“幾何直觀”

童紅波

【摘 要】 “幾何直觀”是發現數學規律與解題思路的一個極其重要的策略。文章通過找尋教材里數與代數領域中應用幾何直觀的例子，把抽象的數學轉化為形象的數學的基本思路有：轉化為“點”的直觀、轉化為“線”的直觀、轉化為“面”的直觀。從圖形的直觀特征發現數量之間存在的聯系，以達到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。

【關 鍵 詞】 幾何直觀；點；線；面

中圖分類號：G623.56 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2016）27-0083-04

一、點的直觀

點是圖形的最基本元素，用點作基本單位得到的圖也稱為點子圖。在數學中，點子是應用一一對應的思想對實物進行計數的一種方法，點子實際是對實物的一種抽象。點的直觀，就是把數學思維的抽象性轉化成點子圖的形象性，幫助學生更好地理解。

1. 應用點的直觀，利于數的認識

例如，人教版一年級上冊《6和7的認識》中的點子圖，就是用一個點子表示一個單位（這里指一個人），進而抽象出數6與7，見圖1。

四年級下冊“數的產生”中介紹這樣的例子，在古代小石子、繩結、刻痕等都是一種點子的實物原型，見圖2。

2.應用點的直觀，計算化繁為簡

例如，計算“1+2+3+4+…+99+100+99+98+…+3+2+1=？”時，很多學生看到題目無從入手，一個一個加太麻煩了，一時又找不出好的方法。這時，可以引導學生利用表象，用聯系的觀點把每個加數想象成一個個點，通過點陣的分布來找規律，最后求解。教師首先出示圖3，請學生從上往下一層一層數，學生馬上列出算式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

教師把圖3旋轉45°得到圖4，學生馬上想到總數為10×10=100。通過找規律，發現上題的計算方法是100×100=10000。

3.應用點的直觀，模糊變為清晰

點子可以表示數值，如果加上點子色彩或形狀變化，可以表示更加豐富的數量關系。例如，有一種溶液，加1杯水后，含鹽量變為25%，再加1杯鹽后，含鹽量變為40%，求原來這種溶液的含鹽量。

分析：這道題條件中沒有原來溶液的容量，含鹽量一會兒是25%，一會兒又是40%，數量關系看似十分繁雜，難以理解。用下面形象的點子表示其數量關系來引導學生思考就方便多了。

25%=，40%=，用○代表1份鹽，用●代表1份水。

加1杯水含鹽量為25%，也即，圖示為○●●●

再加1杯鹽后含鹽量為40%，也即，圖示為○○●●●

由上圖很容易得出：1份鹽、1份水剛好也是1杯鹽、1杯水，如不加1杯水和1杯鹽，原含鹽量由圖示應為○○●●●-○-●=○●●即原溶液的含鹽量為，也即33.3%。

應用點的直觀特點，可以把一些較復雜的數學問題簡單化，把難以理解的數量關系變得一目了然，并激發學生解題的興趣，提高解題能力。

二、線的直觀

線的直觀，也叫作畫線段圖，用線段表示某一種數量，線段的長度表示數量的大小，線段長度間的關系表示數量關系，從而直觀地顯示題意，以便尋求已知條件和問題之間的聯系。

1.應用線的直觀，促進算理理解

例如，一輛摩托車小時行駛18千米，1小時行駛多少千米？

學生根據已學過的數量關系“路程÷時間=速度”，正確列出算式：18÷，由此自然引出學習內容。

師（畫出一條線段）：如果把這條線段看作1小時行的千米數，那么怎樣表示小時行的千米數？

生：把這條線段平均分成10份，其中的3份表示小時行的千米數。

教師根據學生的回答畫出線段圖，見圖5。

師：觀察線段圖，想一想怎樣求摩托車1小時行的千米數呢？

（學生根據線段圖進行思考，很快發現這道題的解題思路。）

生：根據“摩托車小時行駛18千米”，可以先求出摩托車小時行駛多少千米，算式是18÷3 = 6（千米）；求1小時行駛多少千米，也就是求6個小時行多少千米，用6×10 =60（千米）。

