基于概率功能度量的疲勞可靠壽命分析方法

劉勤，孫志禮，錢云鵬，劉英

（1.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧沈陽110819；2.中國兵器科學研究院，北京100089）

基于概率功能度量的疲勞可靠壽命分析方法

劉勤1，2，孫志禮1，錢云鵬2，劉英2

（1.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧沈陽110819；2.中國兵器科學研究院，北京100089）

在分析疲勞壽命工程常用預計方法的基礎上，引入功能度量法，建立疲勞可靠壽命模型，提出可靠壽命計算、靈敏度分析方法。該方法將可靠壽命的計算問題轉換為一個球面約束的優化問題，只需進行一次概率功能度量的求解即可獲得可靠壽命；利用計算過程的中間量，導出了可靠壽命對隨機變量均值、標準差以及確定量的靈敏度計算公式。通過對某型車輛扭力軸的可靠壽命分析，證明基于概率功能度量的疲勞可靠壽命預計方法具有較好的效率和精度，靈敏度結果有效地反映出各變量對疲勞可靠壽命的影響程度。

兵器科學與技術；可靠壽命；疲勞壽命；概率功能度量；靈敏度分析

0 引言

疲勞破壞是機械構件最常見的一種失效形式，受許多隨機因素的影響，疲勞壽命分散性較大［1］，因此，在進行疲勞壽命預計時，往往需要同時進行可靠性計算。工程中疲勞可靠性分析主要包括兩方面內容:一是分析構件在給定壽命下的可靠度或失效概率，通常利用應力-強度干涉模型、功能函數法、模擬法等［2-3］；二是預計構件給定可靠度或失效概率下的壽命［1，4］，即可靠壽命，這往往是設計師更為關注的問題。

現有的可靠壽命預計方法，一般是假定壽命服從威布爾分布、對數正態分布等，計算分布參數，利用概率分布函數確定可靠壽命［5-6］；或者是進行多次給定壽命的可靠度計算，反復迭代，直至結果逼近給定可靠度值，從而得到可靠壽命值［7］，計算量較大。功能度量法常用于評估可靠性優化設計中的概率約束，即給定概率下的功能函數值，是一種計算高效、穩定的可靠性算法［8-10］。

本文在常規疲勞壽命預計方法的基礎上，考慮影響結構疲勞壽命因素的隨機性，利用功能度量法的思路，通過將疲勞壽命表示為隨機變量的函數，把可靠壽命的預計問題轉化為給定概率下功能函數值的計算問題，也即為概率功能度量的求解，并在功能度量法的基礎上提出了計算可靠壽命及靈敏度分析方法，為工程應用提供一種適用的估算方法。

1 疲勞壽命預計的工程方法

累積損傷理論是疲勞壽命預計的基礎，工程上一般采用Miner線性累積損傷理論，疲勞壽命（單位為載荷譜的重復次數）表示為

式中:D為臨界損傷因子，較多場合取1；ni為第i級應力水平的循環次數（或在總循環次數中的百分比）；Ni為第i級應力水平對應的疲勞壽命；k為載荷譜的級數，當k=1時，載荷譜為恒幅譜，直接計算N1即可。各級應力水平對應的疲勞壽命預計方法，包括應力壽命法、應變壽命法、能量法和場強法、裂紋擴展壽命法等，下面將簡要介紹常用的3種方法:

1）應力壽命法［11］。應力壽命法以材料或零件應力-壽命（S-N）曲線為基礎，主要用于高周疲勞失效。S-N曲線在雙對數坐標系中通常用兩條直線和5個參數近似表示，如圖1所示。NS1為第1壽命點的循環次數，一般為104，S1為對應的應力幅值極限；NS2為第2壽命點的循環次數，S2為對應的應力幅值極限，也即疲勞極限σ-1.K2為循環次數超過第2壽命點的直線斜率。以σei表示第i級應力水平的應力幅值，則Ni與σei的函數關系為

圖1　材料的S-N曲線示意圖Fig.1 S-N curve of material

當應力水平的均值不為0時，采用Goodman模型等進行平均應力修正，并根據構件的應力集中情況、尺寸、表面粗糙度、加工方式等，修正材料S-N曲線。

2）應變壽命法。應變壽命法是以Manson-Coffin應變-壽命關系式為基礎，適應于低周疲勞失效。在計算壽命之前，通過諾伯法、有限元方法等計算結構的局部應力、應變歷程，確定每個循環的應力均值σm和應變幅值εa，通過應變-壽命關系，如Morrow修正式［11］，計算壽命N:

式中:σ′f為疲勞強度系數；Ε為彈性模量；ε′f為疲勞延性系數；b為疲勞強度指數；c為疲勞延性指數。由于（3）式對于N與其他參數之間的關系是一個隱式函數，無法直接寫出表達式，需要先求解非線性方程，才能得到壽命值。

