美式期權定價優化模型及隱含波動率計算

張艷萍

（山西工程職業技術學院基礎部，山西太原030009）

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美式期權定價優化模型及隱含波動率計算

張艷萍

（山西工程職業技術學院基礎部，山西太原030009）

在無套利假設下，自由邊界的Black-Scholes方程可以等價地轉化為一個含有微分算子的互補問題，利用傳統差分方法離散微分算子并且將波動率視為變量，原問題變為非線性互補問題；進而轉化為優化問題，并且加入新的歷史價格約束，給出可求解美式期權價格并可計算隱含波動率的優化模型。數值實驗表明其有效性。

美式期權定價;Black-Scholes模型;非線性互補模型;歷史數據;隱含波動率

期權是一種能讓持有者在未來某個時間以提前敲定的價格買入或賣出一定數量的某種金融資產的合約[1]。在未來以一定價格買入某資產的期權稱為看漲期權，賣出某資產的期權稱為看跌期權。常見的期權包括歐式期權與美式期權，歐式期權是指只能在到期日當天行權的期權，美式期權是指可以在到期日之前的任何日期行權的期權。投資者買賣期權通常有兩類動機：一類為對市場價格進行投機以賺取高利潤或利用價格變化進行套利；另一類為對沖投資者所持有的股票頭寸的風險。因此期權本身具有價值，持有者為了獲得期權必須付出一定費用。期權定價則是對期權的價值進行合理的度量。

由Black和Scholes在1973年創立的Black-Scholes （B-S）期權定價理論及模型[2]，已經成為現代期權定價理論的基石。歐式期權的價格能夠由B-S模型直接導出解析解；美式期權由于行權日期不固定，定價比歐式期權更為復雜，一般使用數值方法，主要包括二叉樹法、蒙特卡羅法、有限差分法等。二叉樹法的基本原理為使用二叉樹模擬標的資產價格變化路徑，然后倒推計算美式期權價格[3]。有限差分法的基本思想為將期權價格滿足的偏微分方程近似為差分方程，然后將期權定價問題轉化為一個線性互補問題求解[4,5]。蒙特卡洛方法則是使用模擬的思想，隨機產生多個標的資產價格的可能路徑，利用這些模擬結果從統計角度出發計算期權收益的估計均值，然后使用無風險利率對這個均值計算貼現，從而得到期權價格的估計[6]。

在B-S定價模型中，期權價格依賴于標的資產的價格、敲定價格、期權有效期，無風險利率和資產價格的波動率，并假定這些量是常量。敲定價格以及期權有效期是由合約規定的確定值，無風險利率可以用公債利率來估算。然而標的資產的波動率會因不同的時間段有所起伏，并且市場中不同的投資者對波動率有各自的判斷，因此無法直接確定波動率。另外，在實際的期權交易中，歷史價格是過去人們對期權價格的認識和判定，其包含的信息和市場認知仍然會影響期權未來的價格，因此不參考歷史數據，直接使用隨機模型計算得到的期權價格，在較長時間跨度下會與實際觀察到的市場價格有較大偏差[7]。文章考慮在波動率為變量的情況下，將與美式期權定價模型等價的互補模型轉化為非線性互補模型再轉化為優化模型，然后加入歷史數據約束條件，使模型可以在計算期權價格的同時計算隱含波動率。

1　美式期權定價的互補模型

我們遵循B-S模型建立時需成立的假定條件。設標的資產在時刻t的價格是S，期權價格記為V（S，t），則可得V（S，t）應滿足偏微分方程：

此方程稱為Black-Scholes方程[2]。

接下來給出美式期權定價的互補模型[3,8]。由于美式期權可以在截止日之前任意時刻行權，我們在計算期權價格的同時，還要考察每個時刻標的資產的價格來決定是否行權，因此這是一個自由邊界問題。這類問題中自由邊界很難處理，需要轉化為不依賴于邊界的形式來求解。一種常用的求解方法為轉變為互補模型進行計算。

在實際交易中，美式期權的持有者一般無法把握最佳行權時機，所以購買期權的獲利可能會低于將購買期權的資金存入銀行的獲利。又由于Black-Scholes模型建立時的無套利假設，投資者無法通過借款買入資產獲得可保證的無風險收益。從這兩點出發Black-Scholes方程可以變為以下不等式：

