利用有限元法與打靶法的縱橫耦合軸系主共振分析*

鄒冬林， 劉　翎，饒柱石， 塔　娜

(1.上海交通大學(xué)振動(dòng)、沖擊、噪聲研究所，上海 200240；2.上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

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利用有限元法與打靶法的縱橫耦合軸系主共振分析*

鄒冬林1，2， 劉翎1,2，饒柱石1,2， 塔娜1,2

(1.上海交通大學(xué)振動(dòng)、沖擊、噪聲研究所，上海 200240；2.上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

在考慮Von Karman非線性位移-應(yīng)變關(guān)系下，利用Hamilton原理與有限元方法建立了軸系縱橫耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型， 推導(dǎo)了其非線性剛度矩陣。結(jié)合打靶法研究了軸系在外激勵(lì)下的橫向主共振響應(yīng)及其穩(wěn)定性。探討了激勵(lì)載荷、阻尼比以及細(xì)長比對(duì)軸系縱橫耦合效應(yīng)的影響。研究表明：縱橫耦合效應(yīng)呈“硬彈簧”特性，使幅頻響應(yīng)曲線向右傾斜；在某些激勵(lì)頻率處，幅頻響應(yīng)曲線上存在多個(gè)穩(wěn)定解，從而使幅值出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象；激勵(lì)載荷越大，阻尼比越小，細(xì)長比越小，系統(tǒng)縱橫耦合效應(yīng)越強(qiáng)；增加阻尼比可以有效抑制縱橫耦合非線性效應(yīng)，提高軸系的穩(wěn)定性。分析結(jié)果對(duì)軸系的設(shè)計(jì)有指導(dǎo)意義。

非線性振動(dòng)； 縱橫耦合軸系； 有限元； 打靶法； 主共振

引　言

在許多工程機(jī)械中，旋轉(zhuǎn)軸系常被用來傳遞動(dòng)力，起著非常重要的作用。例如船舶推進(jìn)軸系，飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)軸系以及汽輪機(jī)軸系等等。軸系運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)不可避免地產(chǎn)生振動(dòng)，從而降低機(jī)器的工作效率，嚴(yán)重時(shí)會(huì)使軸系斷裂，造成事故。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，軸系的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，載荷也越來越大，軸系振動(dòng)問題越來越突出。因此對(duì)軸系的動(dòng)力學(xué)分析一直是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。軸系的振動(dòng)分為3種形式：彎曲振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)以及縱向振動(dòng)。早期對(duì)軸系的研究都是對(duì)這3種振動(dòng)單獨(dú)處理，這樣處理有利于模型的簡化。然而對(duì)一些處于復(fù)雜工況的軸系，各種運(yùn)動(dòng)之間有相當(dāng)強(qiáng)的耦合，分開處理不能揭示工程中的一些現(xiàn)象，比如出現(xiàn)多頻現(xiàn)象，發(fā)生組合共振、自激振動(dòng)及分岔現(xiàn)象等等。近年來，針對(duì)彎扭耦合振動(dòng)的研究文獻(xiàn)很多，大多數(shù)均以齒輪軸系或汽輪機(jī)軸系等為研究對(duì)象[1-2]。但是針對(duì)軸系彎縱耦合振動(dòng)的研究文獻(xiàn)還相當(dāng)少，主要原因是這兩種振動(dòng)之間的耦合在工程中不常見。而對(duì)于大跨度軸系(例如船舶推進(jìn)軸系，一般長度為十幾米甚至幾十米)或細(xì)長軸系，由于細(xì)長比很小(細(xì)長比指軸系截面回轉(zhuǎn)半徑與軸系長度之比)，當(dāng)激勵(lì)力較大時(shí)，容易引起軸系較大振動(dòng)。此時(shí)橫向振動(dòng)很大，進(jìn)而其縱、橫向之間的彈性耦合效應(yīng)也很強(qiáng)。當(dāng)軸系縱、橫向間產(chǎn)生非線性耦合振動(dòng)時(shí)，可能會(huì)伴有能量滲透、飽和等現(xiàn)象，從而使軸系某些方向上振動(dòng)進(jìn)一步加強(qiáng)，使軸系振動(dòng)過大而產(chǎn)生裂紋。同時(shí)盡管在軸系設(shè)計(jì)時(shí)已使工作頻率避開了軸系的共振頻率，但是因?yàn)檫@種設(shè)計(jì)并沒有考慮縱、橫耦合效應(yīng)的影響，而縱、橫向間的非線性耦合效應(yīng)會(huì)改變軸系的固有頻率，這時(shí)工作頻率有可能落在共振頻率段，并產(chǎn)生主共振、超諧共振及亞諧共振等現(xiàn)象，使軸系振動(dòng)劇烈。因此研究軸系縱、橫耦合效應(yīng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性有重要的實(shí)際意義。

