錐齒行星齒輪傳動相位調諧研究*

謝　幫， 王世宇，2，3

(1.天津大學機械工程學院， 天津 300072；2.天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室， 天津 300072；3.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

?

錐齒行星齒輪傳動相位調諧研究*

謝幫1， 王世宇1，2，3

(1.天津大學機械工程學院， 天津 300072；2.天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室， 天津 300072；3.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

根據錐齒行星齒輪傳動的結構和受力的對稱性，采用解析方法研究了嚙合相位對振動特性的影響，揭示了中心輪齒數和行星輪個數與中心構件的受力及振動特性之間的關系，歸納出3種典型振動模式：軸向平移-扭轉、徑向平移-扭擺和受力平衡模式。在軸向平移-扭轉振動模式下，中心構件呈現軸向平移和繞該軸的扭轉振動；在徑向平移-扭擺振動模式下，中心構件呈現沿徑向的平移和繞該方向的扭擺振動；在受力平衡模式下，中心構件均不振動。數值計算及文獻對比證明了解析預測的正確性及其在減振方面的有效性。

錐齒行星齒輪傳動; 時變嚙合剛度; 相位調諧; 振動模式

引　言

錐齒行星齒輪傳動是一種常見的傳動裝置。中心輪的齒數和行星輪的個數是影響傳動性能的重要基本參數。本文擬根據幾何構型和嚙合力的對稱性，研究參數與受力及振動響應之間的調諧關系。

早在1967年，Schlegle和Mard就揭示了調諧現象[1]，Seager給出了初步解釋[2]。Kahraman研究了斜齒行星傳動相位調諧，揭示了振動模式及其抑制規律[3-5]。Parker等采用嚴密的數學推導和仿真計算，研究了直齒行星傳動的相位調諧[6-11]。秦大同、肖正明等[12-13]和段福海等[20]也研究了與嚙合相位有關的問題，得到了許多具有理論和工程意義的結論。本文作者提出了基于相位調諧的基本參數選擇方法[15]。

應當指出的是，上述文獻通常采用剛體假設，還有文獻研究了彈性振動規律[11,16-18]。事實上，相位調諧源于結構及受力的對稱性，與所采用的假設沒有必然關系。為了避免應用無延展約束條件，同時提高分析效率，本文作者計入了彎曲和延展變形，采用疊加方法分析了齒圈的面內振動特性，揭示了齒數和行星輪個數與剛柔耦合振動之間的相位調諧關系[19]，之后將其推廣至一般旋轉對稱式驅動/傳動系統[20-22]。

錐齒行星傳動幾何構型對稱且含脈動激勵，因此應當存在相位調諧現象。文獻[23]研究了該傳動的齒數和行星輪個數與軸向力之間的關系，并設計了3種典型傳動方案，分別研究了軸向力的變化規律，還給出了驗證。由于僅討論了含特定數目行星輪的情形，還需開展理論研究，分析其他參數選取方案對受力及振動的影響，揭示一般規律。

文獻[24]采用相對質心的動量矩定理建立了錐齒行星傳動的動力學模型，揭示了幾種典型自由振動模式。基于該模型，本文進一步研究受迫振動特性，揭示參數與典型振動之間的映射關系，還將以時變嚙合剛度為主要激勵給出仿真驗證。文獻對比進一步證明了解析結論及其減振效果。

1　動力學模型

圖1為文獻[24]建立的錐齒行星傳動計算模型。3個中心構件有3個平動和3個扭轉運動，共計6個自由度；行星輪有3個平動和1個扭轉運動，共計4個自由度。為了方便分析，建立了系桿隨動坐標系，其中坐標軸xi(i=c,s1,s2)指向1號行星輪的平衡位置，z軸均沿旋轉軸指向外側。各行星輪坐標系的原點均位于質心平衡位置，xj(j=1,2,3,…,N;N為行星輪個數)沿系桿徑向向外，yj由右手定則確定。各中心構件的坐標為(xi,yi,zi,uix,uiy,uiz)，第j個行星輪的坐標為(xj,yj,zj,ujx)。根據牛頓第二定律可得運動方程