設美式期權在時刻t的收益Λ(S, t)為期權買方立即執行期權的情況下所能得到的收益。看漲期權的獲益函數為Λ(S, t)=max(S( t)?E,0)，看跌期權的獲益函數為Λ(S, t)=max(E?S( t),0)，其中E是敲定價。在無套利假設下美式期權價格應高于其收益否則交易者會立即購買美式期權并且選擇行權從而獲得無風險的收益。因此期權價格應滿足：

期權的買方持有美式期權時可以選擇行權或者不行權。如果行權，根據價格原理此時期權價格應等于期權收益；如果不行權，美式期權則等同于歐式期權進而有方程（1.1）成立。由此可得帶微分算子的互補問題：

聯合式（1.2），（1.3），（1.4），可以得到美式期權價格滿足以下互補條件：

將時間與資產的價格離散化，同時將波動率σ看做為變量，此時問題（1.5）可轉化為一個有限維非線性互補問題。假設時間從0時刻開始T為期權合約的到期日，我們將整個區間[0，T]等分成L個子區間，為了計算簡便區間長度相同各端點記為：

根據實際情況，我們可假定標的資產價格在一個合理范圍內變化，我們也將價格區間[Smin，Smas]劃分為N個等長的子區間，記作：

為了表達方便，n可以從1開始。

離散化期權價格以及收益為：

進一步在步長為δt和δS的均勻網格上使用差分法逼近偏微分方程互補問題（1.5）。利用如下向前差分逼近對時間的一階偏導數：

利用θ1權中心差分逼近對S的一階偏導數：

同時利用θ2權中心差分逼近對S的二階偏導數：

其中，θ1，θ2∈[0，1]是給定參數。

由式（1.9），（1.10），（1.11），問題（1.5）可以轉化為如下的有限維互補問題：

其中符號⊥表示兩個向量直交。Vl和 Λl是N維向量，定義如下：

M是N階方陣

它的元素由以下公式給出：

M同樣為N階方陣，和M的定義相同，各元素為：

進一步，式（1.12）可變形為如下的互補問題：

期權在到期日之后將會失效，因此期權持有者需要在到期日當天選擇是否行權。也就是說，到期日當天美式期權的價格就等于其收益，即VL=AL。而VL是已知的，因此根據互補問題的遞推形式，當l分別取值為l=L-1,L-2,L1,0時，利用在時間方向上的倒推求解互補問題（1.12）和（1.13）。

2　美式期權定價的優化模型

為了求解互補問題（1.13），我們考慮一種常用的NCP函數[8]：Fischer-Burmeister函數φ：R2→R

其中v是一個正參數。我們可證明

進而可得互補問題（1.13）等價于方程組

根據殘量極小化方法及新定義的函數，期權定價問題可以轉化為下面的優化問題：

在實際市場中，從期權發行日到截止日都可以進行期權交易，當期權交易發生后就有歷史價格，歷史價格是人們過去對期權價值的判斷，會直接影響到當前期權的價格，如果僅滿足B-S模型的假設條件，解決優化問題得到的結果和實際市場價格可能有較大的偏差。因此我們可以考慮加入期權的歷史價格作為優化問題（2.1）的約束條件。

設期權到期日為T，開始記錄歷史價格的日期為0時刻，歷史記錄結束的時刻為T1時刻。由歷史記錄我們可知，從0到T1的前一時刻期權和標的資產的市場價格。由于我們已將時間和資產價格離散化，不妨設T1=tl1=l1δt。當0≤l≤l1-1時，我們設tl時刻期權對應的標的資產的價格為Rl其為已知的。而對于每個Rl（0≤l≤l1-1）其不一定恰好位于某個價格區間的節點Sn上，假設Rl恰好位于第nl個區間，也就是：

此時期權的價格無法用離散后的價格直接標示。先考慮看漲期權，已知tl時刻標的資產的價格為Rl，設此時看漲期權的價格為V（Rl，tl），由期權價格的單調性可知tl時刻離散后各節點處的看漲期權價格V（Snl，tl），V（Snl+1，tl）應滿足價格約束：

相應地，tl時刻看跌期權價格應滿足：

在交易市場中，價格受到多種因素影響，真實的市場價格往往和B-S模型推導出的理論價格有較大的偏差，有時由于投資者信心或某一宏觀因素其價格會發生嚴重偏離。當實際價格超出理論上的合理區間，太過嚴格的歷史價格約束可能使得優化問題規模過大或無可行點，因此我們需要事先排除一些不合理的歷史數據，并且適當地放松不等式約束。