目前對(duì)于軸系縱橫耦合的研究，國內(nèi)文獻(xiàn)非常少。有不少學(xué)者針對(duì)平面梁結(jié)構(gòu)縱橫耦合振動(dòng)問題做過研究[3-5]，但是轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)與梁結(jié)構(gòu)間最顯著的差別是轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)有旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)，從而使轉(zhuǎn)子振動(dòng)產(chǎn)生新的現(xiàn)象，比如正進(jìn)動(dòng)與反進(jìn)動(dòng)等。近十年來，國外對(duì)軸系縱橫耦合非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了大量研究。Khadem與Hossein團(tuán)隊(duì)在這一領(lǐng)域做了許多貢獻(xiàn)。他們研究了縱橫耦合作用下可伸長與不可伸長軸系的自由振動(dòng)響應(yīng)[6-7]；研究了不可伸長軸系的主共振響應(yīng)[8-9]以及可伸長軸系的主共振與參數(shù)共振響應(yīng)[10-11]；研究了不可伸長軸系兩階模態(tài)間的聯(lián)合共振[12-13]以及分叉與穩(wěn)定性問題[14]。Ishida團(tuán)隊(duì)也做了類似的工作[15-17]。但是在這些團(tuán)隊(duì)的研究中，存在兩個(gè)問題：首先他們均認(rèn)為軸系縱向慣性可以忽略，這樣可以對(duì)縱橫耦合動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)一步簡化以便研究。由于他們研究的對(duì)象都是簡支軸系，縱向固有頻率遠(yuǎn)高于橫向固有頻率，因此這種簡化是合理的。但是對(duì)于多支承多盤軸系，如船舶推進(jìn)軸系，由于螺旋槳集中質(zhì)量以及推力軸承的影響，縱向慣性效應(yīng)很顯著，直接忽略會(huì)帶來誤差。其次他們的研究思路是：利用Galerkin法(權(quán)函數(shù)采用一階模態(tài)振型)，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，再利用多尺度法或者諧波平衡法或者平均法求解方程的一次近似解?；蛘呋窘馊橐浑A模態(tài)振型，直接利用多尺度法求解偏微分方程。這兩處理方法的理論基礎(chǔ)是“單模態(tài)共振理論”[18]。即當(dāng)多自由度非線性系統(tǒng)進(jìn)入共振狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)主要由所涉及的各階單一主模態(tài)所控制。因此這兩方法只能分析各種共振響應(yīng)。而對(duì)于非共振響應(yīng)，這兩種處理方法均由于模態(tài)截?cái)喽a(chǎn)生誤差。同時(shí)由于計(jì)算的復(fù)雜性，采用多尺度法時(shí)一般只取兩個(gè)時(shí)間尺度，求取一次近似解，很難獲得系統(tǒng)的高次近似解。