(1)

式中M，ωc，G，Kb，Km，KΩ和F分別為質量矩陣、系桿角速度、陀螺矩陣、支承剛度矩陣、嚙合剛度矩陣、向心剛度矩陣和激勵向量，廣義坐標q=[xc,yc,zc,ucx,ucy,ucz,xs1,ys1,zs1,us1x,us1y,us1z,xs2,ys2,zs2,us2x,us2y,us2z,x1,y1,z1,u1x,x2,y2,z2,u2x,…,xN,yN,zN,uNx]T。應當指出的是，本文僅針對相位調諧問題開展研究，忽略了間隙等非線性因素的影響。

圖1　錐齒行星齒輪傳動數學模型Fig.1　Mathematical model of bevel planetary gear trains

2　相位調諧研究

2.1受力分析

本文以中心輪1為例進行受力分析。假定齒數為Zs1，其與第j個行星輪之間的嚙合力為Fj。如果嚙合力沿中心輪的徑向、切向和軸向的投影分別為Fj1，Fj2和Fj3，則嚙合力沿3個坐標方向的投影為

(2)

式中ψj為第j個行星輪與橫軸的夾角，且有

(3)

上述嚙合力Fj為嚙合誤差及嚙合剛度等嚙頻激振力。將式(2)中的Fj1，Fj2及Fj3分解為以嚙頻ωm為基頻的傅立葉級數

(4)

式中l為諧波階次，φj為第j個嚙合位置的時間相位。文獻[6]給出了直齒行星傳動的嚙合相位，根據兩種傳動的結構及受力的相似性，有

(5)

所有行星輪作用于太陽輪1的合力沿3個坐標方向的投影為

(6)

同理，作用于太陽輪1的合力矩為

(7)

式中rs1為等效集中嚙合力與中心輪1的旋轉中心的距離。對于整數m和M有[6]：

(8)

根據三角函數的運算特性，由式(2)～(9)可得中心輪齒數及行星輪個數等基本參數與振動響應之間的映射關系：

在上述結論中，q為整數，c滿足1

2.2參數奇偶性分析

文獻[19]揭示了中心輪齒數和行星輪個數等基本參數的奇偶性對直齒行星傳動振動特性的影響規律。對于錐齒行星傳動，上述參數也可以為偶數或奇數。奇偶性將影響嚙合相位，進而改變構件的受力及振動特性。假定整數C為兩個基本參數的最大公因子，根據文獻[19]，當該因子大于1時，必然有lZs1≠qN±1，因此不存在RTT模式。同時，受裝配條件2Zs1/N=整數的約束，對于雙行星輪傳動系統，中心輪齒數與行星輪個數可滿足互質關系(C=1)，因此將激起3種振動模式；若行星輪個數為大于2的偶數，則必然有C>1，因此不存在RTT模式；若行星輪個數為奇數，則中心輪齒數可以被行星輪個數整除(C=N)，因此僅能激起ATR模式。綜上可得表1所述相位調諧規律。

表1　錐齒行星傳動相位調諧

3　結果驗證

為了驗證相位調諧規律，本文設計了3個傳動方案，并根據表1預測了振動響應，如表2和3所述。對于方案A，由于中心輪齒數為奇數，因此隨著嚙頻諧波階次的改變，將分別激起ATR和RTT模式；對于方案B，兩個參數滿足整除關系，因此對于任意諧波階數，僅能激起ATR模式；方案C兩參數的公因子大于1，因此不存在RTT模式。

本文計入嚙合剛度的時變性，并假定其按矩形波規律變化，極值分別為8.15×108和4.17×108N/m，重合度、輸入扭矩和嚙頻分別為1.40，200 N·m和100 Hz。圖2給出了嚙合剛度波形及頻譜。

