，1：581—601.

[4]Craig R R Jr, Bampton M C C. Coupling of substructures for dynamic analyses[J]. AIAA Journal, 1968，6：1313—1319.

[5]Hasselman T K，Kaplan A. Dynamic analysis of large systems by complex mode synthesis[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1974，96： 327—333.

[6]Craig R R Jr, Chung Y-T. Generalized substructure coupling procedure for damped systems[J]. AIAA Journal, 1982，20 ：442—444.

[7]Tournour M A，Atalla N, Chiello O, et al. Validation, performance, convergence and application of free interface component mode synthesis[J]. Computers & Structures, 2001, 79: 1861—1876.

[8]Rixen D J. A dual Craig-Bampton method for dynamic substructuring[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2004, 168：383—391.

[9]Jinwu Xiang, Gexue Ren, Qiuhai Lu. Synthesis technique for the nonclassically damped strucutres using real Schur vectors[J]. AIAA Journal, 1999，37：660—662.

[10]陳國平. 粘性阻尼結構振動系統的實空間解耦和迭代求解[J]. 振動工程學報, 2000, 13(4):559—566.

Chen Guoping. Real decoupled method and iterative solution of vibration system with viscous damping[J]. Journal of Vibration Engineering, 2000, 13(4): 559—566.

[11]陳國平, 韋勇. 有阻尼結構線性振動系統的模態綜合[J]. 振動工程學報， 2003, 16(4): 442—445.

Chen Guoping, Wei Yong. Component modal synthesis for linearly damped vibrat ion systems[J]. Journal of Vibration Engineering, 2003, 16(4): 442—445.

[12]何歡, 陳國平, 陸穎華. 有阻尼振動系統的自由界面子結構綜合法[J]. 計算力學學報, 2009, 26(6): 951—955.

He Huan, Chen Guoping, Lu Yinghua. Free-interface component mode synthesis methods for damped vibration systems[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2009, 26(6): 951—955.

[13]Besset S, Jezequel L. Optimization of characteristics of porous materials based on a modal synthesis method[J]. European Journal of Mechanics, A/Solids, 2009,28: 102—109.

[14]Kim D K, Lee M S, Han J H. Substructure synthesis method for a nonlinear structure with a sliding mode condition[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 321: 704—720.

[15]Zhou W J, Ichchou M N , Mencik J M. Analysis of wave propagation in cylindrical pipes with local inhomogeneities[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009,319: 335—354.

[16]Mencik J M. Model reduction and perturbation analysis of wave finite element formulations for computing the forced response of coupled elastic systems involving junctions with uncertain eigenfrequencies[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, 200:3051—3065.

[17]Chiello O, Sgard F C, Atalla N. On the use of a component mode synthesis technique to investigate the effects of elastic boundary conditions on the transmission loss of baffled plates[J]. Computers and Structures, 2003, 81 : 2645—2658.

[18]Bouazizi M L, Guedri M, Bouhaddi N. Robust component modal synthesis method adapted to the survey of the dynamic behaviour of structures with localised non-linearities[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2006, 20: 131—157.

[19]Chentouf S A, Bouhaddi N, Laitem C. Robustness analysis by a probabilistic approach for propagation of uncertainties in a component mode synthesis context[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2011, 25:2426—2443.

[20]Papadimitriou C, Papadioti D C. Component mode synthesis techniques for finite element model updating[J]. Computers and Structures, 2013,126 :15—28.

[21]de Lima A M G, da Silva A R, Rade D A, et al. Component mode synthesis combining robust enriched Ritz approach for viscoelastically damped structures[J]. Engineering Structures, 2010, 32: 1479—1488.

A free interface mode synthesis method for general damping system by using real decoupling transformation

HEHuan1,2,WANGTao1,CHENGuo-ping1,2

(1. State Key Lab of Mechanics and Control for Mechanical Structures, Nanjing 210016, China;2. Institute of Vibration Engineering Research, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

In contrast to most present mode transformation methods in which the first-order state-space equation of the damped vibration system is transformed into a decoupled first-order differential form with complex coefficient matrices, a decoupling method is presented in this paper, for which the equation of the damped system can be decomposed into a system of second-order ordinary differential equations with real coefficient matrices. Next, the weighted-orthogonal vector sets which are weighted-orthogonal to the lower retained modes of the system matrices are constructed. By using the weighted-orthogonal vector sets, the lower retained modes with rigid-body motion are removed from the calculation process, thus making it easier to obtain the residual flexibility attachment matrix without using the inverse of the systemmatrices. Then, the free interface mode synthesis method are presented by using the real decoupled method and the weighted-orthogonal vector sets, and the real coefficients synthesis equation which has the same form as the ordinary differential equation of a vibration system is obtained. Finally, the accuracy and validity of this component mode synthesis method are demonstrated by numerical examples.

mode synthesis; viscous damping; complex mode; decouple; vibration

2014-04-02；

2014-12-24

國家自然科學基金資助項目(11472132)；中央高?；究蒲袠I務費資助項目(NS2014002)；機械結構力學及控制國家重點實驗室(南京航空航天大學)自主研究課題資助項目(0113Y01)；江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

O321； TB123

A

1004-4523(2016)01-0008-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.002

何歡(1978—)，男，副教授。電話:13913865435; E-mail:hehuan@nuaa.edu.cn