基于多輸入多輸出雷達發射方向圖綜合的波形設計

黃中瑞，周青松，張劍云

（電子工程學院，安徽合肥230037）

基于多輸入多輸出雷達發射方向圖綜合的波形設計

黃中瑞，周青松，張劍云

（電子工程學院，安徽合肥230037）

針對多輸入多輸出（MIMO）雷達發射方向圖匹配時陣元功率不均勻和發射波形存在較高峰均比等缺點，提出了一種新的MIMO雷達發射方向圖綜合方法。構造一組基矩陣，將協方差矩陣的求解等效為基矩陣系數的尋優問題，在簡化尋優模型的基礎上進一步將其轉化為一個凸優化問題，以便采用原對偶內點算法進行有效求解；在基矩陣中引入單位矩陣，以保證發射陣元滿足等功率輻射要求，同時將尺度因子作為變量進行聯合尋優，克服優化方向圖對期望波束模值的依賴，解決二者增益不匹配引起優化誤差變大的問題；在得到發射波形的協方差矩陣后，利用矩陣分解和交替迭代法設計發射波形，每次迭代過程中利用凸優化理論對發射波形的模值上界進行嚴格約束，有效減小發射波形的峰均比。仿真實驗表明，合成的發射方向圖在有效地逼近期望波束的同時大大降低了發射波形的峰均比。

雷達工程；多輸入多輸出雷達；發射方向圖綜合；波形設計；峰均比；模值約束；凸優化

0 引言

多輸入多輸出（MIMO）雷達是近年來提出的一種新體制雷達［1］。MIMO雷達的每個陣元可以獨立發射波形，因而具有更高的自由度［2-3］，同等陣元配置條件下與相控陣雷達相比，可以辨識更多的目標［4］。陣元獨立發射波形是MIMO雷達區別于傳統雷達的一個本質特征，也是MIMO雷達優越性能得以發揮的一個重要前提，因而根據具體應用環境合理的設計發射波形便具有重要的研究意義。MIMO雷達發射波形設計主要分為兩個方面：1）正交波形設計，也就是通過對發射信號的相位或者頻率編碼進行優化，使得發射信號的非周期自相關和互相關峰值旁瓣電平最小，以便對接收信號進行匹配濾波；2）部分相關波形設計，通過對發射信號進行優化，使其發射功率在空間指定（期望）的空域進行有效聚焦，在旁瓣空域的功率最小，可以有效避免傳統MIMO雷達發射功率過于分散的缺點，本文主要針對后者進行研究?；贛IMO雷達發射方向圖匹配（綜合）的發射波形設計一般分為兩步：1）建立發射方向圖匹配的數學優化模型，對發射波形的協方差矩陣進行求解；2）根據已求得的協方差矩陣反推出實際發射波形。

文獻［5］研究表明MIMO雷達發射方向圖與其發射波形的協方差矩陣具有密切關系：當協方差矩陣為全1矩陣時，MIMO雷達退化為傳統的相控陣雷達，各個陣元發射同一信號在空間形成高增益的單峰筆形波束；當協方差矩陣為單位矩陣時，MIMO雷達退化為傳統MIMO雷達，各個陣元發射相互獨立的正交波形在空間形成等增益全向方向圖。對發射波形協方差矩陣進行合理的設計，可以使發射方向圖介于上述兩種極端情況之間，在期望空域內進行有效聚焦，這對已知目標分布空域的檢測和參數估計是十分有利的。

文獻［6］基于原對偶內點算法，分別利用最大最小準則和均方誤差準則對MIMO雷達發射方向圖進行了優化。仿真結果表明，優化方向圖的主瓣較好地逼近了期望方向圖，但是優化模型具有高度非凸、非線性的不等式約束，因而整個模型的計算復雜度較高。文獻［7］將協方差矩陣的Cho1esky因子作為優化變量，可將方向圖匹配的協方差矩陣優化轉化為一個無約束問題，在一定程度上減小了優化模型的計算復雜度。為了解決文獻［6-7］利用迭代算法無法求得協方差矩陣全局最優解的不足，文獻［8］基于凸優化理論將其轉化為一個半正定規劃（SDP）問題，可以采用Mat1ab中的CVX工具箱進行有效求解，并且由凸優化理論可知所求解一定為全局最優解。但此方法不僅無法解決期望波束與優化波束不匹配引起發射方向圖產生畸變的缺點，而且無法滿足陣元的等功率輻射要求。

