蜂窩紙板一維動態本構關系及應用*

盧富德， 高　德

(浙江大學寧波理工學院， 浙江 寧波 315100)

?

蜂窩紙板一維動態本構關系及應用*

盧富德， 高德

(浙江大學寧波理工學院， 浙江 寧波 315100)

為了在蜂窩紙板一維壓縮應力-應變曲線基礎上建立其一維本構關系，首先得到蜂窩紙板在應變率0.0017/s～114.3/s范圍內的試驗壓縮行為。試驗結果表明蜂窩紙板呈現較強的率相關性,這是由于蜂窩結構的橫向慣性作用引起的。基于最低應變率0.0017/s壓縮載荷下的應力-應變數據，提出了形狀函數，用于精確擬合蜂窩紙板應力-應變曲線所表現的線彈性、應力軟化、屈服平臺和壓實等四個典型特征。然后在形狀函數的基礎上，考慮應變率的影響，得到蜂窩紙板一維動態本構關系。最后研究了易損件-產品主體-蜂窩紙板緩沖系統在跌落沖擊載荷下的沖擊響應，得到緩沖系統的最大加速度-靜應力曲線，所得出的結論可以直接用于具有易損件物品的緩沖設計。

蜂窩紙板; 本構關系; 應變率; 易損件; 最大加速度-靜應力曲線

引　言

近年來，由于緩沖材料在運輸包裝的需要，利用試驗的方法測試緩沖材料的應力-應變曲線，然后在這個基礎上建立緩沖材料的本構模型，已被證明為一種有效設計方法[1]。傳統的泡沫材料，由于不可降解性，對自然環境造成巨大的危害；多孔材料蜂窩紙板具有質輕、良好的吸收能量的能力以及對環境友好的優點，日益受到學者的關注。在對蜂窩紙板的緩沖性能研究中，文獻[2]通過實驗方法研究了環境相對濕度對蜂窩紙板緩沖吸收能量影響，結果表明濕度對蜂窩紙板應力-應變行為影響顯著，但研究僅限于準靜態壓縮載荷情況；在動態沖擊載荷下(最大壓縮應變率約為200/s)，文獻[3]試驗研究了相對濕度與厚跨比耦合因素對蜂窩紙板應力-應變行為的影響；Wang[4]參考一系列應變率壓縮載荷下的蜂窩紙板應力-應變曲線試驗結果，綜合考慮了應變率對蜂窩紙板緩沖性能的影響規律，得到了蜂窩紙板的能量吸收圖。從以上的研究結果看出，學者已研究相對濕度、應變率與厚跨比等因素對蜂窩紙板緩沖性能的影響規律。

基于緩沖材料的應力-應變曲線，用一個連續的函數建立應力-應變關系，即本構模型，方便了結構的優化設計與動力學響應預測[5-7]。關于蜂窩紙板本構模型研究，文獻[8]運用分段線性函數，建立蜂窩線彈性、軟化、應力平臺和壓縮等四個區域的力學模型，近似建立蜂窩紙板吸收能量關系式。文獻[9]考慮應變率因素對蜂窩紙板應力-應變曲線的線彈性、屈曲軟化、屈服平臺和壓縮區域，分段建立對應的數學模型表征蜂窩紙板的力學行為，并利用試驗數據擬合得到模型中的參數。利用分段函數擬合緩沖材料應力-應變曲線，識別參數的結果十分依賴初值的選擇，甚至是不收斂，這是由于所建立的函數為分段函數，在分界點處不連續造成的，若使用連續函數就可以避免這個情況[1]。

從目前所報道的蜂窩紙板試驗與本構模型研究來看，蜂窩紙板緩沖性能試驗方面取得了豐富的成果，但在試驗基礎上所建立的蜂窩紙板本構模型，因為是用分段函數進行表達的，擬合參數時會有不易收斂的缺點，因此所建立的本構模型存在明顯的不足。鑒于此，為了改進目前的蜂窩紙板本構模型，本文結合實驗方法，利用一個連續函數表達式建立了蜂窩紙板的本構模型，在此基礎上，研究易損件-產品主體-蜂窩紙板緩沖系統的沖擊譜響應，以介紹蜂窩紙板本構方程的應用，為蜂窩紙板緩沖包裝優化設計提供高效的方法。

