熱耗散變形下干氣密封系統軸向振動穩定性分析*

丁雪興， 陸俊杰， 劉　勇， 張英杰

(蘭州理工大學石油化工學院， 甘肅 蘭州 730050)

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熱耗散變形下干氣密封系統軸向振動穩定性分析*

丁雪興， 陸俊杰， 劉勇， 張英杰

(蘭州理工大學石油化工學院， 甘肅 蘭州 730050)

基于非線性振動理論，建立了氣膜-密封環系統軸向振動模型，同時考慮了熱耗散有熱彈變形對氣膜厚度和剛度的影響。在特定的工況下，求解并擬合了非線性氣膜的軸向剛度和阻尼，獲得了一個非線性受迫振動微分方程。在無外激勵情況下，通過求解Floquet指數，討論了系統分岔的問題，分析了螺旋角對系統穩定性的影響，得到了干氣密封系統穩定運行的螺旋角范圍，并求得螺旋角為75°54′36″時系統發生Hopf分岔。將數據結果與無熱耗散有熱彈變形、無變形下的數據進行比較。研究結果表明:考慮熱耗散有熱彈變形下的系統穩定的螺旋角范圍比無熱耗散有熱彈變形和無變形的螺旋角范圍更大。熱耗散熱彈變形下發生Hopf分岔的分叉點位置相比無熱耗散有熱彈變形和無變形的分岔點更加突出。這與先前利用龍格-庫塔法研究的結果一致，從而驗證該方法的正確性。其結果說明，熱耗散有熱彈變形對干氣密封系統的穩定運行有一定的干擾，對工程實際具有一定應用價值。

非線性振動； 干氣密封; 熱耗散； 分岔； 穩定性

引　言

在高速透平機械、泵、反應釜等設備的軸端密封中，干氣密封內部氣膜平衡間隙[1-2]為微米級尺度。若間隙發生微小變化，極有可能導致干摩擦和泄漏量增大。從而保證氣膜-密封環動態穩定性是干氣密封可靠運行的關鍵。因此針對干氣密封系統穩定性的分析，一直是國內外研究的熱點和難點。

Zirkelback[3],Miller[4]等分別采用有限元法、半解析法求解雷諾方程，獲得了氣膜特性規律。Zhang[5]建立了3個自由度的微擾運動方程，并用正交分解法求得了密封環三維運動規律。劉雨川[6]利用有限元法，獲得了有關密封氣膜穩定性的判據。杜兆年等[7-8]用微擾法、近似解析法對軸向振動和角向渦動下，部分氣膜動態特性參數進行了計算。張偉政等[9]利用龍格-庫塔法求解了軸向振動方程，分析了螺旋角和槽深對振動位移的影響。俞樹榮[10]針對氣膜-密封環系統軸向振動，探究了系統的穩定性。但是基于非線性振動理論，考慮熱耗散變形下氣膜-密封環流固耦合系統動態穩定性的影響未做深入研究，由于靜環發生變形，氣膜厚度結構將產生變化，導致動靜環碰摩，最終引起密封失效。

本文基于非線性振動理論和微尺度內熱耗散變形，研究干氣密封氣膜-密封環系統軸向振動的穩定性問題，探求干氣密封穩定運行的結構參數區域，并與無耗散有變形、無變形的結構參數區域進行比較，從而分析干氣密封運行的穩定性和指導干氣密封的優化設計。

1　模型與基本方程的建立

1.1干氣密封工作原理和結構

干氣密封結構主要由加載彈簧、O 形圈、靜環和動環組成，如圖1所示。動環依靠軸套固定在旋轉軸上并隨軸旋轉。緩沖氣體注入到密封裝置，動、靜環在流體靜壓力和彈簧力的作用下保持貼合，起到密封作用。當動環旋轉時，將把密封氣體周向吸入槽內，氣體沿槽向槽根部運動，逐漸被壓縮，如圖2所示。密封堰是開槽區和非開槽區之間的一個邊界，臺代表兩個開槽區之間的非開槽區域。Ro為密封環的外半徑，Ri為密封環的內半徑，Rg為密封環的根半徑，α為螺旋角，β為螺旋角的余角，r為極半徑，φ為極角。當壓力達到一定數值時，靜環將從動環表面被推開，這樣密封面之間始終保持一層極薄的氣膜(厚度3～6 μm)。

