齒向修形直齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性分析*

王奇斌， 張義民

(1.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安 710071；2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819)

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齒向修形直齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性分析*

王奇斌1， 張義民2

(1.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安 710071；2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819)

研究了直齒輪齒向修形對齒輪系統(tǒng)振動特性的影響。首先考慮直齒輪齒向修形偏差，將輪齒沿軸向離散成若干寬度相等的薄片，建立了齒輪副嚙合剛度模型。然后以一對直齒輪副為例，分別使用有限元法和本文方法分析了齒輪副嚙合剛度，結(jié)果表明所提方法能夠快速準(zhǔn)確求解齒向修形直齒輪副的嚙合剛度。最后建立齒輪系統(tǒng)有限元模型，分析了齒向修形對系統(tǒng)固有特性、振動響應(yīng)特性的影響。研究結(jié)果表明：齒向修形降低了齒輪副嚙合剛度，考慮齒向修形后齒輪系統(tǒng)彎扭耦合固有頻率減小，齒輪系統(tǒng)響應(yīng)的共振峰出現(xiàn)了偏移。研究結(jié)果可為齒向修形齒輪的動態(tài)響應(yīng)計算和結(jié)構(gòu)設(shè)計提供理論依據(jù)。

直齒輪; 齒向修形; 嚙合剛度模型; 有限元模型; 振動特性

引　言

齒輪傳動系統(tǒng)，包括傳動軸、軸承、箱體等零部件，在載荷的作用下將會產(chǎn)生彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形。這些變形將會使輪齒嚙合的接觸線發(fā)生畸變，導(dǎo)致輪齒沿齒寬方向產(chǎn)生邊緣接觸，造成載荷分布不均勻，出現(xiàn)偏載現(xiàn)象。制造、安裝誤差會進(jìn)一步加劇這種現(xiàn)象[1]。因此需要對齒輪齒向修形來補償制造誤差、安裝誤差和支承變形，從而避免邊緣接觸、載荷分布不均勻等現(xiàn)象。

直齒輪齒向修形主要是將直齒輪沿齒向修鼓，從而避免邊緣接觸，防止邊緣部位提前損壞而影響齒輪副的工作壽命。齒向修形方式主要有齒向圓弧修形、多項式函數(shù)修形、齒端倒圓角等方式。而齒向修形使得齒輪存在齒廓偏差，齒廓偏差對齒輪系統(tǒng)的振動特性有著很大的影響[2-3]。

國內(nèi)外許多學(xué)者針對齒廓偏差對齒輪時變嚙合剛度、傳遞誤差以及輪齒接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力的影響做了大量的研究工作[4-8]。文獻(xiàn)[4-5]將輪齒簡化為懸臂梁，考慮齒輪的彎曲剛度、剪切剛度、徑向壓縮剛度和齒面接觸剛度，運用勢能法計算輪齒的剛度，最后考慮單雙齒交替嚙合的影響計算了齒輪副的時變嚙合剛度。在前面研究的基礎(chǔ)上，Chen等[6-7]考慮齒頂修形和齒根裂紋的影響建立了通用的齒輪副嚙合剛度和傳遞誤差計算模型。Li[8]使用有限元法研究了制造誤差、安裝誤差以及齒廓修形對直齒輪齒面接觸應(yīng)力、齒根彎曲應(yīng)力、載荷分布和傳遞誤差的影響。

而針對齒輪系統(tǒng)動力學(xué)，國內(nèi)外的研究人員也做了大量的工作[9-12]。文獻(xiàn)[13]考慮齒輪系統(tǒng)的彎扭耦合振動，建立了齒輪系統(tǒng)彎扭耦合動力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的動力學(xué)特性。文獻(xiàn)[14-15]以直齒輪為例，考慮直齒輪幾何偏心，分析了齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)。在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，Kubur等[16]以斜齒輪為例，考慮齒輪的彎扭軸擺耦合，建立了齒輪動力學(xué)模型，并與轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)耦合，分析了齒輪轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的動力學(xué)特性。Zhang等[17]建立了斜齒輪幾何偏心動力學(xué)模型，分析了幾何偏心斜齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性。王奇斌等[18]考慮斜齒輪齒面嚙合剛度分布、傳遞誤差分布，建立了通用的斜齒輪集中質(zhì)量模型并分析了齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性，該模型具有很好的通用性和較高的精度。