隨著電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，高精度的數(shù)值計(jì)算得到了廣泛應(yīng)用。有限元方法由于其通用性強(qiáng)以及精度高的特點(diǎn)，常常被用來研究大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析。配合Newmark法、Wilson-θ法等直接數(shù)值積分方法，可以很方便地處理非線性振動(dòng)問題[19]。然而這些方法在求取非線性系統(tǒng)周期解時(shí)非常依賴于初始條件的選取，如果初始條件選擇不當(dāng)，很難獲得穩(wěn)態(tài)的周期解。同時(shí)當(dāng)系統(tǒng)存在多解時(shí)，這些方法通常只能求取穩(wěn)定解。近年來，有學(xué)者利用有限元法結(jié)合諧波平衡法求取系統(tǒng)的周期解[20]。其基本思想是先假定解由一系列諧波級(jí)數(shù)組成，代入有限元方程后取兩邊相同諧波級(jí)數(shù)的系數(shù)相等，從而得到關(guān)于各諧波系數(shù)的非線性代數(shù)方程組。這種處理方法的缺陷是當(dāng)假定解的諧波級(jí)數(shù)很高時(shí)，非線性代數(shù)方程維數(shù)很大，很難求解；而諧波級(jí)數(shù)很少時(shí)，解的精度又得不到保證。

近年來又有不少學(xué)者利用打靶法求解系統(tǒng)的周期響應(yīng)[21-22]。打靶法基本思想是把求解邊值問題轉(zhuǎn)化為求解初值問題。它既可以求系統(tǒng)的穩(wěn)定解也可以求其非穩(wěn)定解。同時(shí)利用打靶法時(shí)所產(chǎn)生的單值矩陣可以判斷解的穩(wěn)定性。因此打靶法成為研究非線性振動(dòng)的有效方法之一。

綜上所述，本文采用限元法建立軸系縱橫耦合動(dòng)力學(xué)模型，理論上考慮了所有的線性模態(tài)，因而不存在模態(tài)截?cái)嗾`差，既可以分析共振響應(yīng)，也可以分析非共振響應(yīng)。同時(shí)結(jié)合打靶法既可以求解穩(wěn)定周期解，也可以求非穩(wěn)定周期解。

本文在考慮縱向慣性作用下，采用有限元法建立軸系縱橫耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)其非線性剛度矩陣，結(jié)合打靶法研究軸系的橫向主共振響應(yīng)(所謂主共振是指外激勵(lì)頻率等于其固有頻率)，探討激勵(lì)載荷、阻尼比以及細(xì)長比對(duì)軸系縱橫耦合效應(yīng)的影響。

1　有限元?jiǎng)恿W(xué)模型

本文以具有多線性支承及集中質(zhì)量的船舶推進(jìn)軸系為分析對(duì)象，其余軸系結(jié)構(gòu)也可以類似處理。典型的船舶推進(jìn)軸系由螺旋槳、3個(gè)徑向軸承以及推力軸承組成，如圖 1所示。為了簡化分析，假設(shè)軸系具有均勻截面，螺旋槳簡化為集中質(zhì)量(考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響)，各軸承模型忽略交叉剛度與阻尼的影響，僅考慮徑向剛度的影響(軸承阻尼用模態(tài)阻尼等效)，簡化為線性彈簧單元。本文的目的是考察軸系發(fā)生縱橫耦合幾何非線性時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性，為了聚焦軸系在這種幾何非線性下所特有振動(dòng)特性，因此忽略了軸承的非線性以排除其他非線性源的干擾。同時(shí)這樣做也簡化了分析問題。

圖1　船舶推進(jìn)軸系簡圖Fig.1　Schematic of marine propulsion shafting

用空間梁單元模擬軸系的縱、橫向振動(dòng)； 使用2節(jié)點(diǎn)梁單元，單元長度L，每個(gè)節(jié)點(diǎn)5個(gè)自由度，即縱向位移u，垂直位移v和轉(zhuǎn)角θy，水平位移w和轉(zhuǎn)角θz。采用瑞利梁模型(考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量忽略剪切變形的影響)，并考慮Von Karman非線性位移-應(yīng)變關(guān)系[23]。則單元軸段的應(yīng)變勢(shì)能和動(dòng)能可以寫成

(1)

式中前兩項(xiàng)為線性應(yīng)變能，后兩項(xiàng)為彎縱耦合引起的非線性應(yīng)變能。其中，E為彈性模量；A為軸段截面積；Id為截面慣性矩。

(2)