文獻［6-8］主要闡述了基于發射方向圖匹配的協方差矩陣優化，但如何從已知的協方差矩陣中獲得實際的發射波形，仍是一個亟待解決的問題。對協方差矩陣進行特征值分解或者是Cho1esky分解，可以得到MIMO雷達的發射波形，但是對協方差矩陣進行矩陣分解得到的發射波形存在兩點不足［9］：1）發射波形協方差矩陣是一個方陣，維數等于發射陣元的個數，對其進行矩陣分解只能得到相應維數的向量，這就說明一個脈沖內的碼元長度是定值，這在實際應用中是嚴重受限的；2）對協方差矩陣進行分解得到的發射波形一般不能滿足恒模特性，這種波形的峰均比（PAPR）較高，在實際雷達系統中難以實現。

為了解決上述問題，一些學者提出了基于循環算法的MIMO雷達發射波形設計方法。文獻［10］構建了協方差矩陣匹配的發射波形優化模型，并利用循環算法對旋轉矩陣和發射波形進行交替優化，得到了恒模發射波形。但文獻［10］每次迭代過程中只利用了最優波形的相位信息，在優化波形初始幅度動態較大時，會造成優化方向圖的畸變。

鑒于此，本文提出了一種新的MIMO雷達發射方向圖綜合的波形設計方法，主要分為兩步對此問題進行解決。第1步：1）建立方向圖匹配的發射波形協方差矩陣優化模型，通過構造基矩陣可以將協方差矩陣的優化轉換為基矩陣系數的求解，能有效減小優化變量的維數從而降低計算復雜度；2）為避免期望波束值設置不合理造成MIMO雷達發射方向圖性能下降的不足，引入尺度因子作為聯合優化變量，既能擺脫實際方向圖對期望波束具體值的依賴，又能減小設置期望波束的計算量；3）為了能夠對方向圖主瓣和旁瓣進行分別控制，基于優化理論構建主瓣波束逼近誤差一定時最小化峰值旁瓣電平的優化模型，上述問題是一個SDP問題可以采用凸優化理論中的原對偶內點算法進行有效求解。第2步：在得到協方差矩陣之后，采用交替迭代算法對陣元的實際發射波形進行設計。考慮到文獻［10］循環算法設計恒模發射波形造成方向圖畸變的缺點，所提算法在迭代過程中嚴格約束發射波形的模值上界，并且給出了其隨迭代步數的線性變化函數，以促使發射波形的模值逐漸向恒模逼近而不造成方向圖有太大的畸變。

1 信號模型

考慮一雙基地MIMO雷達，其發射陣列和接收陣列均為均勻線陣，陣元數分別為M和N，陣元間距分別為半波長，假設目標位于陣列的遠場，且相對收發陣列的視角分別為 θ和φ，陣列配置如圖1所示。

圖1　雙基地MIMO雷達示意圖Fig.1 Schematic diagram of bistatic MIMO radar

令S（l）=［s1（l） s2（l） … sM（l）］T表示M個陣元第l個時刻的發射序列，si= ［si（1） si（2） … si（L）］T表示第i個發射陣元的信號序列，則基帶發射信號矩陣為S= ［s1s2… sM］T，其中 i=1，…，M，l=1，…，L，L表示碼長。假設發射信號為窄帶信號，而且傳播過程中無色散，則相對于發射陣列空間角度為φ處目標接收到的信號為

式中：a（φ）=［1 exp（jπsin φ） … exp（jπ（M-1）sin φ）］T為發射陣元的導向矢量；（˙）T和（˙）H表示矩陣（或者向量）的轉置和共軛轉置。

根據（1）式可以得到發射信號在空間的功率分布為

式中：R=E｛S（n）SH（n）｝為發射信號的協方差矩陣。

由（2）式可知，MIMO雷達發射功率在空間的分布由發射信號的協方差矩陣決定，合理地設計協方差矩陣能使發射方向圖在目標的分布空域內進行有效聚焦，在旁瓣空域內的發射功率最小。