圖1　螺旋槽干氣密封結構Fig.1　The structure of spiral groove dry gas seal

圖2　密封動環螺旋槽結構Fig.2　The structure of spiral groove of dynamic ring

1.2氣膜-密封環系統軸向振動計算模型

模型的假設：

(1)將氣膜-密封環系統視為雙自由度受迫振動。

(2)氣膜假定為具有非線性剛度的彈簧。

(3)瞬態激振力來源于轉軸對系統的干擾力，假定為簡諧激振力。

(4)動環隨軸轉動，其軸向位移可假定為簡諧運動。

氣膜-密封環系統軸向振動模型如圖3所示。

圖3　氣膜-密封環系統軸向振動模型Fig.3　The model of axial vibration of gas film-ring system

振動方程

Kgbcosωt-Cgbωsinωt

(1)

式中m為靜環的質量，Ke為彈簧剛度，Kg氣膜剛度，Cg為氣膜阻尼，x為靜環振動位移,xd為動環振動位移，b為動環振幅,ω為軸向振動頻率。

2　氣膜能量方程及熱彈變形

2.1干氣密封氣膜的能量方程

圖4為氣膜微元控制體熱平衡分析模型。穩態下，由對流換熱過程控制方程組[11]推導氣膜的能量方程。針對圖示的微元控制體，能量的變化分為徑向(dr)，環向(dθ)和膜厚方向(dz)。由于控制體隨著軸旋轉，所以考慮到轉速的原因，可以忽略環向(dθ)的溫度變化。因此，研究微元以擴散和對流的形式進出控制體的徑向能量變化(dr)。

圖4　氣膜微元控制體熱平衡模型Fig.4　The heat balance model for a micro control element of the gas film

則微元體在單位時間內由擴散所吸收的熱量為

(2)

單位時間內控制體由對流作用得到的熱量為

(3)

在膜厚方向(dz)由于膜厚間隙相當小，因此膜厚方向(dz)的能量主要以擴散形式進出控制體，對流可以忽略。

則微元體在膜厚方向(dz)，在單位時間內由擴散所吸收的熱量為

(4)

根據能量守恒定理，再考慮由于流體黏性耗散作用所產生的熱量[12]，則能得到螺旋槽干氣密封氣膜的能量方程

(5)

忽略溫度在氣膜厚度z方向變化,則氣膜的能量方程式(5)簡化為

(6)

忽略耗散項，得到不考慮熱耗散下的氣膜能量微分方程

(7)

2.2干氣密封密封環熱彈變形

考慮到干氣密封的動環材料為合金鋼，靜環材料為石墨，因此相對于靜環的變形量動環變形可忽略。因此干氣密封靜環軸向熱彈變形為[12]

(8)

式中a為材料的線膨脹系數,bf為密封面寬度,L為環的軸向長度；CR=ΔT/bf為溫度梯度。

3　干氣密封氣膜厚度計算

干氣密封運轉下靜環在沒有熱彈變形時，密封端面間的氣膜厚度hb為定值，當有熱彈變形時氣膜厚度hb為變量，其表達式為

(9)

式中δmax為靜環變形量的最大值,hmin為氣膜厚度的最小值。hb，hmin，Δ，δmax與δ之間幾何關系如圖5所示。

圖5　氣膜厚度結構簡圖Fig.5　The structural diagram for the gas film thickness

首先，應用PH線性化方法令非線性偏微分雷諾方程線性化；其次，在求解線性偏微分方程的過程中引入復函數分離變量法，將方程變為兩個線性實常數微分方程組。采用迭代法近似求解雷諾方程[13-14]，得氣膜推力表達式