1　蜂窩紙板試驗壓縮行為

1.1蜂窩紙板試驗壓縮應力-應變曲線

利用萬能試驗機和落錘試驗臺分別測試蜂窩紙板在異面方向的一維準靜態和動態壓縮行為，然后基于試驗結果，得到蜂窩紙板一維本構方程。試驗環境條件：相對濕度50%±3%，溫度為23±3℃。所選蜂窩的夾芯克重為105 g/m2，原紙張厚度為 0.19 mm，胞元邊長為 7.1 mm。對于蜂窩夾芯板的厚度，選擇10，20與30 mm。測試得到壓縮力與壓縮位移信號，取3次試驗結果的平均值，然后轉化為工程應力與工程應變，為建立蜂窩紙板的本構模型提供試驗基礎。

圖1中虛線為20 mm厚度的蜂窩紙板在壓縮速率2 mm/min(壓縮應變率為0.0017/s)載荷下，利用萬能試驗機得到的蜂窩紙板應力-應變曲線，實線為下面本構方程所計算得到的理論預測值。

圖1　蜂窩紙板準靜態應力-應變曲線Fig.1　Static stress-strain curves of honeycomb paperboard

從圖1可以看出，應力-應變曲線包括線彈性(OP)、應力軟化(PQ)、屈服平臺(QR)和壓實區域(RN)4個典型區域，屈服平臺區域QR為蜂窩紙板的主要吸收能量區域。因為傳統泡沫的應力-應變曲線一般有線彈性、屈服平臺和壓實區域[1]，因此蜂窩紙板的應力-應變行為比傳統泡沫多了應力軟化區域，因此蜂窩紙板比泡沫力學行為更加復雜。

為研究應變率對蜂窩紙板應力-應變行為的影響，用40與250 mm/min壓縮速度分別作用在厚度為20和10 mm的蜂窩紙板上，得到對應的應變率分別為0.0333和0.41/s的應力-應變曲線，如圖2所示。應變率為0.0333/s載荷下蜂窩紙板平臺應力為0.0905 MPa，比應變率0.0017/s時的屈服平臺值0.065 MPa高出37.5%；當應變率增加到0.41/s時，蜂窩紙板屈服平臺應力增加到0.113 MPa。由于不慎跌落造成的緩沖材料的應變率遠遠大于準靜態載荷所對應的應變率，為了得到這一數量級的應變率條件下蜂窩紙板壓縮應力-應變曲線，利用跌落試驗臺對質量為6 kg的重錘在高度為600 mm下自由跌落沖擊30 mm的蜂窩紙板，即初始應變率為114.3/s，其屈服平臺出現波動現象，如圖2所示，對應的應變率-應變關系如圖3所示。雖然跌落試驗得到的應變率不是恒定的，當壓縮應變為0.5時，應變率為57.4/s, 比初始應變率小49.8%，其應變率仍在一個數量級，因此利用跌落試驗臺所得出的應力-應變曲線仍可以把初始應變率114.3/s當作質量塊壓縮蜂窩紙板的應變率。圖3負應變率對應蜂窩紙板卸載工況，萬能試驗機得到的準靜態試驗結果沒有卸載情形的數據，因此動態數據比準靜態數據多了卸載工況的結果。在應變率為114.3/s時，蜂窩紙板的平均屈服平臺應力為0.165 MP，是最低應變率0.0017 /s壓縮載荷下蜂窩紙板屈服平臺應力0.065 MPa的2.49倍。

圖2　應變率對蜂窩紙板應力-應變曲線影響Fig.2　Stress-strain curves of honeycomb paperboard with different compressive strain rates

圖3　應變率-應變曲線Fig.3　Strain rate-strain curve

通過上述分析，應變率對蜂窩紙板壓縮行為影響顯著，這與文獻[4]所報道的結果一致。針對這種現象， Su[10]對緩沖結構在壓縮載荷過程中發生的漸進折疊變形模式進行了分析，結果表明隨壓縮應變率的增加，橫向慣性作用顯著改變結構的變形模式，由于制作蜂窩的材料的應力-應變曲線出現應變強化，當對蜂窩結構進行快速壓縮時，會出現比準靜態情況下較高的應變，從而增加結構的屈服平臺應力，因此蜂窩結構的率相關性是由于結構的橫向慣性引起的。Hou[11]通過試驗和有限元方法研究了應變率對鋁蜂窩夾心板壓縮行為影響規律，在結果中發現，鋁蜂窩的壓縮行為十分依賴應變率的大小。蜂窩紙板在變形過程中，也是發生漸進折疊現象，其應力-應變曲線依賴應變率的大小。因此應變率的改變所引起的橫向慣性作用對蜂窩紙板的緩沖性能影響較大。