縱向位移采用線性函數(shù)作為插值函數(shù)，橫向位移采用一階Hermite函數(shù)作為插值函數(shù)[24]。代入式(2)中，可以得到單元的質(zhì)量矩陣Me與陀螺矩陣Ge。

(3)

代入式(1)中，可以得到單元的剛度矩陣Ke。

(4)

把單元質(zhì)量矩陣、單元陀螺矩陣以及單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝后，并考慮集中質(zhì)量以及支撐彈簧的影響，同時(shí)加入阻尼的影響，得到軸系縱橫耦合振動(dòng)方程

(5)

2　打靶法

接下來用打靶法[25]求解式(5)的周期解。求微分方程的周期解，數(shù)學(xué)本質(zhì)是求解邊值問題。打靶法是求解邊值問題的常用數(shù)值方法?！按虬小笔且环N形象說法，把解的曲線看作是“子彈”的軌跡，從一端發(fā)射“子彈”，將另一端看作“靶子”，利用“靶子”的位置來調(diào)整一些“子彈”的發(fā)射參數(shù)(即初始條件)，從而獲得所需的軌跡[26]。劉恒等針對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中遇到的各種問題，利用打靶法并結(jié)合其他數(shù)值方法研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期解及穩(wěn)定性邊界和分叉形式[27-31]，取得了良好的效果。

引入變量X(t)={y(t),q(t)}T，將式(5)轉(zhuǎn)化為一階方程組

(6)

求系統(tǒng)的周期解，實(shí)質(zhì)就是尋求解，使之滿足

(7)

式中T為周期，取T=2π/Ω。

設(shè)X(0)=s，則打靶法的求解過程就是尋找合適的s，使得殘差為零。即

(8)

可以采用Newton迭代法來求解式(5)，將其在第i次近似值si附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，取其線性部分

(9)

上式可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(10)

式中J(si)為r(s)對(duì)s的Jacobian矩陣。其計(jì)算公式為

(11)

將式(6)兩邊對(duì)s求導(dǎo)數(shù)：

(12)

由式(12)可知，W即為該矩陣微分方程初值問題的解在t=T時(shí)的值。

聯(lián)立求解式(6)與式(12)，可以求出X(T)與W，從而可以按式(8)判斷殘差r(s)，若殘差接近零，則計(jì)算結(jié)束，否則按式(10)更新s，一直迭代下去。

周期解的穩(wěn)定性判別采用Floquet理論[25]，通過求解周期解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣W的特征值(又稱為Floquet乘子)來進(jìn)行。當(dāng)所有Floquet乘子均位于復(fù)平面單位圓內(nèi)時(shí)，則周期解穩(wěn)定。

為了得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，求解時(shí)，每次給定一個(gè)轉(zhuǎn)速，從而確定周期T，得到該轉(zhuǎn)速下的周期解后，再增加轉(zhuǎn)速，依次求得不同轉(zhuǎn)速下的周期解，從而得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。為了更突出共振頻率處系統(tǒng)的響應(yīng)特性，把求解的初始轉(zhuǎn)速與終止轉(zhuǎn)速設(shè)在共振頻率附近。

3　實(shí)例分析

以工程中的某一船舶推進(jìn)軸系為算例，軸系長度14.5 m，外徑220 mm，內(nèi)徑100 mm，軸系細(xì)長比s=0.0041，材料彈性模量210 GPa，密度7800 kg/m3。軸系各支承參數(shù)：后艉軸承徑向剛度2.5×108N/m；前艉軸承徑向剛度0.8×108N/m；中間軸承徑向剛度3×108N/m；推力軸承剛度3×108N/m。螺旋槳為7葉槳，其質(zhì)量為6t，直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為3000 kg·m2。