(10)

靜環發生熱彈變形后，由于氣膜厚度發生了改變，從而使氣膜間進入了另一個新的平衡狀態，此時的氣膜推力Fo等于閉合力Fc。氣膜推力等于靜環背側面介質壓力與彈簧力Fe的合力。因此，可得

Fo=p0·A+Fe

(11)

式中A為靜環背側面的面積(m2),Fe為彈簧力(N)。聯立式(10)和(11)，利用Maple軟件編程，可以求出靜密封環受力力平衡時氣膜的最小厚度hmin。

4　非線性氣膜動態特性參數

4.1氣膜非線性剛度Kg和阻尼Cg

應用變分法和PH線性化方法(非線性雷諾方程進行無量綱化,隨后對非線性雷諾方程進行PH線性化方法，得到一級近似PH線性雷諾方程。在潤滑層中壓強小的變化可用其變分ΔP描述，對其方程作變分運算。對變分后的運算公式在穩態邊值問題條件下，引入復函數進行化簡)運算干氣密封螺旋槽內瞬態微尺度流動場的非線性雷諾方程，得到無量綱氣膜角向渦動剛度的解析式[8]

(12)

應用PH線性化方法及變分運算，得到了軸向微擾下氣膜反作用力的增量。隨后再利用復數轉換和迭代法對靜態下氣膜邊值問題進行求解，求得氣膜軸向剛度的近似解析解。

由于定義的微擾量為復數[7]

(13)

所以穩態下Reynolds方程的微擾動態壓力也是復變量[15]，其實部和虛部分別對應于氣膜的剛度和阻尼。由微擾動態壓力的復數實部Re{K}=η(η1cosω+η2sinω)得到無量綱軸向氣膜剛度的計算式，由微擾動態壓力的復數虛部Im{K}=η·(-η1sinω+η2cosω)推得無量綱軸向氣膜阻尼的計算式。

無量綱氣膜軸向剛度[7]、軸向阻尼

(14)

(15)

由此，氣膜剛度[7,16]：

(16)

氣膜阻尼：

(17)

4.2實例計算

樣機尺寸：內半徑Ri=70.6 mm，外半徑Ro=90.25 mm，根半徑Rg=80.5 mm，螺旋槽數目n=12，槽深2E=6 μm，螺旋角α=74°51″。

實驗工藝參數：介質壓力p0=10 MPa，環境壓力pi=101.3 kPa，介質氣體N2，轉速nr=8700 r/min，氣膜厚度h=4 μm，靜環質量m=0.0804 kg，動環振幅b=10 μm。

聯立式(10)和(11)，并且利用Maple求解，得到氣膜的最小厚度為3.82 μm。計算過程中，利用迭代法和有限元的思想將非線性的氣膜厚度進行逐段計算，最后對式(14)和(15)積分，再代入式(16)和(17)計算后分別得到含有氣膜非線性剛度和氣膜非線性阻尼的兩個多項式。在多項式的常數項和各個系數中將包含了干氣密封的結構參數(如螺旋角等)，而螺旋角的變化直接影響螺旋槽干氣密封系統的穩定運行。所以通過擬合的辦法，對振動敏感參數螺旋角作為變量來研究分岔問題，將其他結構參數作為已知量。最后經過計算得到了擬合后的氣膜非線性剛度和氣膜非線性阻尼。

擬合氣膜非線性剛度

(18)

擬合氣膜非線性阻尼

(19)

由軸向追隨性可優化出彈簧剛度[17](去追隨性系數等于0.4)

Ke=0.4186134080×107

(20)

4.3方程化簡

將式(18),(19)代入式(1)中，兩邊同除以m得

x″+c0x′+c1x+c2x2+c3x3=

(21)

則方程變為

(22)

簡化得

(23)

4.4一類非線性動力系統自由振動方程的解

對式(21)的修改參照一類非線性動力系統自由振動方程的解。

考慮方程

(24)