1.2蜂窩紙板一維本構方程

在緩沖材料的本構模型中，泡沫的本構模型比較成熟，代表性的泡沫本構框架為[12]

(1)

按照泡沫本構模型的做法，基于圖1所示的蜂窩紙板應力-應變曲線的形狀，提出蜂窩紙板壓縮行為的形狀函數為

(2)

式中a1～a8為待識別參數。式(2)右端的第一項表示圖1所示的應力軟化階段；第二項的雙曲函數表征曲線的屈服平臺階段；第三項用于擬合蜂窩紙板壓實階段的行為。這三項在應變較小時，應力-應變關系呈線性，三項線性疊加用于表征蜂窩紙板應力-應變曲線所呈現的線彈性階段，故式(2)能滿足蜂窩紙板壓縮行為的線彈性、軟化、屈服平臺和壓實等4個典型階段。利用最小二乘法，得到表1給出的關于式(2)的參數結果，圖1所示的理論結果和試驗結果平均相對誤差為5.21%。

在形狀函數的基礎上，為得到應變率對蜂窩紙板力學行為的影響，引入應變率對蜂窩紙板應力-應變曲線作用的函數[12]，如下所示

(3)

表1蜂窩紙板一維本構方程參數識別結果

Tab.1The identified results of constitutive modeling for honeycomb paperboard

參數結果參數結果a1/MPa0.15a5/rad21.8a220.2a6/MPa0.0035a3/rad16.1a70.88a4/MPa0.065a81.3

圖4　M-1與的關系Fig.4　Relation between M-1 and

由于跌落壓縮過程中，應變率是從最大降低到0，因為對數函數不能取0值，需要對公式(3)修正為

(4)

式(2)確定了最低應變率的應力-應變曲線所確定的形狀函數，式(4)表示了應變率對蜂窩紙板應力-應變曲線影響，二者相乘，即得到蜂窩紙板一維動態本構模型

F(ε)=[a1e-a2εsin(a3ε)+a4tanh(a5ε)+

(5)

1.3試驗驗證

為了驗證所提出的蜂窩紙板一維動態本構關系，采用蜂窩截面積為150 mm×100 mm, 厚度為20 mm, 對5 kg重錘在1000 mm高度自由跌落，得到蜂窩紙板在初始壓縮應變率221.4/s下的應力-應變曲線，如圖5中的虛線所示，并與計算結果進行對比。蜂窩紙板在動態沖擊下的應力-應變曲線雖出現波動，但其屈服平臺應力的平均值與計算結果的平均應力相對誤差為4.77%，因此證明了本文所提出的蜂窩紙板一維本構模型的可靠性，可以看出本構模型較精確地擬合了蜂窩紙板的線彈性、應力軟化、屈服平臺和壓實4個典型區域。

圖5　蜂窩紙板應力-應變試驗結果與計算結果對比Fig.5　Comparison between experimental and theoretical stress-strain curves of honeycomb paperboard

2　蜂窩紙板本構方程的應用

典型電子或光學產品的破壞是由于內部的關鍵部件決定的，稱為易損件，例如電路板[13]，這些部件的破壞會導致產品整體功能的失效；對于蜂窩紙板緩沖作用下的電子產品，當電子產品由于跌落原因沖擊壓縮蜂窩紙板時，傳遞到產品上的加速度脈沖明顯不同于沖擊試驗所用到的半正弦加速度脈沖，這時需要把蜂窩紙板緩沖作用下的實際加速度脈沖作為輸入激勵，對產品易損件的沖擊響應進行評估，方能得到與實際相符合的沖擊響應規律[14-15]。