在上述不等式約束中加入松弛變量允許價格有一定的偏離，條件（2.3）修正為：

由上述分析，看漲期權定價的優化模型修正為：

看跌期權形式與看漲期權相類似。

3　數值試驗

對于互補問題，其本身需依分量滿足非負條件

同時由互補條件

可知其每個對應分量的乘積都為零，即：

因此為增強數值穩定性我們采用有效集方法計算問題（2.6），須注意的是在這里我們假設波動率σ為變量，可以通過優化模型計算得出，稱之為隱含波動率。

選擇香港交易所2013年4月29日到期的中國移動敲定價E=75的看漲期權為研究對象，股票及期權價格均按港元計算。根據香港公債發行情況可設年利率r=0.00242，選取θ1=1/2，θ2=1/2，λ=10。由獲取的股票價格信息，設Smin=78，Smax=88，N=10取一年，離散模型時間間隔取為5天，即δt=5/365。假設當前時間為期權到期日之前的第46天，已知當前時間之前一天直到到期日之前第60天的期權價格和標的資產價格，求解到期日前第5天到第45天的期權價格以及隱含波動率；在股票價格位于離散區間內時，利用計算得到的節點價格線性近似對應的期權價格。篇幅所限，僅列出期權從到期日前60天到到期日前40天10個節點的價格，由模型我們假設前3個節點為已知歷史價格，利用標準互補模型和本文改進的優化模型預測后幾個節點的價格，并與實際采集到的數據相比較。所有模型的計算均使用OptiToolbox軟件包。

由改進的優化模型計算得到的隱含波動率為σ=0.0382，由近期股價統計數據估計的波動率為σ=0.16492。

表1　E=75看漲期權價格計算結果比較Tab.1 Comparison for E=75 call option

實驗數據表明，和標準互補模型比較，優化模型計算得到的解更符合市場真實的價格變化。由于實際歷史價格會對人們產生錨定影響，從而影響后續的期權價格，當市場受到宏觀因素影響產生較大幅度偏離和波動時，期權價格會長時間偏離傳統模型給出的理論價格。而由非線性互補模型轉化而來的優化模型由于考慮了歷史價格的影響和可變的隱含波動率，對期權的預測更加合理，能更好地反映出歷史價格和宏觀因素對期權價格的影響；同時由于引入了松弛形式，保證了原問題的可行性，使優化模型對各種實際問題和數據有更好的適應性和靈活性，也使得優化模型求得的解與真實價格更為相近；由優化模型計算出的隱含波動率明顯區別于由股票價格統計數據估計的波動率，說明了模型假設的合理性。

4　結論

美式期權定價問題的實質是動邊界問題，互補模型是求解這類問題的一種較為有效的數值方法。文章考慮在實際市場中期權的歷史價格會對其當前價格產生影響，因此在將波動率不確定的互補模型轉化為優化模型的基礎上，加入了歷史數據對期權定價的約束條件，并對其進行優化求解。數值試驗表明了模型得到的期權價格與市場數據更貼近，更能反映市場動態。

［1］Hull J C.張陶偉譯.期權、期貨和其它衍生產品[M].北京:華夏出版社,2000.

［2］Black,F.,Sholes,M.The pricing of options andcorporate liabilities［J］.Journal of Political Economy, 1973,81（3）:637-654.

［3］田文昭.金融資產的定價理論與數值計算:附C++程序[M].北京:北京大學出版社,2010.

［4］Huang,J.,Pang,J.S.Option pricing and linear complementarity[J].The Journal of Computational Finance,1998,2(3):31-60.

［5］KenjiHamatani,MasaoFukushima.Pricing AmericanOptionswithUncertainVolatility through Stochastic Linear Complementarity［J］. ComputationalOptimizationandApplications, 2011,50(2):263-286.

［6］Telly,J.A.Valuing American options in path simulation model［J］.Mathematics and economics, 1995,16(2):166-169.

［7］張艷萍.帶歷史價格約束的美式期權定價線性互補模型［D］.大連：大連理工大學，2013.

［8］韓繼業,修乃華,戚厚鐸.非線性互補理論與算法［M］.上海:上海科寧技術出版公司,2006.

（責任編輯趙巨濤）

Zhang Yan-ping
（Shanxi Engineering Vocational College,Taiyuan Shanxi 030009）

O24

A

1673-2014（2016）02-0056-05

2015—12—23

張艷萍（1989—），女，山西忻州人，助教，主要從事計算數學研究。