主共振響應(yīng)是指外激勵(lì)頻率等于其固有頻率的響應(yīng)[32]。相應(yīng)的還有超諧共振與亞諧共振。N次超諧共振是指N倍激勵(lì)頻率等于其固有頻率。1/N次亞諧共振是指1/N倍激勵(lì)頻率等于其固有頻率。由于本文是以船舶推進(jìn)軸系為算例，因此有工頻(旋轉(zhuǎn)速度)和葉頻(旋轉(zhuǎn)速度乘葉片數(shù))兩種激勵(lì)頻率。因?yàn)槁菪龢獮?葉槳，所以一倍葉頻為工頻的7倍。當(dāng)軸系一倍葉頻等于橫向第1階固有頻率時(shí)，此時(shí)若只把工頻作為外激勵(lì)頻率，則稱之為7次超諧共振[33]。若把工頻與一倍葉頻看成兩個(gè)外激勵(lì)頻率，則稱之為主共振。因此本文把工頻與葉頻看成是兩個(gè)外激勵(lì)頻率。對(duì)于一般軸系，由于只有工頻，則不存在這個(gè)問題，統(tǒng)一稱為主共振。

圖 2是用有限單元法(將軸系劃分成260節(jié)點(diǎn))求得線性下橫向第1階正反進(jìn)動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)速的變化趨勢(shì)。圖中7Ω線與正進(jìn)動(dòng)的交點(diǎn)即為橫向第1階固有頻率，為6.13 Hz。

圖2　第1階正反進(jìn)頻率隨轉(zhuǎn)速變化Fig.2　Change of the first forward and backward frequency vs rotation speed

為了簡化，計(jì)算時(shí)假設(shè)螺旋槳處的縱向激勵(lì)載荷為0，僅考慮螺旋槳處的橫向激勵(lì)載荷，其值分別取為1000與2000 N兩種工況。

將阻尼假設(shè)為剛度比例阻尼，即

(13)

式中K1為線性剛度矩陣；β為比例系數(shù)，按下式計(jì)算

(14)

式中ω1為橫向第1階線性固有頻率；ξ1為第1階振型阻尼比，本文取其值為0.005,0.01與0.02三種工況分別計(jì)算。將阻尼假設(shè)為剛度比例阻尼的優(yōu)點(diǎn)是可以有效消除高階振型對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響[34]。

為了更突出共振頻率附近軸系的頻響特性，只選取橫向第1階固有頻率附近幾個(gè)頻率點(diǎn)計(jì)算。由于響應(yīng)中存在多頻分量，對(duì)于每一頻率點(diǎn)，對(duì)周期響應(yīng)作FFT分析，只提取工頻幅值分析。

打靶法在求取不穩(wěn)定周期解時(shí)，對(duì)初值要求很高，因此有些研究者對(duì)打靶法進(jìn)行了改進(jìn)以擴(kuò)大其收斂域[35]。本文采用插值與試探方法來確定初值。以圖 3為例，將求解區(qū)域分成AB、BC、EF及ED幾個(gè)區(qū)間。求解時(shí)先從A點(diǎn)開始一直求解到C點(diǎn)，接著從F點(diǎn)開始，求解到E點(diǎn)，最后從E點(diǎn)開始求解到D點(diǎn)。由于AB段及F以右段和線性解差別不大，且有唯一解，因此這兩個(gè)區(qū)域的迭代初值很容易收斂，不難確定，因此可以試探進(jìn)行(也可以用線性解作為試探值)。求BC段時(shí)，由于BC段是AB段的近似直線延伸，可以選取AB段上兩個(gè)已求取的點(diǎn)(緊鄰待求點(diǎn))，以待求點(diǎn)的頻率為自變量，線性插值后求得待求點(diǎn)的幅值作為其迭代初始值；類似地，EF段也采用線性插值法；ED段由于拐角處曲率變化較大，且其形狀近似與EF段關(guān)于某一直線對(duì)稱，因此可采用拋物線插值。首先在EF段上選取兩個(gè)已求取的點(diǎn)，同時(shí)拋物線的頂點(diǎn)(對(duì)稱軸)近似取在拐角點(diǎn)處，從而求得待求點(diǎn)的幅值作為迭代初值。而在選取EF段上的已求取點(diǎn)時(shí)，為保證更好的收斂性，可以通過對(duì)曲線形狀的預(yù)估盡量選擇與待求點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)。盡管采用如此方法，計(jì)算表明求取ED段個(gè)別點(diǎn)時(shí)仍不收斂，這時(shí)可以更換EF段上的點(diǎn)或拋物線的對(duì)稱軸可以解決問題。當(dāng)ED段求取了兩個(gè)以上點(diǎn)時(shí)，也可以采用線性插值求其余的點(diǎn)。速度也做類似插值處理。