2.1易損件-產品主體-蜂窩紙板緩沖系統

研究具有集中質量易損件的產品在蜂窩紙板緩沖作用下的動力學行為，所建立的集中質量易損件-產品主體-蜂窩紙板緩沖系統在高度H自由跌落示意圖如圖6所示。

圖6　易損件-產品主體-蜂窩紙板緩沖系統示意圖Fig.6　Schematic diagram of critical component-main body-honeycomb paperboard cushioning system

取蜂窩紙板落地的瞬間為緩沖系統的初始時刻，x，y分別用于表示易損件與產品的運動，因此圖6所示的緩沖系統動力學方程為

(6)

初始條件為：

(7)

(8)

由式(7)，(8)可知，易損件沖擊響應僅與參數H，h，ω，ξ和σs有關。

2.2易損件沖擊響應

取參數H=700 mm,ω=503 rad,ξ=0.3,σs=3.5 kPa。作為一個例子，當厚度取15 mm時，蜂窩紙板對質量塊作用的沖擊脈沖如圖7所示。圖中也給出了易損件的加速度響應，可以看出易損件在加速度脈沖作用下出現了振動。為了分析蜂窩紙板厚度對緩沖系統響應的影響，取蜂窩紙板厚度h從12 mm到50 mm之間變化，得到質量塊的加速度脈沖如圖8(a)所示，和易損件在圖8(a)所示的加速度激勵下的響應如圖8(b)所示。當蜂窩紙板厚度為12 mm時，蜂窩紙板已“觸底”，隨著厚度的增加，蜂窩紙板所呈現的沖擊脈沖不再變化，經計算表明，13.5 mm為蜂窩紙板在上述參數作用下的臨界厚度，當大于13.5 mm的厚度，易損件沖擊響應不再變化。

圖7　易損件-產品主體-蜂窩紙板沖擊響應(h=15 mm)Fig.7　Impact responses of critical component-main body-honeycomb paperboard cushioning system (h=15 mm)

圖8　蜂窩厚度對緩沖系統沖擊響應的影響Fig.8　The effect of thickness of honeycomb paperboard on the impact responses of cushioning system

圖9　最大加速度-靜應力曲線Fig.9　Maximum acceleration-static stress

給定跌落高度與易損件的剛度等參數值，利用得到的蜂窩紙板的一維動態本構模型，即可得到緩沖系統最大加速度-靜應力曲線，然后按照易損件的容許加速度，即可設計蜂窩紙板的橫截面積與厚度，從而實現了科學設計蜂窩紙板在緩沖中的應用。

3　結　論

(1)在準靜態和動態應變率范圍，對蜂窩紙板在異面方向進行壓縮試驗研究，在最低應變率載荷下，對線彈性、應力軟化、屈服平臺和壓實區域等4個典型特征建立了蜂窩紙板應力-應變曲線的形狀函數；應變率對蜂窩紙板應力-應變曲線影響顯著，因為隨壓縮應變率的增加，橫向慣性作用顯著改變蜂窩結構在壓縮過程中的變形模式，從而增加結構的屈服平臺應力。在形狀函數的基礎上，進而考慮應變率影響，得到蜂窩紙板一維本構關系。

(2)建立了易損件-產品主體-蜂窩紙板緩沖系統動力學模型，給定參數H，h，ω，ξ和σs的值,得到易損件的沖擊響應，并分析了緩沖系統的最大加速度-靜應力曲線，這個最大加速度為易損件響應加速度，與傳統最大加速度-靜應力曲線所指的質量塊加速度不同。因此，本文所得出的最大加速度-靜應力曲線可用于具有易損件產品的緩沖設計，而傳統的最大加速度-靜應力曲線因未考慮易損件為產品的破壞元件，則不能用于具有易損件產品的緩沖設計。

[1]Avalle M, Belingardi G, Ibba A. Mechanical models of cellular solids: Parameters identification from experimental tests[J]. International Journal of Impact Engineering, 2007,34(1):3—27.

[2]E Y P, Wang Z W. Effect of relative humidity on energy absorption properties of honeycomb paperboards[J]. Packaging Technology and Science, 2010,23(8):471—483.

[3]王志偉,姚著.蜂窩紙板沖擊壓縮的試驗研究和有限元分析[J].機械工程學報，2012,48(12)：49—55.

WANG Zhiwei, YAO Zhu. Experimental investigation and finite element analysis for impact compression of honeycomb paperboards[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012,48(12):49—55.