在前述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，Abbes等[19]通過有限元法建立了齒基剛度模型，分析了不同的齒基類型對齒輪總剛度的影響和對齒輪系統(tǒng)振動特性的影響。Kaharman等[2]和馬輝等[20]均以直齒輪為例，分析了齒輪齒頂修形對齒輪嚙合剛度的影響，以及對齒輪系統(tǒng)振動特性的影響，結(jié)果顯示通過齒輪齒頂修形，能夠顯著地降低齒輪系統(tǒng)的振動。Velex等[3,20]考慮齒廓誤差，分析了直齒輪和斜齒輪嚙合剛度和傳遞誤差，以及齒頂短修形和長修形對齒輪嚙合剛度和傳遞誤差的影響，最后分析了齒輪系統(tǒng)的振動特性。以上文獻(xiàn)考慮齒基剛度、齒廓修形對齒輪嚙合剛度、傳遞誤差和系統(tǒng)振動特性的影響，而考慮輪齒齒向修形對齒輪嚙合剛度和傳遞誤差的影響，分析齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性的文章還不多見。

因此本文考慮齒向修形，建立了齒輪副嚙合剛度和傳遞誤差模型。然后以一對直齒輪副為例，分別使用有限元法和本文方法對結(jié)果進(jìn)行對比驗證。最后，建立了齒輪系統(tǒng)有限元模型，分析了無齒向修形和有齒向修形的直齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性。

1　嚙合剛度模型

本節(jié)考慮齒輪齒向修形，建立齒輪嚙合剛度和傳遞誤差模型。

1.1齒向修形直齒輪嚙合剛度模型的建立

對于理想齒廓的直齒輪副，齒輪副的嚙合剛度等于同時參與嚙合的各輪齒對嚙合剛度之和，而對于存在齒廓偏差的輪齒，應(yīng)用該方法計算齒輪副的嚙合剛度存在著很大的誤差。本節(jié)建立齒向修形齒輪副嚙合剛度模型。將齒向修形的齒輪沿齒寬方向離散成若干寬度相等的薄片，如圖1所示。每一個薄片都被視為直齒輪，那么直齒輪副嚙合等同于由若干對薄片輪齒對組成的嚙合副。

圖1　輪齒薄片模型Fig.1　Discrete model of a tooth

圖2　各薄片輪齒相對位置關(guān)系Fig.2　Relative position relationships of sliced teeth with tooth profile errors

理想齒廓時，各對輪齒同時在理論嚙合位置接觸，當(dāng)齒輪存在齒向修形時，各薄片輪齒對存在齒廓偏差，這些薄片輪齒對相對位置關(guān)系如圖2所示。Pmi，Pmj為各薄片輪齒對沿嚙合線方向上的理論相對距離。Eni為各薄片輪齒實際齒廓偏離理論位置的距離，其中n=p代表主動齒輪，n=g代表從動齒輪，i為各對輪齒的編號。i=m代表該時刻下參與嚙合的薄片輪齒對中齒廓偏差最小的薄片輪齒對，即Epm+Egm=min(Epi+Egi)。嚙合過程中存在齒廓偏差的薄片輪齒對在外載荷力的作用下，主動齒輪轉(zhuǎn)動，輪齒轉(zhuǎn)過由齒廓偏差引起的間隙，齒廓偏差小的薄片輪齒對先發(fā)生接觸并發(fā)生變形；在外力的持續(xù)作用下主動齒輪繼續(xù)轉(zhuǎn)動，齒輪變形量也繼續(xù)增大，當(dāng)齒輪變形量δm大于薄片輪齒對齒廓偏差(Epi+Egi)時，該薄片輪齒對相互接觸并發(fā)生變形。直到各薄片輪齒對變形的反推力之和等于外載荷力。此時相互嚙合的各輪齒對之間的幾何關(guān)系如下：