圖 3是載荷為2000 N,第1階振型阻尼比為0.01時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。從圖中可以得出：縱橫耦合效應(yīng)呈“硬彈簧”特性使共振時(shí)的頻率略大于線性固有頻率，同時(shí)在某些頻率點(diǎn)處響應(yīng)存在3個(gè)解(兩個(gè)穩(wěn)定解和一個(gè)不穩(wěn)定解)，從而使軸系升速與降速時(shí)響應(yīng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。

圖3　F=2000 N，ξ1=0.01時(shí)幅頻響應(yīng)曲線Fig.3　Frequency response curve when F=2000 N，ξ1=0.01

圖4是利用作者發(fā)表的文獻(xiàn)[33]中所采用的多尺度法與本文方法所得結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證本文方法的有效性。從圖中可以看出，多尺度法的結(jié)果與本文結(jié)果整體趨勢(shì)是一致的，都有跳躍現(xiàn)象。但是多尺度法的結(jié)果的幅值比本文方法略小?？赡茉蛴袃牲c(diǎn)，一是文獻(xiàn)中的多尺度法只求取一次近似解，忽略了高次近似解；二是多尺度法只考慮了一階模態(tài)振型函數(shù)，忽略了高階振型的影響。

圖4　本文方法與多尺度法結(jié)果對(duì)比Fig.4　The comparison between our method and multiple scale method

圖 5是載荷為1000 N,第1階振型阻尼比為0.01時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。圖 6是載荷為2000 N,第1階振型阻尼比為0.02時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。圖 7是載荷為1000 N,第1階振型阻尼比為0.02時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。圖 8是載荷為2000 N,第1階振型阻尼比為0.005時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。圖 9是載荷為1000 N,第1階振型阻尼比為0.005時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。通過這幾個(gè)圖的比較可以得出：載荷越大，阻尼比越小時(shí)，縱橫耦合效應(yīng)越強(qiáng)。同時(shí)可以得出：阻尼比對(duì)非線性的影響很大。從圖 7可以得出，當(dāng)阻尼比很大時(shí)，盡管系統(tǒng)的共振頻率仍略大于其線性固有頻率，但是此時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)不存在不穩(wěn)定解。因此增加軸系的阻尼可以有效抑制縱橫耦合效應(yīng)，同時(shí)使軸系變得更穩(wěn)定。

圖5　F=1000 N，ξ1=0.01時(shí)幅頻響應(yīng)曲線Fig.5　Frequency response curve when F=1000 N，ξ1=0.01

圖6　F=2000 N，ξ1=0.02時(shí)幅頻響應(yīng)曲線Fig.6　Frequency response curve when F=2000 N，ξ1=0.02

圖7　F=1000 N，ξ1=0.02時(shí)幅頻響應(yīng)曲線Fig.7　Frequency response curve when F=1000 N，ξ1=0.02

圖8　F=2000 N，ξ1=0.005時(shí)幅頻響應(yīng)曲線Fig.8　Frequency response curve when F=2000 N，ξ1=0.005

圖9　F=1000 N，ξ1=0.005時(shí)幅頻響應(yīng)曲線Fig.9　Frequency response curve when F=1000 N，ξ1=0.005

若把軸系的外徑變?yōu)?40 mm，內(nèi)徑變?yōu)?20 mm，其余參數(shù)不變。此時(shí)軸系細(xì)長比s=0.0046，橫向第1階固有頻率相應(yīng)變?yōu)?.11 Hz。對(duì)此軸系進(jìn)行同樣的計(jì)算。