2 發射方向圖綜合

假設根據先驗信息，已知目標的分布空域（以下簡稱為期望空域）為ΘZ，根據優化準則——期望空域內方向圖逼近誤差一定的前提下，最小化方向圖的峰值旁瓣電平。可以得到方向圖匹配下協方差矩陣的優化模型為

式中：NT表示總發射能量；α為尺度因子，其作用是消除優化方向圖和期望方向圖增益的不匹配，利用尺度因子可以減小文獻［8］中設置期望方向圖具體模值的計算量；ΘS表示方向圖的旁瓣區；Z和S分別表示期望空域和旁瓣空域的離散化點數；tr｛R｝= NT表明陣元的發射總能量一定；R≥0表明協方差矩陣是一個復對稱的半正定陣。（3）式是一個SDP問題，可以采用 CVX工具箱進行有效求解。由（3）式的表達式可知，其優化變量的個數為M2+1，為了進一步減小優化變量和約束條件的個數，從而降低算法的復雜度，本文引入一組基矩陣：

1，k=l+1，…，M，其中IM為M維單位矩陣，Δl，k，1表示M維方陣的第（l，k）和（k，l）個元素為1，其余約束為0，Δl，k，2表示M維方陣的第（l，k）個元素為j和第（k，l）個元素為-j，其余約束為0.則協方差矩陣可以表示為

（5）式是一個凸優化問題，可以采用原對偶內點算法進行快速求解，對比（4）式和（5）式可知，通過引入基矩陣能夠有效降低優化模型計算復雜度，其中優化變量的個數從M2+1降為M2-M+2，減少了M-1個。

3 發射波形設計

根據（6）式在得到協方差矩陣后，直接對其進行特征值分解即可得到發射波形，但是采用這種方法得到的發射波形存在兩點不足：1）發射信號的碼長固定為發射陣元個數；2）發射信號的模值動態較大，制約了實際系統發射功率的提高。為解決上述問題，文獻［10］提出了一種循環算法對已知協方差矩陣時的波形進行了優化，模型為

式中：R1/2為協方差矩陣的Hermite均方根；U為半正交矩陣，維數為M×L.

文獻［10］的基本思想：1）給定一個高斯隨機矩陣U；2）然后在已知U的前提下求解恒模發射波形矩陣S；3）在已知矩陣S的前提下更新矩陣U，重復上述兩步操作，直到兩次迭代過程中U矩陣的變化值小于預定的誤差門限時結束。雖然此方法解決了任意編碼長度的恒模發射波形設計問題，但是每次迭代過程中是直接求得恒模波形矩陣，顯然會嚴重縮小原始可行域，造成MIMO雷達發射方向圖的畸變過大。

為了避免上述不足，本文提出了一種迭代過程中約束發射波形模值上界的優化方法。這樣既能使得發射波形的PAPR隨著迭代步的增加逐漸減小向著恒模方向變化，又能利用上步迭代過程中波形矩陣的最優解信息，依迭代步數逐漸減小優化可行域，從而可有效避免MIMO雷達發射方向圖產生嚴重畸變。

假設第k次迭代時的半正交矩陣為Uk，初始波形矩陣為Sk，則

式中：μ為縮小因子；sk為第k次迭代得到波形矩陣Sk所有元素的最大模值。（9）式是一個二階錐規劃問題，可利用CVX工具箱進行有效求解，在得到后，可以利用文獻［10］的方法求得與其最佳匹配的半正交矩陣Uk+1，即

步驟1 初始化迭代步數k=0，并令半正交矩陣U0為M×L的Hadamard矩陣。

步驟2 執行以下循環體：

1）利用（8）式求得步數為k時的波形矩陣初始值Sk；

2）將Sk帶入（9）式中，求得約束波形模值上界的修正（最終）波形矩陣

終止條件可以選擇誤差準則，也可以選擇規定最大迭代步數，其中誤差準則可以選為兩步之間的半正交矩陣的誤差小于規定的門限，也可以選為兩步之間優化所得的協方差矩陣的范數誤差小于規定的門限，為了方便期間本文以規定最大步數作為終止條件。

上述方法只能得到低PAPR的發射波形，為了減小硬件上對射頻放大器的要求，同時獲得最大的放大效率，發射波形應該具有恒模特性?？紤]到優化所得發射波形的PAPR較低，可以直接取其相位來得到恒模發射波形而不會造成發射方向圖產生嚴重的畸變，即