(1)

式中δm，δi和δj分別為各輪齒對在外載荷力作用下的變形量。式(1)可變化為：

(2)

根據(jù)胡克定律，處于嚙合狀態(tài)的輪齒，其剛度ki與變形量δi有如下的關(guān)系

(3)

式中ki為各薄片輪齒對的嚙合剛度，其計算方法可參考文獻(xiàn)[8]中直齒輪的剛度計算方法。由于齒向修形量非常小(微米級)，所以認(rèn)為這些修形誤差對單個薄片輪齒剛度的影響可以忽略[22]。且認(rèn)為這些微小的修形不改變輪齒的理論嚙合線。本文中當(dāng)該對輪齒在外力的作用下沒有接觸上，即δi≤0時，令ki=0。

(4)

總嚙合力等于參與嚙合的各輪齒對的嚙合力之和。

(5)

式中N等于同時參與嚙合的薄片輪齒對數(shù)。那么輪齒嚙合的總剛度等于外載荷力除以輪齒的最大變形量，即

(6)

聯(lián)合式(2)～(6)，求得該嚙合狀態(tài)下齒輪最大變形量和齒輪副嚙合總剛度為：

(7)

(8)

式中j=m時，Emj=0。齒輪副在該嚙合狀態(tài)下的無載荷傳遞誤差(NLTE)為

(9)

齒輪副該嚙合狀態(tài)下載荷傳遞誤差(LSTE)為

(10)

1.2齒向修形直齒輪齒廓偏差計算

直齒輪齒向修形主要有圓弧修形、多項式函數(shù)修形等修形曲線[1,23-25]。為了方便起見，本文采用齒向圓弧修形曲線。如圖3所示，細(xì)實線代表理想齒廓，粗實線代表齒向修形后的齒廓。根據(jù)幾何關(guān)系，薄片輪齒的齒廓偏差為

(11)

圖3　齒向修形示意圖Fig.3　Tooth lead crown relief

式中b為薄片沿齒寬方向上的坐標(biāo)。R為修形圓弧半徑，R的大小取決于修形量Cβ和齒寬B。

(12)

根據(jù)1.1節(jié)和1.2節(jié)中的理論，考慮齒向修形偏差，運用Matlab建立了齒輪副嚙合剛度求解程序。在本文的計算中，取每個薄片輪齒的寬度Δl=0.5 mm。嚙合剛度的計算過程如圖4所示。

圖4　齒輪嚙合剛度計算流程圖Fig.4　Flow chart of the mesh stiffness calculation for a gear pair with lead crown relief

1.3模型驗證

本節(jié)以表1中的直齒輪參數(shù)為例，分別使用本文方法和有限元方法分析無齒向修形和齒向修形Cβ=20 μm兩種情況下齒輪副的嚙合剛度。采用有限元分析軟件ANSYS建立齒輪的有限元模型，如圖5所示，分別在無修形和有齒向修形情況下對齒輪副進(jìn)行接觸分析。圖6為兩種情況下齒輪的接觸應(yīng)力圖。從圖中可以看出，在無齒向修形時，輪齒接觸區(qū)域沿整個齒寬方向上均布，而存在齒向修形時，輪齒接觸區(qū)域分布于齒寬中間部分，即齒廓偏差比較小的部分。分別使用兩種方法，齒輪嚙合剛度計算結(jié)果如圖7所示。從圖中可以看出，在不存在齒向修形時，運用本文方法求解的嚙合剛度略大于有限元方法求解的嚙合剛度，最大相對誤差為4.7%。

表1　齒輪參數(shù)