圖 10是載荷為2000 N,第1階振型阻尼比為0.01時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。圖 11是載荷為1000 N,第1階振型阻尼比為0.01時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。圖 12是載荷為2000 N,第1階振型阻尼比為0.005時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。圖 13是載荷為1000 N,第1階振型阻尼比為0.005時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。分別與圖3,5,8和9比較可知，細(xì)長比越小時(shí)，軸系縱橫耦合效應(yīng)越強(qiáng)。

圖10　F=2000 N，ξ1=0.01時(shí)幅頻響應(yīng)曲線Fig.10　Frequency response curve when F=2000 N，ξ1=0.01

圖11　F=1000 N，ξ1=0.01時(shí)幅頻響應(yīng)曲線Fig.11　Frequency response curve when F=1000 N，ξ1=0.01

圖12　F=2000 N，ξ1=0.005時(shí)幅頻響應(yīng)曲線Fig.12　Frequency response curve when F=2000 N，ξ1=0.005

圖13　F=1000 N，ξ1=0.005時(shí)幅頻響應(yīng)曲線Fig.13　Frequency response curve when F=1000 N，ξ1=0.005

4　結(jié)　論

打靶法是求解非線性系統(tǒng)周期解的一種有效方法，本文利用打靶法結(jié)合有限元法求解了軸系縱橫耦合效應(yīng)下橫向主共振響應(yīng)，探討了激勵(lì)載荷、阻尼比以及細(xì)長比對(duì)軸系縱橫耦合效應(yīng)的影響。研究表明：

(1)軸系發(fā)生縱橫耦合效應(yīng)時(shí)，這種非線性呈“硬彈簧”效應(yīng)，使共振時(shí)的固有頻率大于其線性固有頻率。

(2)在某些頻率點(diǎn)處，幅頻響應(yīng)曲線存在多解，使響應(yīng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。

(3)激勵(lì)載荷越大，阻尼比越小，細(xì)長比越小時(shí)，軸系縱橫耦合效應(yīng)越強(qiáng)；

(4)增加阻尼比可以有效抑制這種幾何非線性效應(yīng)，并提高軸系的穩(wěn)定性。

這些結(jié)論對(duì)軸系的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。因此在實(shí)際的軸系設(shè)計(jì)中，對(duì)于大跨度細(xì)長軸系，為了更精確的預(yù)測(cè)其固有頻率，應(yīng)考慮縱橫耦合效應(yīng)所產(chǎn)生的影響。這種耦合效應(yīng)會(huì)適當(dāng)增加軸系固有頻率。而對(duì)于容易發(fā)生縱橫耦合效應(yīng)的細(xì)長軸系，適當(dāng)增加阻尼比可以有效抑制這種非線性效應(yīng)，提高軸系的穩(wěn)定性。

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Primary resonances of shafts with coupled longitudinal-transverse vibration by finite element and shooting methods

ZOUDong-lin1,2,LIULing1,2,RAOZhu-shi1,2,TANa1,2

(1.Insitute of Vibration, Shock and Noise, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China；2.State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

A coupled longitudinal-transverse nonlinear dynamic model of shafts is established by Hamilton's principle and finite element method with consideration of the Von Karman's nonlinear strain-displacement relationship. The nonlinear stiffness matrix is derived. Then the transverse primary resonances under excitation load are studied and the stabilities are analyzed by shooting method. The influence of the load, damping ration and slender ratio on the nonlinear effect is discussed . Results show that the lateral resonant frequency is larger than the linear natural frequency due to the nonlinear effects for hard springs. For some frequencies, there are multiple stable solutions in the amplitude-frequency curve and jump phenomena as well. The bigger the load, the smaller the damping ratio and the smaller the slender ratio is, the bigger the nonlinear effect is. The nonlinear effects could be suppressed and the stability could be improved by increasing the damping ratio. These analyses provide reference and guidance to the design of shafts.

nonlinear vibration； coupled longitudinal-transverse shafts; FEM; shooting method; primary resonance

2014-09-09；

2015-09-08

O322；TH113.1

A

1004-4523(2016)01-0087-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.012

鄒冬林(1987—),男,博士研究生。電話:18818214080; E-mail: zoudonglin.520@sjtu.edu.cn