式中：angle（˙）表示取相位操作。

4 仿真實驗

4.1發射方向圖綜合性能

4.1.1實驗1方向圖綜合的有效性驗證

假設MIMO雷達的發射陣列和接收陣列均采用線性配置，陣元間距均為半波長，發射陣元數目M= 10，期望歸一化方向圖在感興趣內的增益為1，旁瓣區域為0，分別對以下3種模式下的發射方向圖進行匹配：1）單峰模式：空間感興趣的空域為ΘZ= ［-20°，20°］，離散化點數為40，旁瓣空域為ΘS= ［-90°，-30°］∪［30°，90°］，離散化點數為120，感興趣空域內方向圖誤差的容忍度為0.03；2）多個對稱峰模式：空間感興趣的空域為 ΘZ=［-40°，-20°］∪［20°，40°］，離散化點數為40，旁瓣空域為ΘS=［-90°，-50°］∪［-10°，-10°］∪［50°，90°］，離散化點數為120，感興趣空域內方向圖誤差的容忍度為0.03；3）多個不對稱峰模式：空間感興趣的空域為ΘZ=［-20°，0°］∪［30°，50°］，離散化點數為40，旁瓣空域為 ΘS=［-90°，-30°］∪［10°，20°］∪［60°，90°］，離散化點數為120，感興趣空域內方向圖誤差的容忍度為0.03.基于本文算法得到的MIMO雷達發射方向圖如圖2～圖4所示。為便于比較，仿真中均采用總發射功率為1.

圖2　單峰發射方向圖Fig.2 Sing1e peak transmitting pattern

圖2～圖4給出了3種模式下的MIMO雷達發射方向圖，其中實線代表本文方法優化得到的方向圖，虛線代表期望方向圖，點劃線代表傳統MIMO雷達的方向圖。從圖2～圖4中可知，本文所提方法對3種模式下的MIMO雷達發射方向圖均能進行較好地匹配。并且優化模型不會隨著主瓣個數和對稱性的變化而改變，主要原因是本文基于凸優化理論給出了MIMO雷達方向圖匹配下協方差矩陣優化的統一數學模型，將其納入到一個標準的框架內，因而對多個寬波束的方向圖綜合問題都能有效解決。對比圖2、圖3和圖4可知，期望波束寬度一定時，單峰方向圖較多峰方向圖而言，不但具有更高的主瓣增益，而且具有更低的峰值旁瓣增益，并且隨著多峰不對稱性的增強，其峰值旁瓣增益越高，具體性能見表1.歸其原因為多峰方向圖對發射波形的要求更高，造成優化模型搜索可行域減小，尋得的最優解變差造成發射方向圖性能的惡化。

圖3　多對稱峰發射方向圖Fig.3 Symmetric mu1ti-peak transmitting pattern

圖4　多不對稱峰發射方向圖Fig.4 Asymmetric mu1ti-peak transmitting pattern

所提方法能夠對發射方向圖的主瓣增益誤差和峰值旁瓣電平分別進行控制，避免了主瓣增益和峰值旁瓣增益差異較大而導致峰值旁瓣增益性能的惡化。為進一步分析二者之間的關系，以模式1為例給出峰值旁瓣增益隨主瓣增益歸一化誤差的變化關系，如圖5所示，其中容忍度的變化范圍為［0.01，0.5］，離散化點數為11，其余仿真條件同上。

表1　優化方向圖的主瓣增益歸一化誤差和峰值旁瓣增益性能Tab.1 The performance of the error of norma1ized main1obe gain and peak side1obe gain in the optimization pattern

圖5　峰值旁瓣增益隨主瓣增益歸一化誤差的變化Fig.5 Peak side1obe gain vs error of norma1ized main1obe gain