通過求此方程同宿軌道可得解為

(25)

取c0=0，得到滿足位移不等于零，速度不等于零的初始條件，則

(26)

滿足初速度為零的初始條件，得

(27)

5　系統穩定性分析

5.1用Floquet指數方法研究系統分岔問題

(28)

圖6　相圖(c′=1,β′=1)Fig.6　The phase plane (c′=1,β′=1)

當c′=2時，λ1,2=-1為相等的負數，平衡點為臨界結點。在c′=2,β′=1時系統的相圖如圖7所示。

圖7　相圖(c′=2,β′=1)Fig.7　The phase plane(c′=2,β′=1))

圖8　相圖(c′=3,β′=1))Fig.8　The phase plane(c′=3,β′=1))

當c′=0時，λ1,2=±i為純虛數，解的曲線是極限環，發生Hopf分岔。在c′=0,β′=1時系統的相圖如圖9所示，為一極限環。

圖9　相圖(c′=0,β′=1))Fig.9　The phase plane(c′=0,β′=1))

5.2Melnikov函數

由定義的Melnikov函數[18]

(29)

經過留數計算可得

當ω=1時，

則得

(30)

當ω=3時，

則得

(31)

由式(30)，(31)可知存在同宿點，系統可能發生混沌運動。

5.3分析熱耗散下熱彈變形的系統分岔時螺旋角范圍

根據文中給定的工況條件和分析系統穩定性的方法，計算熱耗散下熱彈變形的系統分岔問題時螺旋角范圍

當c′=2時，α=65°43′47″時，λ1,2=-1為相等的負數，平衡點為臨界結點。

當c′=0時，α=75°54′36″時，λ1,2=±i為純虛數，解的曲線是極限環，發生Hopf分岔。

以上針對干氣密封系統的穩定性進行了分析，獲得了螺旋角α=75°54′36″時系統穩定運行。當螺旋角在65°43′47″<α<75°54′36″范圍內，干氣密封系統是穩定運行的，當螺旋角為α=65°43′47″和α=75°54′36″時，是干氣密封系統穩定運行的臨界點。當螺旋角在α<65°43′47″或α>75°54′36″情況下，干氣密封系統將會發生混沌現象，系統運行將會不穩定。通過文獻[19]利用直接數值模擬法求解軸向振動方程，計算出了當螺旋角為α=76°28′19″時，系統有混沌現象發生；當螺旋角為α=74°53′26″時，系統穩定運行，從而說明了本結論的正確性。

5.4不同條件下系統分岔時螺旋角范圍

5.4.1無變形下分岔問題的螺旋角范圍

無變形即是氣膜在理想狀態下進行工作，因此在計算時，根據干氣密封系統和氣膜厚度在理想狀態下工作，不考慮熱耗散和熱彈變形對其的影響。

當c′=2時，α=66°44′50″時，λ1,2=-1為相等的負數，平衡點為臨界結點。

當c′=0，α=75°45′43″時，λ1,2=±i為純虛數。解的曲線是極限環，發生Hopf分岔。

當螺旋角α=75°45′43″時，干氣密封系統是穩定的;當螺旋角在66°44′50″<α<75°45′43″范圍內，干氣密封系統是穩定運行的；當螺旋角為α=66°44′50″和α=75°45′43″時，是干氣密封系統穩定運行的臨界點；當螺旋角α<66°44′50″或α>75°45′43″情況下，干氣密封系統將會發生混沌現象，系統運行將會不穩定。

5.4.2無熱耗散有熱彈變形的分岔問題的螺旋角范圍

當c′=2，α=66°2′51″時，λ1,2=-1為相等的負數，平衡點為臨界結點。

當c′=0，α=75°51′48″時，λ1,2=±i為純虛數。解的曲線是極限環，發生Hopf分岔。

當螺旋角α=75°51′48″時，干氣密封系統是穩定的。當螺旋角66°2′51″<α<75°51′48″范圍內，干氣密封系統是穩定運行的，當螺旋角為α=66°2′51″和α=75°51′48″時，是干氣密封系統穩定運行的臨界點。當螺旋角α<66°2′51″或α>75°51′48″情況下，干氣密封系統將會發生混沌現象，系統運行將會不穩定。

