從數學角度討論微功微熱的意義

張拴柱

（長治學院電子信息與物理系，山西長治046011）

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從數學角度討論微功微熱的意義

張拴柱

（長治學院電子信息與物理系，山西長治046011）

從數學角度出發，根據功的定義討論微功、微熱的意義，有助于深刻理解微功、微熱的確切含意。

功、全微分、積分與路徑無關、微功、微熱

在數學上（2）式的曲線積分被稱為對坐標的曲線積分。而把

稱為力F→產生元位移dr→所作的元功。由于功是過程量，因此dW看作是無限小微小過程量，但它與多元函數微積分中的全微分表達式是有區別的，因此在物理上多用dW表示，即（3）式改寫為下式：

定理設G是空間開區域，且是單連通域，函數A1（x,y,z）、A2（x,y,z）、A3（x,y,z）具有一階連續偏導數，則以下條件是等價的（即互為充要條件）

（2）積分與路徑無關。若Γ1和 Γ2是兩條有共同的起點和終點的曲線，則有：

（3）A1dx+A2dy+A3dz表達式是某個函數U（x，y，z）的全微分，即：

有上面的定理可知，在物理中元功雖然寫作（3）式，但并不一定就是全微分表達式，只有當表達式滿足上面的條件，才能說元功表達式是某一個函數的全微分。在物理中該位置函數稱為勢函數U（或叫勢能）即：

當元功可以表達為一個勢函數的全微分時，則由上面定理可知，也就是力所作功是與路徑無關。物理上則把作用于質點上的力稱為保守力。因此力學中常說的保守力作功與路徑無關就是定理中第（2）條所表述的。

在力學中保守力作功與路徑無關，只與起點、終點位置有關，數學意義即這種力所作的功表示成曲線積分一定滿足上面定理中的條件。正因為如此，在力學中，保守力作的功可以用一個狀態函數即勢能的改變量來表示，這樣可以避免由于過程的復雜而帶來計算功的困難。

在力學中最常見的自然界幾種力，如：

重力

彈性力

顯然符合條件（4），因此作功與路徑無關，只與起點、終點位置有關。

對于萬有引力和靜電場中的庫侖力，由于它們的大小都是與距離的平方成反比，則可寫成：

如圖所示，把一個質點(或一個點電荷)放在原點處，因另一質點(或點電荷)在空間任一點P（x，y，z）處，則有

由于：

所以

同理可證：

所以萬有引力、庫侖力作功與路徑無關，只與起始、終了點位置有關。

在熱學中，經常要討論系統與外界之間作功、傳遞熱量等問題，而功、熱量、內能關系由熱力學第一定律描述，即：

由于熱量是過程量，因此微小過程中系統與外界交換微熱用dQ表示，熱學中我們常說微功、微熱不是全微分，因此用dW、dQ表之，那么，它的確切含義指的是什么呢？

在熱學中，我們知道當熱力學系統處于平衡態時，系統的各種宏觀量都具有確定值，而各宏觀量之間存在一定的內在聯系，即存在一定的函數關系，這些宏觀量不可能全部都是獨立變量。根據問題的性質和考慮問題的方便，選擇其中幾個宏觀量作為自變量，這些變量足以確定系統的熱力學性質，則稱這些變量為狀態參量，其他宏觀量即可表達為狀態參量的函數，即狀態函數。熱學中所說微功、微熱不是全微分，正是以選取一組能夠確定體系狀態的熱力學性質作為狀態參量為前提條件的。

下面從數學角度來證明與微功、微熱不是全微分。假如我們討論的是一個簡單的物質系統(T,V,p)由于處于平衡態時應滿足物態方程，即：

所以只有兩個是獨立變化的量，若選擇（T，p）為獨立自變量。則V=V（T，p）所以功

如果dW是全微分，則由定理可知，應有：

即

因為

故得：

同樣可以對微熱展開討論。

若選擇（T，V）為獨立自變量，則p=p（T，V），狀態函數內能U=U（T，V），由熱力學第一定律可知：

如果dQ是全微分，則由上面定理可知，應有

因為

故得

下面可以驗證上面的結論。前面已知

則

因為

由物質內能與物態方程關系式

則可得

由此可得

則dS確實是全微分。

由此看出，雖然dQ不是態函數，但在可逆變化過程中的dQ被溫度T相除就是態函數熵的全微分，在數學上把具有這類性質的因子稱為積分因子。

如果我們從數學角度看熱力學中的微功、微熱不是全微分是顯而易見的，道理很簡單。

所以

成立，但如果dz乘以它的任何一個自變量x或y即xdz或ydz它們一定不是某一個函數的全微分，即構造出的xdz或ydz不滿足全微分的條件。如

因此上面討論的微功dW=-pdV中V=V（T，p）是狀態函數，存在全微分dV，所以pdV一定不是全微分了。同理，微熱為dW=TdS，而狀態函數S存在全微分dS，所以TdS一定不是全微分了。

在熱力學中對于簡單的（T，V，p）系統，功是用狀態量來表示的，即dW=-pdV，當選擇（T，p）或（T，V）為獨立變量，微功一定不是全微分。

［1］趙凱華，羅蔚茵.新概念物理學教程（熱學）［M］.高等教育出版社，1998.

［2］秦允豪.普通物理學教程.熱學［M］.第三版.高等教育出版社，2013.

［3］李椿，章立源，錢尚武.熱學［M］.第二版.高等教育出版社，2008.

（責任編輯郝瑞宇）

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1673-2014（2016）02-0021-03

2016—01—05

張拴柱（1960—），男，山西晉城人，副教授，主要從事物理教學與研究。