圖2　嚙合剛度及其諧波Fig.2　Waveform and spectrum of mesh stiffness

應用傅立葉級數方法[25]求解式(1)，可得3個傳動方案的時域和頻域解。需要指出的是，因中心構件振動規律相似，本文僅給出中心輪1的振動響應，如圖3～5所示。其中，圖3為方案A的時頻振動響應。由于中心輪齒數不能被行星輪個數整除，因此隨著嚙頻諧波階次的改變，可激起ATR和RTT模式。由圖3(a)和(b)可知，奇數階嚙頻諧波激起徑向振動，但沒有激起軸向振動，與表1和3所述解析預測一致。同時，根據表1，還應出現繞兩個正交方向的扭擺振動，但從圖3(c)和(d)可知，僅有繞y向的振動。原因在于方案A只有兩個行星輪，且在仿真計算中假定軸心均位于x軸，嚙合力投影為零，因此沒有出現繞該軸的扭擺振動，但仍然可歸結為RTT模式。相比之下，在偶數階諧波處，中心輪呈現沿旋轉軸的平移振動和繞該軸的扭轉振動，表現為典型的ATR模式。上述計算結果與理論預測一致。

表2　錐齒行星傳動基本參數

表3　傳動方案及其振動模式

圖3　時頻振動響應(方案A)Fig.3　Time-frequency vibration (Case A)

圖4　時頻振動響應(方案B)Fig.4　Time-frequency vibration (Case B)

圖4為方案B的中心輪1的時頻振動響應。由于中心輪齒數可被行星輪個數整除，不論諧波階次取何值，始終有lZs1≠qN±1，因此激起ATR模式。由圖4可知，中心輪1的徑向平移和扭擺振動均被抑制，但沿旋轉軸的平移振動和繞該軸的扭轉振動十分明顯。上述結果與理論預測一致。

圖5為方案C的中心輪1的時頻振動響應。由于該方案的中心輪齒數與行星輪個數的公因子大于1，因此不存在RTT模式。由圖5可知，不論諧波階次取何值，均不存在關于x和y軸的平移和扭擺振動。在嚙頻的第4、第6和第8階諧波處，滿足lZs1=qN，表現出ATR振動模式。在第1、第3、第7和第9階諧波處，中心輪的振動受到抑制，表現為FB模式。上述結果與理論預測一致。

根據本文揭示的相位調諧規律可進一步分析文獻[23]的4個傳動方案的振動特性。表4給出了各方案的中心輪齒數和行星輪個數。文獻[23]指出：以軸向振動為評價標準，方案Ⅳ最好。根據本文結論，方案Ⅰ和Ⅱ始終滿足lZs1=qN，因而激起ATR振動模式，產生顯著的軸向振動。而方案Ⅲ和Ⅳ滿足其他條件，可激起RTT和FB模式。由于不存在軸向振動，因此這兩個方案較好。方案Ⅲ與Ⅳ的差別僅在于行星輪齒數的奇偶性。事實上，如果齒數為奇數，則內、外嚙合相位相反，軸向嚙合力不能抵消；如果為偶數，則上述兩處嚙合同相[4]。若不計制造和安裝誤差，偶數齒行星輪可使軸向嚙合力抵消，因而抑制軸向振動。綜上可知，方案Ⅳ的軸向振動小于其他方案。上述分析，一方面證明了文獻[23]的結論，另一方面也證明了相位調諧規律的正確性及其在減振方面的有效性。

表4　錐齒行星傳動方案[23]

圖5　時頻振動響應(方案C)Fig.5　Time-frequency vibration (Case C)

應當指出的是，本文僅分析了穩態響應。如果嚙頻或其諧波與某階固有頻率接近，同時嚙合力的施加方式與自由振動模式一致，將激起共振。作為典型的參激系統，錐齒行星傳動存在穩定性問題[26]和邊頻結構[27]。但是，在應用傅立葉級數解法時由于忽略了時變剛度與響應形成的二階小量，將參激振動簡化為受迫振動，因此所得結論僅描述了主頻及其諧波響應。

鑒于錐齒行星傳動的結構對稱性及典型的參數激勵特征，有必要分析由嚙合剛度激勵產生的邊頻疊加效果，以充分揭示相位調諧規律。Parker等深入研究了齒圈系統的參激振動規律，得到了許多有意義的結論[28]。為了避免煩瑣的動力學建模和解析分析，可考慮采用彈性波疊加方法[19]分析各嚙合位置的振動疊加效果，最終揭示計入延展變形的參激振動規律。