對干氣密封氣膜-密封環系統軸向穩定性的分析，熱耗散下熱彈變形的分岔問題的螺旋角范圍與無熱耗散有變形和無變形的分岔問題的螺旋角范圍有明顯的變化。同時熱耗散有變形的分叉點位置相比無熱耗散有變形和無變形的分岔點更加明顯。這種螺旋角失穩域的變化，說明考慮耗散下氣膜-密封環流固耦合系統動態穩定性是有必要的。

6　結　論

(1)求解了臨界氣膜剛度和螺旋角之間的定量關系，進而求出了失穩時的螺旋角范圍，并分析了失穩時系統非線性動力學行為。結果表明，在干氣密封系統運行中，考慮熱耗散變形對干氣密封系統的穩定性有一定的影響。從螺旋角的變化來看，熱耗散變形相比較無熱耗散有變形和無變形的條件下更加明顯。

(2)根據研究結果，可以認為考慮熱耗散有熱彈變形影響下，當螺旋角α=75°54′36″時，系統處于穩定運行。不同于無變形下的螺旋角數值。當干氣密封系統失穩，將使得靜環與動環碰撞，產生碰磨現象，令密封失效，因此考慮熱耗散變形下氣膜-密封環流固耦合系統動態穩定性的研究是很有工程實際的應用價值。

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Stability analysis on axial vibration of dry gas seal system under the thermo-elastic deformation considering the thermal dissipation

DINGXue-xing,LUJun-jie,LIUYong,ZHANGYing-jie

(College of Petrochemical Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Based on the nonlinear vibration theory, the axial vibration model which is about the film and seal rings in the system of dry gas seals is established. In this model, the influence of the gas film thickness and gas film stiffness are considered by the thermal dissipation and thermal-elastic deformation. A forced vibration differential equation containing nonlinear terms is derived in consideration of the nonlinear axial rigidity and damping of the gas film for the specific working conditions. The bifurcation behavior in the dry gas seal system is discussed by the Floquet exponent in the case of without external excitation.Then the influence of the spiral angle on the stability of the dry gas seal system is is analyzed. According to the above data, the range of the spiral angle that guarantee the dry gas seal system stable is given. When the spiral angle is 75°54′36″, Hopf Bifurcation occurrs. The result is compared with those of thermal-elastic deformation without thermal dissipation and of non-thermal-elastic deformation, when the Hopf Bifurcation occurres as well. The results show that the range of the spiral angle which makes the dry gas seal system stable, under thermal-elastic deformation with thermal dissipation is different from that under the thermal-elastic deformation without thermal dissipation and under non-thermal-elastic deformation. What's more, the range of the spiral angle which makes the dry gas seal system stableunder thermal-elastic deformation without thermal dissipation is closer to that under the thermal-elastic deformation with thermal dissipation. And the position of the Hopf bifurcation under thermal-elastic deformation with thermal dissipation is clearer than that under thermal-elastic deformation without thermal dissipation and non- thermal-elastic deformation. The result agree well with the result which is obtained by using the Runge-Kutta method, through which the validity of the method confirmed. Accordingly, in the future, the thermal-elastic deformation with thermal dissipation will become one of aspects which affect the stability of the dry gas seal system and will have application to the engineering practice.

nonlinear vibration; dry gas seal; thermal dissipation; bifurcation; stability

2014-06-23；

2014-11-18

國家自然科學基金資助項目(51165020)

O322; TQ051

A

1004-4523(2016)01-0078-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.011

丁雪興(1964—)，男，教授。電話： 15002608287； E-mail： xuexingding@163.com

陸俊杰(1990—)，男，碩士研究生。電話：15117004676；E-mail:loveljj4566@163.com