圖5給出了MIMO雷達發射方向圖為單峰且期望波束寬度為40°時，峰值旁瓣增益隨主瓣增益歸一化誤差的變化關系。從圖5可以看出，隨著主瓣增益歸一化誤差的增大，峰值旁瓣增益逐漸減小，并且在主瓣增益歸一化誤差為0.2時，發射方向圖的峰值旁瓣增益處于穩定狀態不在隨主瓣增益歸一化誤差的增大而減小。這是因為主瓣增益歸一化誤差約束和峰值旁瓣增益約束是一對矛盾約束，犧牲一方的性能可以換取另一方性能的改善，但是在主瓣歸一化誤差大于一定值之后，峰值旁瓣增益不可能無限減小。這是由天線系統本身決定的，因為對于任意一套天線系統而言，不可能在無限個方向上做到完全對消。

4.1.2實驗2方向圖綜合性能的比較

為了進一步說明所提方法的有效性，將其與文獻［8］方法綜合所得的方向圖性能進行比較。仿真條件：假設MIMO雷達的發射陣列和接收陣列均采用線性配置，陣元間距均為半波長，發射陣元數目M=10，發射總功率為E=10；空間感興趣的空域為ΘZ=［-25°，25°］，離散化點數為51，旁瓣空域為ΘS=［-90°，-35°］∪［35°，90°］，離散化點數為220.所提方法采取的優化準則為：主瓣波束寬度一定時，在嚴格約束峰值旁瓣電平小于預設門限值的前提下，最小化主瓣增益歸一化誤差。

圖6給出了本文算法和文獻［8］方法優化所得的發射方向圖，從中可知，二者都能在指定主瓣空域內實現能量的有效聚焦，所不同的是本文方法相對文獻［8］來說，具有更低的旁瓣電平和更窄的主瓣波束寬度。這主要是因為所提算法將期望波束的模值和發射信號協方差矩陣進行聯合優化，因而避免了期望波束和實際方向圖模值不匹配導致優化誤差變大的缺點。另外，本文算法在基矩陣中引入了單位矩陣，因而能夠自動實現陣元的等功率輻射要求，如圖7所示。相比只能控制總發射功率的文獻［8］，本文算法更易實現輻射功率的最大化，但所付出的代價是主瓣增益的波動范圍變大。

圖6　不同方法優化所得的發射方向圖Fig.6 Transmitting patterns optimized by different methods

圖7　不同方法優化所得的單個陣元發射功率Fig.7 Transmitting power of actua1 array e1ement optimizated by different methods

4.2波形設計性能

4.2.1實驗1波形設計的有效性驗證

假設MIMO雷達的發射陣列和接收陣列均采用線性配置，陣元間距均為半波長，發射陣元數目M= 10，每個陣元發射的碼長為L=64，發射信號期望協方差矩陣為實驗1在3種模式下的優化結果，其所得縮小因子分別為0.88、0.88和0.85，迭代步數分別為560、560和680.

采用交替迭代算法對陣列的發射波形進行設計，每次迭代時在利用上步最優值信息的基礎上對本步發射波形的模值上界進行約束，不僅避免了協方差矩陣的畸變，而且能夠使得發射波形具有較低的PAPR.圖8為本文優化波形合成的發射方向圖，從中可以看出綜合所得方向圖與期望協方差矩陣合成的方向圖具有很好地逼近性能。圖9給出了3種模式下發射波形的PAPR性能，其中非對稱多峰值方向圖對應發射波形的PAPR值均小于1.4，單峰方向圖和對稱多峰方向圖對應發射波形的PAPR值均小于1.2.為了定量分析低PAPR發射波形綜合所得方向圖的性能，本文以發射方向圖的歸一化誤差Pe作為衡量指標，其定義為

式中：P′R和P"R分別為低PAPR發射波形對應的協方差矩陣和期望協方差矩陣。利用（12）式計算得到圖8中3種模式方向圖的歸一化誤差分別為：-43.571 2 dB、-42.498 4 dB和-45.982 2 dB.因而交替迭代方法優化所得低PAPR波形，對3種模式下的期望協方差矩陣都能進行較好地逼近。