4　結　論

本文研究了錐齒行星齒輪傳動的基本參數對振動特性的影響。根據中心構件的振動特征，本文揭示了3類典型振動模式，即：軸向平移-扭轉、徑向平移-扭擺和平衡模式。在第1種模式下，中心構件僅存在軸向平移和繞該方向的扭轉振動；在第2種模式下，中心構件僅存在徑向平移和扭擺振動；在平衡模式下，中心構件6個方向的振動均被抑制，因此處于受力平衡狀態。仿真計算及文獻對比證明了解析結果的正確性及其在減振方面的有效性。

[1]Schlegel R G,Mard K C. Transmission noise control approaches in helicopter design [C]. ASME 67-DE-58. ASME Design Engineering Conference. New York，1967.

[2]Seager D L. Conditions for the neutralization of excitation by the teeth in epicyclic gearing [J]. Journal Mechanical Engineering Science，1975, 17(5): 293—298.

[3]Kahraman A. Natural modes of planetary gear trains [J]. ASME Journal of Sound and Vibration, 1994, 173(1): 125—130.

[4]Kahraman A. Planetary gear train dynamics [J]. ASME Journal of Mechanical Design, 1994, 116(3): 713—720.

[5]Kahraman A, Blankenship G W. Planet mesh phasing in epicyclic gear sets[C]. In: International Gearing Conference. Newcastle, UK, 1994：99—104.

[6]Parker R G. A physical explanation for the effectiveness of planet phasing to suppress planetary gear vibration [J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 236(4): 561—573.

[7]Parker R G, Agashe V, Vijayakar S M. Dynamic response of a planetary gear system using a finite element/contact mechanics model [J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2000, 122(3): 304—310.

[8]Parker R G, Lin J. Mesh phasing relationships in planetary and epicyclic gears [J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2004, 126(2): 365—370.

[9]Ambarisha V K, Parker R G. Suppression of planet mode response in planetary gear dynamic through mesh phasing [J]. ASME Journal of Vibration and Acoustics, 2006, 128(2): 133—142.

[10]Ambarisha V K, Parker R G. Nonlinear dynamics of planetary gears using analytical and finite element models [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 302(3): 577—595.

[11]Wu X U. Vibration of planetary gears having an elastic continuum ring gear[D]. Ohio State University, 2010.

[12]秦大同，肖正明，王建宏．基于嚙合相位分析的盾構機減速器多級行星齒輪傳動動力學特性 [J].機械工程學報，2011，47(23)：20—28．

Qin D T, Xiao Z M, Wang J H. Dynamic characteristics of multi-stage planetary gears of shield tunnelling machine based on planet mesh phasing analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(23): 20—28.

[13]肖正明，秦大同，尹志宏.多級行星齒輪系統耦合動力學分析與試驗研究[J].機械工程學報，2012，48(23)：51—58．

Xiao Z M,Qin D T, Yin Z H. Multi-stage planetary gears dynamic coupling analysis and experimental investigation[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(23): 51—58.

[14]段福海，郭飚，胡青春，等.齒輪中心雙流傳動系統的動力學分析 [J].華南理工大學學報(自然科學版)，2008，36(8)：117—122．

Duan F H, Guo B, Hu Q C, et al. Dynamic analysis of two path and load share sun geared system[J]. Journal of South China University of Technology (Natural Science Edition), 2008, 36(8): 117—122．

[15]王世宇.基于相位調諧的直齒行星齒輪傳動動力學理論與實驗研究 [D]. 天津：天津大學，2005．

Wang S Y. Theoretical and experimental investigation on dynamics of spur planetary gear transmissions based on planet phasing theory [D]. Tianjin: Tianjin University, 2005.

[16]Stockton R J. Sun gear traveling wave vibration in a sequential planetary gearbox[C]. In: ASME Design Engineering Division Conference and Exhibit on Mechanical Vibration and Noise． Cincinnati, Ohio, USA, 1985, 85-DET-167.