考慮齒向修形Cβ=20 μm時，齒輪副的嚙合剛度均大幅度降低，運用本文方法降低了48.8%，而運用有限元方法降低了43.8%，此時，兩種方法的最大相對誤差為4.8%。運用本文方法每個嚙合周期分析50個點使用普通個人電腦約耗時3 min，運用有限元方法每個嚙合周期分析12個點使用普通個人電腦約耗時6 h。所以運用本文的分析方法能夠快速準(zhǔn)確的計算出存在齒向修形的齒輪副嚙合剛度。

圖5　齒輪有限元模型Fig.5　Finite element model of the gear pair

圖6　齒廓接觸區(qū)域圖Fig.6　Contact pattern under different lead crown reliefs

圖7　齒輪嚙合剛度對比圖Fig.7　Mesh stiffness comparison of the proposed method and the finite element method

2　齒輪系統(tǒng)有限元模型

齒輪系統(tǒng)如圖8所示，該系統(tǒng)由齒輪、軸和軸承組成，其中齒輪嚙合模型采用作者已發(fā)表的12自由度通用齒輪彎扭軸擺耦合動力學(xué)模型[17]，該模型綜合考慮了齒輪安裝角、螺旋角、壓力角、齒輪轉(zhuǎn)向等因素的影響。對于直齒輪令螺旋角βij=0°，得到直齒輪副嚙合模型如下

(13)

式中Mij為齒輪副質(zhì)量矩陣，Kij為齒輪副嚙合剛度矩陣，F(xiàn)ij和Fw分別為由傳遞誤差引起的力向量和外載荷力向量，詳細(xì)的矩陣形式可參考文獻(xiàn)[17]。Xij為齒輪副的廣義坐標(biāo)

(14)

式中x，y為橫向自由度；z為軸向自由度；θx，θy為擺動自由度；θz為扭轉(zhuǎn)自由度。在直齒輪系統(tǒng)中，由于沒有軸向力和繞x，y方向的扭轉(zhuǎn)力矩，所以令z，θx和θy項為0。

為了計算方便，不考慮阻尼，軸和軸承簡化為彈簧單元來模擬，采用4個方向的剛度來模擬其支承作用，如圖8所示。

圖8　齒輪系統(tǒng)模型Fig.8　Model of the gear-bearing system

根據(jù)有限元理論，建立齒輪系統(tǒng)的運動方程如下

(15)

式中M，C，G和K分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、陀螺和剛度矩陣。u為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，F(xiàn)u為外激勵向量。其中阻尼矩陣C采用瑞利阻尼來確定，其表達(dá)式如下

(16)

式中α，β為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣比例系數(shù)，計算方法可參考文獻(xiàn)[17]。

3　系統(tǒng)振動特性分析

本節(jié)以表1中的齒輪參數(shù)和表2中軸和軸承剛度參數(shù)為例，考慮齒向修形的影響，建立齒輪嚙合剛度、傳遞誤差模型，分析齒輪時變嚙合剛度和無載荷傳遞誤差，然后結(jié)合齒輪系統(tǒng)有限元模型，分析齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

表2　剛度參數(shù)

本節(jié)分別分析了無齒向修形和齒向修形量Cβ=20 μm時齒輪的時變嚙合剛度和無載荷傳遞誤差，如圖9所示。從圖9(a)中可以看出，齒向修形使得齒輪的嚙合剛度大幅度減小，齒向修形量Cβ=20 μm時齒輪副嚙合剛度的最大值相比齒向不修形時降低了48.8%。在圖9(b)中，兩種情況下，無載荷傳遞誤差始終為0，說明齒向修形對無載荷傳遞誤差沒有影響，齒向修形沒有改變齒輪的理論嚙合位置。

圖9　不同修形量結(jié)果對比Fig.9　Comparison of the results

在無齒向修形和齒向修形Cβ=20 μm兩種情況下，使用齒輪平均嚙合剛度對齒輪系統(tǒng)固有特性分析，結(jié)果如表3所示。從表中可以看出，齒向修形只對齒輪系統(tǒng)彎扭耦合固有頻率有影響，相比無齒向修形，齒向修形Cβ=20 μm時系統(tǒng)第1階固有頻率下降了約8%。所以在齒輪系統(tǒng)固有特性分析中，應(yīng)該考慮齒向修形的影響。