4.2.2實驗2波形設計的性能比較

為了進一步闡述所提方法在波形設計上的優越性，將本文算法和文獻［10］方法分別應用到恒模發射波形的設計上，仿真條件如4.2.1節實驗1所示。

為了使雷達系統中的功放對發射波形進行最大效率的放大，恒模是發射波形必須具備的特性之一。圖10給出了本文算法和文獻［10］方法設計恒模波形綜合所得的發射方向圖，從中可以看出，文獻［10］中恒模波形綜合所得方向圖在主瓣波束內產生了嚴重畸變，而本文算法能夠較好地逼近期望方向圖。其原因是空間合成波束的增益與兩個因素有關：1）發射信號的相位，只有對發射波形的相位進行合理的控制，才能使其在期望空域內進行有效的相干疊加；2）發射信號的模值，模值的大小直接影響空間合成信號的幅值。本文算法是在低PAPR的波形上直接取其相位得到恒模波形，即恒模波形與原始波形的誤差較小，從而不會導致發射方向圖產生嚴重畸變。而文獻［10］在設計發射波形時，并沒有約束波形模值，如果直接取相位得到恒模發射波形，就等同于忽略了發射波形模值對空間方向圖合成的影響，勢必造成發射方向圖的畸變。

圖8　基于交替迭代算法的低PAPR發射波形綜合所得的發射方向圖Fig.8 The transmitting pattern of 1ow PAPR waveforms by a1ternate optimization method

5 結論

MIMO雷達的各個陣元具有獨立發射波形的能力，根據應用需求合理選擇發射波形可以有效提高雷達系統的信號處理性能。本文以發射方向圖的空間聚焦性能為目標對陣列的發射波形進行設計，主要包括兩個方面的工作：

1）基于方向圖匹配的發射波形協方差矩陣優化，首先通過引入新的優化模型，不但滿足了陣元等功率輻射要求，而且簡化了其求解難度；其次，利用SOCP算法對其進行求解，既能得到了優化模型的全局最優點，又可對發射方向圖的主瓣增益和峰值旁瓣增益的性能進行兼顧。仿真實驗表明：增大主瓣增益歸一化誤差可有效降低峰值旁瓣增益，但在主瓣增益歸一化誤差達到0.2（模式1），峰值旁瓣增益不在降低，這是由天線系統本身決定的。

2）在得到協方差矩陣后，采用交替迭代尋優算法對發射波形進行設計，在每步迭代中對優化變量的模值上界進行了約束，因而在方向圖不產生畸變的基礎上可有效地控制了發射波形的PAPR.仿真結果表明：通過對每次迭代優化變量的幅度相位信息進行有效利用，優化所得發射波形不僅具有較低的PAPR而且能夠對期望波束進行有效地逼近。

圖9　發射波形的PAPRFig.9 Actua1 PARA of transmitting waveforms

圖10　恒模發射波形綜合所得的方向圖Fig.10 Pattern of synthesized CA waveforms

（References）

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Waveform Design of MIMO Radar Based on Transmitting Pattern Synthesis

HUANG Zhong-rui，ZHOU Qing-song，ZHANG Jian-yun
（F1ectronic Fngineering Institute，Hefei 230037，Anhui，China）

A new method about the transmitting pattern synthesis of mu1tip1e-input and mu1tip1e-output （MIMO）radar is proposed in order to maintain the uniform e1ementa1 power constraint and 1ow peak-toaverage power ratio（PAPR）of the transmitted waveform.A basis matrix set is constructed，which can convert the so1ution of covariance matrix into the optimization of the coefficients of basis matrix set.It can not on1y reduce the computing comp1exity of the origina1 optima1 mode1 but a1so can be so1ved effective1y by the prima1-dua1 interior point method.The identity matrix is inc1uded in the basis matrix set，which can satisfy the uniform e1ementa1 power constraint.And the sca1e factor of the desired beam is set as the unite variance so as to reduce the matching error of the MIMO radar pattern.The matrix decomposition and a1ternate optima1 method are used to design the transmitted waveform which can effective1y descend the PAPR based on the convex optimization.The simu1ation resu1ts are presented to verify the efficiency of the proposed method.

radar engineering；mu1tip1e-input and mu1tip1e-output radar；transmitting pattern synthesis；waveform design；peak-to-average power ratio；modu1us constraint；convex optimization

TN958

A

1000-1093（2016）05-0851-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.05.011

2015-05-18

國家自然科學基金項目（61201279）；安徽省自然科學基金項目（1408085MF128）

黃中瑞（1988—），男，博士研究生。F-mai1：18756073857@163.com；張劍云（1963—），男，教授，博士生導師。F-mai1：zjy921@sina.com