[17]Talbert P B. Generalized excitation of traveling wave vibration in gears[C]. In: American Gear Manufacturers Association Conference. Technical Paper No. 04FTM08, 2004.

[18]Canchi S V, Parker R G. Effects of ring-planet mesh phasing and contact ratio on the parametric instabilities of a planetary gear ring [J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2008, 130(1): 014501.

[19]Wang S Y, Huo M N, Zhang C, et al. Effect of mesh phase on wave vibration of spur planetary ring gear [J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2011, 30(6): 820—827.

[20]Chen D L, Wang S Y, Xiu J, et al, Physical explanation on rotational vibration via distorted force field of multi-cyclic symmetric systems[C]. 13th World Congress in Mechanism and Machine Science (IFToMM′11). Guanajuato, Mexico, 2011, June 19—25.

[21]Huo M N, Wang S Y, Xiu J, et al. Effect of magnet/slot combination on triple-frequency magnetic force and vibration of permanent magnet motors[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(22): 5965—5980.

[22]Wang S Y, Xiu J, Cao S Q, et al. Analytical treatment with rigid-elastic vibration of permanent magnet motors with expanding application to cyclically symmetric power-transmission systems[J]. ASME Journal of Vibration and Acoustics, 2014, 136(2): 021014.

[23]Vantsevich V V. Force vibrations in automotive bevel gear differentials[C]. Noise & Vibration Conference and Exhibition. Traverse City, Michigan, May 5-8, 2003.

[24]王世宇，王建，曹樹謙，等，錐齒行星齒輪傳動模態特性分析 [J].振動工程學報，2011，24(4)：376-384．

Wang S Y, Wang J, Cao S Q, et al. Modal properties for bevel planetary gear trains [J]. Journal of Vibration Engineering, 2011, 24(4): 376—384.

[25]方宗德，沈允文，黃鎮東．三路功率分流恒星式減速器的動態特性[J]．航空動力學報，1990，11(7)：341—350．

Fang Z D, Shen Y W, Huang Z D. The dynamic behavior of star gearing with three branches[J]. ACTA Aeronatutica Et Astronatutica Sinica, 1990, 11(7): 341—350.

[26]Yang J M, Zhang C, Lin Z Q, et al. Theoretical explanation for lower order harmonic resonance phenomenon of three-ring gear transmissions[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2003, E-8(1): 71—74.

[27]Han Q K, Wang J J, Li Q H. Spectral properties for the vibration response of parametrically excited system[J]. Archive of Applied Mechanics, 2010, 80(6): 671—685.

[28]Wang S Y, Sinha S C. Parametric instability in a gear train system due to stiffness variation[C]. ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Portland, Oregon, USA, 2013.

Planet phasing of bevel planetary gear trains

XIEBang1,WANGShi-yu1,2,3

(1.School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2.Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, Tianjin University,Tianjin 300072, China;3.Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, Tianjin 300072, China)

This work analyzes the effect of meshing phase on vibration behaviors by using the structural and force symmetries of the bevel planetary gear trains. The relationships between the basic parameters, including the number of the central gear tooth, the number of the planet gears, and the force and vibration are obtained. The results imply that the vibration can be classified into three typical groups: axial-translational androtational modes, where the central components exhibit translational motion and rotational motion about their axes, radial-translational and torsional modes, where the central components exhibit translational motion and torsional motion about the two axes perpendicular to the rotational axis, and force balanced modes, where the central components are stationary. The analytical prediction and its effectiveness on the vibration reduction are verified by numerical calculation and comparison with the existing literature.

bevel planetary gear trains； time-varying meshing stiffness； planet phasing； vibration modes

2014-06-01；

2015-11-04

國家自然科學基金資助項目(51175370);天津市應用基礎與前沿技術研究計劃重點項目(13JCZDJC34300)

TH113.1;TH132.425

A

1004-4523(2016)01-0069-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.010

謝幫(1989—)，男,碩士研究生。E-mail： xbalex1989@163.com

王世宇(1974—),男，博士，副教授。E-mail:wangshiyu@tju.edu.cn