線電荷與接地開縫平面導體所形成的電場

王福謙

（長治學院電子信息與物理系，山西長治046011）

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線電荷與接地開縫平面導體所形成的電場

王福謙

（長治學院電子信息與物理系，山西長治046011）

線電荷與接地開縫平面導體所形成的電場的研究，可通過復數(shù)坐標系Z上的施瓦茨—克利斯多菲變換及其反變換，將ζ平面上寬度為S的開縫平面導體，映射為Z平面上的無開縫平面導體，利用平面鏡像法計算線電荷與無開縫平面導體所形成的電場，再通過施瓦茨—克利斯多菲的反變換關系，得到線電荷與開縫平面導體所形成的電場，并根據(jù)該電場的復勢，利用軟件MATLAB繪制出其電場線和等勢線圖。由線電荷與開縫平面導體所形成電場的電場線與等勢線圖，可以部分地說明利用金屬網(wǎng)罩而無須空腔導體就能夠實現(xiàn)靜電屏蔽的原理。

線電荷；接地開縫導體平面；施瓦茨—克利斯多菲變換；復勢

關于線電荷與接地開縫平面所形成的電場，通常的解法是求解電場所在區(qū)域的泊松方程，但該問題中的靜電場邊界形狀比較復雜，邊界的一部分為帶有縫隙的導體板，其余邊界則位于無限遠處，用分離變量法和格林函數(shù)法求解電場的分布遇到了困難。為了簡化此邊值問題的求解，文章將首先通過施瓦茨—克利斯多菲變換，消去接地導體板上的開縫，實現(xiàn)從廣義四角形到上半平面間的變換，然后利用鏡像法求解場的分布。

1　變換與反變換函數(shù)

設有接地大金屬板帶有寬度為S直縫隙（如圖1所示），在導體板的上方，平行于開縫方向放置一電荷線密度為λ的帶電線，對于此平行平面場，取垂直于荷電線的任一截面為復平面ζ，并在此平面上建立直角坐標系，坐標原點為導體板開縫的中點，帶電線在該復平面上的位置為P（ξ0，η0）。

圖1　線電荷與接地開縫平面導體

圖2　由廣義四角形到上半平面的映射

表1　

下面利用施瓦茨—克利斯多菲變換公式，求出變換函數(shù)。對于此變換情形，施瓦茨—克利斯多菲變換公式的具體形式[1]、[2]為：

式中A、B均為積分常數(shù)（復數(shù)）。

按表1，對選取的xi，由式（1），有

式（3）、（4）為通過施瓦茨-克利斯多菲變換得到的變換與反變換函數(shù)。式（3）可實現(xiàn)Z平面的上半平面[見圖2（b）]到w平面上的廣義四角形內(nèi)域[如圖2（a）]的變換。在Z平面上以S/2為半徑作一半圓，則將上半平面化分為如圖3（a）所示的1、2、3、4四個區(qū)域，經(jīng)分析與計算，ζ平面上如圖3（b）所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個象限與Z平面四個區(qū)域的對應關系及反變換式，由圖3和式（5）給出。

圖3　Z平面上的四個區(qū)域和ζ平面上的四個象限

2　ζ平面上電場的復勢

對于線電荷在ζ平面上的位置P（ξ0，iη0），設P位于第一象限,則變換后線電荷在Z平面上的位置為：

據(jù)式（6），可由平面鏡像法得出Z平面上半空間的復電勢分布[3]為：

由變換式（4），得ζ平面上的復勢為：

由式（5）可知,對于ζ平面上的Ⅰ、Ⅲ象限，上式中的號取+號；對Ⅱ、Ⅳ象限上式中的±號取-。

對式（9），由ζ=ξ+iη，得：

上式對ζ平面上的Ⅰ、Ⅲ象限，式中的±或m號取其上號，而對Ⅱ、Ⅳ象限則取其下號。

式（10）為ζ平面上的靜電場復勢表達式。顯而易見，其實部為電勢函數(shù)u，利用電勢與場強的微分關系E=-▽u可得到線電荷與接地開縫平面所形成電場的場強的矢量表達式；而分別令復勢的實部和虛部分別為常數(shù)，則可方便地得出該電場的等勢線方程和電場線方程。

3　電場線與等勢線圖及其所反映的場的特征

圖4　線電荷與接地開縫導體板所形成電場的電力線和等勢面圖

圖4為利用數(shù)學軟件MATLAB由復勢函數(shù)式（9）繪制出的線電荷與開縫接地平面所形成電場的電場線和等勢線（面）的分布圖（綠色曲線代表電場線，彩色曲線代表等勢線，電勢單位為λ/2πε0，λ=10-8C/m，S=2 m，ξ0=2 m，η0=2 m）。

由圖4可以看出線電荷與開縫接地平面所形成電場的分布特征：電場線均垂直于導體平板表面，在這一點上并沒有受到板上縫隙的影響，與物理實際相符合；電場線的絕大部分終止于接地開縫導體板的上表面，只有少量的電場線穿過了縫隙并終止于導體板的下表面或無窮遠處，這反映出導體板下方的電場遠比上方弱，并且導體板上的縫隙寬度越小，板下方的電場越弱；在縫寬一定的情況下，距縫隙下方越遠的地方，場強越小，超過一定的距離，便可認為場強為零。由此可以解釋利用金屬網(wǎng)罩而無需使用空腔導體即可獲得很好的屏蔽效果的原因。

［1］吳萬春.電磁場理論[M］.北京：電子工業(yè)出版社，1985.

［2］梁昆淼.數(shù)學物理方法［M］.北京：高等教育出版社，1998.

［3］沈熙寧.電磁場與電磁波［M］.北京：科學出版社，2006.

（責任編輯郝瑞宇）

Wang Fu-qian
（Department of Physics Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

O44

A

1673-2014（2016）02-0001-04

山西省自然科學基金（2012011028-1）。

2015—12—09

王福謙（1957—），男，山西臨猗人，教授，主要從事電磁場理論及場結構數(shù)值模擬研究。