教師在線段圖上標出小時行駛的路程，并板書算式18÷3×10。

師：18÷3能不能轉化成乘法計算？根據乘法結合律，18××10還可以怎樣計算？

教師繼續板書：18÷=18÷3×10=18××10=18×= 60（千米）

最后，教師引導學生觀察、分析等式：18÷=18×，歸納出整數除以分數的計算方法：整數除以分數可以轉化為乘這個分數的倒數。

根據問題畫出線段圖，學生在線段圖的幫助下很快發現了這道題的解決思路：先求出摩托車小時行多少千米，再求1小時行多少千米，列出算式18÷3×10。然后，教師對這一算式進行適當的形式化處理，使之成為既對學生具有啟發作用又能體現整數除以分數一般算法的典型模型，學生順利實現了理解基礎上的算法建構。這一教學事實表明：線段圖是溝通實際問題與數學算式之間的重要“橋梁”，利用線段圖的直觀效果，有效降低了學生探究算理、理解算理的難度。

2.應用線的直觀，復雜變為簡單

新教材提出“淡化數量關系、聯系生活實際”的要求，很多教師卻曲解了本身的內涵，因而很少講題目中的數量關系，片面追求解決問題過程中的生活化，生怕被扣上教育理念陳舊的帽子。這樣導致的結果就是，學生遇到稍有變化的題目就無從下手，更不用說舉一反三了。其實，應用傳統的線段圖能很好地幫助師生理清數量之間的關系，清晰呈現解題思路，變復雜為簡單。

例如，一捆電線用去全長的，又用去余下的，最后還剩下3.6米。這捆電線原來有多少米？

方法一：

師：這兒的和，單位“1”相同嗎？

生：不同，以全長為單位“1”，以余下的為單位“1”。

師：你覺得怎樣可以使題目中的條件更直觀？

生：畫出線段圖。

學生嘗試畫圖，教師整理后得到圖6。

生：把第一次用去后余下的電線看作單位“1”，余下的（1-）是3.6米，求出余下的米數，算式是3.6÷（1-）=10.8（米）；再把全長看作單位“1”，已知全長的（1-）是10.8米，求出全長的米數，算式是10.8÷（1-）=14.4（米）。

方法二：

生：既然兩個分數的單位“1”不一樣，可以將全長統一為單位“1”，因為余下的是全長的（1-），所以用去余下的就是用去全長的（1-）×=。現在我們知道全長的（1--）是3.6米，見圖7。

線段圖是解決問題的思維“工具”。畫線段圖的過程是以問題的文字表述為“藍本”，以已有的知識經驗為基礎的構造性活動。在數學教學中，運用線段圖的目的不僅是幫助學生解決某些具體問題，提高分析問題、解決問題的能力，更重要的是使學生學會用“數學思考”。

三、面的直觀

點是0維空間，一個點可以表示一個單位數量；線表示一維空間，可以反映數量的多少；面是二維空間，它既可以表示大小，又可以表示數量關系。面的直觀是指把抽象的數學概念和復雜的數量關系轉化為直觀的平面圖形，幫助學生建立概念，避免繁雜的計算，理清數量之間的關系。

1.應用面的直觀，建立數學概念

許多數學概念比較抽象，教學中常采用化歸、分類、比較的數學思想方法，也可運用圖形提供數學問題情景。通過對圖形中的情景進行分析，抽象出數學概念的內涵和外延，幫助學生建立數學概念。教學“因數與倍數”時，教師應用面的直觀創設如下情景：

（1）擺長方形。

師：這里有12個正方形，你能擺成不同的長方形嗎？

生：每排4個，擺3排；每排6個，擺2排；每排12個，擺1排。

師：請看圖8，每排4個，擺3排，一共12個正方形。像這樣，可以說4是12的因數，3也是12的因數。反過來，12是4的倍數，也是3的倍數。那么，根據圖9、圖10能說一說誰是誰的因數，誰是誰的倍數嗎？