[4]Wang Z W, E Y P. Energy-absorbing properties of paper honeycombs under low and intermediate strain rates[J]. Packaging Technology and Science, 2012,25(3):173—185.

[5]Zhang J, Kikuchi N, Li V, et al. Constitutive modeling of polymeric foam material subjected to dynamic crash loading[J]. International Journal of Impact Engineering, 1998,21(5):369—386.

[6]Jeong K Y, Chon S S, Munshi M B. A constitutive model for polyurethane foam with strain rate sensitivity[J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2012,26(7):2033—2038.

[7]Liu Q, Subhash G.A phenomenological constitutive model for foams under large deformation[J]. Polymer Engineering and Science,2004,44(5):463—473.

[8]Wang Z W, E Y P . Mathematical modelling of energy absorption property for paper honeycomb in various ambient humidities[J]. Materials & Design,2010,31(9):4321—4328.

[9]盧富德，高德.考慮蜂窩紙板箱緩沖作用的產品包裝系統跌落沖擊研究[J].振動工程學報，2012,25(3):335—341.

LU Fude, GAO De. Study on drop impact of packaging system considering the cushioning action of honeycomb paperboard box[J]. Journal of Vibration Engineering, 2012,25(3)：335—341.

[10]Su X Y,Yu T X,Reid S R. Inertia-sensitive impact energy-absorbing structures, Part I: effects of inertia and elasticity[J]. International Journal of Impact Engineering, 1995,16(4):651—672.

[11]Hou B, Zhao H, Pattofatto S, et al. Inertia effects on the progressive crushing of Aluminium honeycombs under impact loading[J]. International Journal of Solids and Structures, 2012,49:2754—2762.

[12]Sherwood J A, Frost C C. Constitutive modeling and simulation of energy absorbing polyurethane foam under impact loading[J].Polymer Engineering and Science,1992,32(16):1138—1146.

[13]Zhou C Y, Yu T X. Analytical models for shock isolation of typical components in portable electronics[J]. International Journal of Impact Engineering, 2009,36(12):1377—1384.

[14]Wang J, Duan F, Jiang J, et al. Dropping damage evaluation for a hyperbolic tangent cushioning system with a critical component[J]. Journal of Vibration and Control, 2012,18(10):1417—1421.

[15]Garcia-Romeu-Martinez M A, Sek M A, Cloquell-Ballester V A. Effect of initial pre-compression of corrugated paperboard cushions on shock attenuation characteristics in repetitive impacts[J]. Packaging Technology and Science,2009,22(6):323—3345.

[16]Sek M, Minett M. A new method for the determination of cushion curves[J]. PackagingTechnology and Science,2000,13(6):249—255.

One-dimension constitutive relationship and its application for honeycomb paperboard

LUFu-de,GAODe

(Ningbo Institute of Technology， Zhejiang University， Ningbo 315100, China)

A series of quasi-static and dynamic uniform compressive testes with the strain rates from 0.0017/s to 114.3/s are performed in order to establish constitutive relationship for honeycomb paperboard subjected to one-dimensional compressive loading condition. The experimental results show that the honeycomb paperboard exhibits obvious rate dependency, which is caused by lateral inertia effect of honeycomb structure. The shape function capturing relationship between stress and strain is proposed on the basis of the experimental data at the lowest strain rate of 0.0017/s, which can accurately characterize linear elastic, stress drop, yielding plateau and densification region of stress-strain curve of honeycomb paperboard. Then dynamic constitutive equation of honeycomb structure is obtained by considering the effect of strain rate on compressive behaviors based on the shape function. Finally, impact responses of cushioning system consisting of vulnerable components, main body of product and honeycomb paperboard are analyzed and the maximum acceleration-static stress curves are derived, which can provide guidance for cushioning packaging design of products comprising vulnerable components under the action of honeycomb paperboard.

honeycomb paperboard; constitutive relationship; strain rate; critical component; maximum acceleration-static stress curves

2014-08-24；

2015-05-21

國家自然科學基金資助項目 (11402232)；寧波市自然科學基金資助項目(2015A610092)

TB485.1; O322

A

1004-4523(2016)01-0038-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.006

盧富德(1982—)，男，講師，博士。電話： 15168139787; E-mail: lu673153@163.com