在無齒向修形和齒向修形Cβ=20 μm兩種情況下，對齒輪系統(tǒng)振動特性進(jìn)行分析，結(jié)果如圖10所示。圖10(a)，(b)分別為無齒向修形和有齒向修形兩種情況下主動齒輪處x，θz方向的振動響應(yīng)圖。圖10(a)，(b)中都出現(xiàn)了一些共振峰值，將這些峰值與系統(tǒng)固有頻率進(jìn)行對比，結(jié)果顯示這些峰值均是由齒輪副的嚙合頻率等于系統(tǒng)的第1階固有頻率ω1及其諧波項ω1/2，ω1/4和ω1/8引起的。而相比無齒向修形，在齒向修形Cβ=20 μm時，系統(tǒng)的共振峰值均出現(xiàn)了偏移，且x方向振動峰值變小。這是因為齒向修形使得齒輪副嚙合剛度減小，從而系統(tǒng)第1階固有頻率變小，由第1階固有頻率及其諧波項產(chǎn)生的共振峰值出現(xiàn)了偏移。

表3　齒輪系統(tǒng)固有頻率

總之，齒向修形對齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)特性有著較大的影響，在齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性分析中，應(yīng)考慮齒向修性的影響。

4　結(jié)　論

(1) 考慮直齒輪齒向修形，將輪齒沿軸向離散成若干寬度相等的薄片，建立了齒輪嚙合剛度模型。并以一對齒向修形的直齒輪為例，通過有限元方法和本文的方法對結(jié)果進(jìn)行了驗證，結(jié)果表明本文方法能夠快速準(zhǔn)確的求解齒向修形直齒輪的嚙合剛度。

(2) 建立了齒輪系統(tǒng)有限元模型，分析了系統(tǒng)的固有特性、振動響應(yīng)及其頻譜。結(jié)果顯示齒向修形降低了齒輪副嚙合剛度，考慮齒向修形后齒輪系統(tǒng)彎扭耦合固有頻率減小，相比無齒向修形，齒向修形Cβ=20 μm時系統(tǒng)第1階固有頻率下降了約8%?？紤]齒向修形后齒輪系統(tǒng)響應(yīng)圖中共振峰出現(xiàn)了偏移，響應(yīng)中共振峰主要由系統(tǒng)第1階固有頻率和其諧波項組成。

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Dynamic characteristics analysis of a spur gear system with the lead crown relief

WANGQi-bin1,ZHANGYi-min2

(1.School of Electro-Mechanical Engineering, Xidian University, Xi′an 710071, China;2. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

The present work is intended to analyze the vibration characteristics of a gear system with the lead crown relief. A model is introduced for analyzing the influence of the lead crown relief on the gear meshing stiffness. The tooth is approximated as a series of independent spur gear slices along axial direction whose face-width is relatively small. Then the meshing stiffness is calculated by the finite element method and the proposed method for comparison. It is demonstrated that the proposed method is fast and accurate to calculate the gear meshing stiffness with the lead crown relief. Finally, the vibration characteristics of a gear system are analyzed. The results show that the meshing stiffness and the natural frequencies of the flexural and torsional vibrations become smaller for the tooth with lead crown relief. The frequencies where the resonances occur also become smaller with the lead crown relief.

spur gear; lead crown relief; meshing stiffness model; finite element model; vibration characteristics

2014-08-28；

2015-03-31

國家自然科學(xué)基金資助項目(51135003)；國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)(2014CB046303)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(N130603002)

TH113.1;TH132.41

A

1004-4523(2016)01-0061-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.009

王奇斌(1988—)，男，博士,講師。電話： (029)88203115; E-mail: qbwangpap@163.com