學生反饋……

師：那么，圖8能用算式表示嗎？

4×3=12 12÷3=4 12÷4=3

師：現在能結合算式，說說誰是誰的因數？誰是誰的倍數嗎？

學生反饋……

師：圖9、圖10能列出算式嗎？誰是誰的因數？誰是誰的倍數？

（2）辨析。

師：仍有12個正方形，每排5個，這是5的倍數嗎？擺擺看，為什么？（見圖11）

生：12個正方形，每排5個，會多出2個，所以12不是5的倍數。如果用算式表示12÷5=2.4，出現小數。即使不是小數，也會出現余數。

師：為了研究方便，以后探討因數和倍數都是自然數，0除外。

根據面的直觀，從數中想到形，通過不同擺法搭建不同的數學模型，從本質上理解因數與倍數的概念。

2.應用面的直觀，避免繁雜計算

例如，教學“1---………-=？”對于小學生來說，由于邏輯推理有一定難度，學生不容易明白。如采用幾何模型中面的直觀進行教學，學生都會輕松掌握。將上面的算式轉換成下面的幾何模型圖，把1個大正方形看成單位“1”（見圖12），然后按次平均分，很容易得出“1---………-=”這個結論來。

3.應用面的直觀，理清數量關系

在面的直觀中，可以用平面內所包含的元素數量及其面與面的關系來理清數量間的關系。

例如，有30個桃子，3只猴子吃了2天，平均每只猴子每天吃幾個？

學生嘗試解決時，列出了好幾個算式，但好多學生不明白其中的含義。為此，要求學生在長方形中表示各種算式的意義。學生經過思考交流，給出各種答案。

（1）先平均分成2份，再將獲得的每一份平均分成3份，列算式30÷2÷3，見圖13。

（2）先平均分成3份，再將獲得的每一份平均分成2份，列算式30÷3÷2，見圖14。

（3）先平均分成6份，再將獲得的每一份平均分成2份，列算式30÷（3×2），見圖15。

用長方形表示數量之間的關系，是在畫線段圖基礎上的演變和創造。長方形是二維的，通過在二維圖中的表達，讓學生很容易理清猴子數量、天數與桃子數量之間的關系。

又如，望湖社區居委會舉行“社區趣味運動會”，共有42人參加，其中28人參加飛鏢項目，14人參加沙包項目，有10人同時參加這兩個項目。這兩個項目都沒有參加的有多少人？

分析：用矩形平面部分表示全體運動員的集合，兩個圓面表示參加飛鏢項目和沙包項目運動員的集合，見圖16。

兩個圓面的重疊部分表示同時參加這兩個項目的運動員的集合，根據已知條件，這個集合有10人。由此可知：參加飛鏢項目而沒有參加沙包項目的有28-10=18（人）；參加沙包項目而沒有參加飛鏢項目的有14-10=4（人）。因此，兩個項目都沒有參加的有42-（18+10+4）=10（人）。當然，還可以這樣理解，28+14-10=32（人），42-32=10（人）。要求學生畫出圖形，并說說每個算式所表示的意思。

通過直觀演示，讓抽象的數量關系、思考路徑形象外顯，非常直觀，易于學生理解。在此基礎上，如果教師要教學三三重疊，學生理解也就并不困難了。

參考文獻：

[1] 教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2009.

[2] 王菘舟.王菘舟教學思想與經典課堂[M].太原：山西教育出版社，2005.

[3] 徐旭，邵漢民.中小學數學銜接讀本[M].杭州：浙江科學技術出版社，2009.

[4] 陳旭遠.新課程 新理念[M].長春：東北師范大學出版社，2002.

[5] 姜榮富.圖形直觀對學生解決數學問題影響的研究[J].小學青年教師（教學版），2006，（11）.

（編輯：易繼斌）