3）裂紋擴展壽命方法。對于含裂紋的構件，根據斷裂力學理論，由Paris公式，得裂紋擴展壽命的計算式［12］為

式中:ac為臨界裂紋尺寸；a0為初始裂紋尺寸；C、m為材料參數；Δσi為結構件所受的應力范圍；Y為裂紋的行位和幾何性質修正系數。ac的計算公式為

式中:K1c為斷裂韌性。由于裂紋長度擴展是一個連續過程，對于變幅應力下的壽命估算，以循環塊計的裂紋擴展壽命為

2 疲勞可靠壽命模型

根據疲勞強度理論，構件應力、應變受載荷、幾何尺寸、材料力學性能的波動，是一組隨機量［13］；材料的S-N曲線、應變-壽命曲線及裂紋擴展參數具有分散性，實際結構疲勞壽命亦具有較大的分散性。在實際應用中，應統計各參數的分布類型、均值和標準差，將分散性較大的參數設為隨機變量x，分散性較小的參數不考慮其隨機性，設為確定性變量v，歸納（1）式～（4）式4個疲勞壽命計算式，則壽命N是載荷、幾何尺寸、材料性能參數等隨機變量x、確定性變量v的函數，用N（x，v）統一表示，其中x為各隨機變量組成的向量，v為各確定性變量組成的向量。

若已知壽命的概率分布，由概率密度函數，即可得到給定可靠度R時的壽命，即可靠壽命NR，如圖2所示。

圖2　可靠壽命與壽命概率密度圖Fig.2 Probability density of life and reliable life

因此，構件的疲勞可靠度表示為壽命N（x，v）大于給定壽命NR的概率，即

式中:f（x）為x的聯合概率密度函數；FN（·）為壽命N（x，v）的累積分布函數。此外，使用矩法計算可靠度時，往往將原始隨機變量向量x變換為相互獨立的標準正態分布向量u，記u=T（x），在獨立標準正態空間中壽命函數表示為Nu（u，v），則構件的疲勞可靠度也即為

式中:g（u）為標準正態分布向量u的聯合概率密度函數。若為壽命的逆分布函數，則可靠壽命為

式中:β為可靠度指標，即R=φ（β）.此時，NR可稱為壽命函數N（x，v）的概率功能度量，也即為待求的可靠壽命。

3 疲勞可靠壽命預計

前面給出了疲勞壽命函數，均為非線性函數，面對多個隨機變量，壽命的概率密度函數、逆分布函數難以直接獲得，一般需要借助近似的方法計算可靠壽命。功能度量法常用于可靠性優化設計中概率約束的評估，經過工程實踐發現，相對于可靠度指標法相比，具有更高效、穩定和較少依賴于隨機變量的概率分布類型等特點［14-15］。本文將借鑒該方法的思路，預計疲勞可靠壽命。

為了更好理解如何利用功能度量法求解可靠壽命，先簡要介紹一次2階矩法中可靠度系數的幾何意義。在獨立標準正態空間中，可靠度指標的意義是原點至極限狀態曲線（或曲面）的最短距離，如圖3所示。若給定壽命NR，由（7）式知Nu（u，v）= NR為極限狀態曲線，則通過一次可靠度方法等能夠計算該曲線離原點的距離為β=2，可靠度為φ（2）.

對于可靠壽命的求解，即為給定可靠度值φ（β），確定離原點最短距離為β的等壽命曲線（或曲面）。以兩個隨機變量為例，如圖3所示，Nu（u，v）分別為N1、NR、N2表示一簇等壽命曲線，利用計算可靠度的方法，將會得到對應的一系列β值；反之，作半徑為β=2的圓弧，尋找與該圓弧相切的等壽命曲線，切點為u*，即標準正態空間內半徑為β的圓弧面上函數值最小點，則圖中NR為給定可靠度φ（2）的壽命。因此，在標準正態空間中求解疲勞可靠壽命，相當于求解疲勞可靠度的逆命題。

由此，在獨立標準正態空間，對于給定可靠度指標βt，疲勞可靠壽命的計算表示為如下的數學優化問題，即確定u*滿足（10）式:

對于這一具有球面約束的優化問題，由優化問題的Karush-Kuhn-Tucker條件，最優點u*滿足:

圖3　標準正態空間中可靠壽命的幾何意義Fig.3 Illustration of the calculation of reliable life in the standard normal space

對于可靠壽命，給定可靠度一般大于0.5，故βt＞0，代入（11）式。由此得到優化計算的迭代公式為

式中:梯度向量ΔNu（uk，v）為壽命函數在uk點處對各隨機變量的偏導數，迭代初值可以取標準正態空間中各隨機變量的均值，當‖uk+1‖-‖uk‖小于容許誤差時收斂，此時求得的即為設計點u*= uk+1，將u*代入壽命函數就得到可靠壽命，即NR= Nu（u*，v）.

上述可以看出，利用本文方法求解可靠壽命，只需進行一次優化迭代計算后，就可以直接獲得給定可靠度下的可靠壽命，大幅降低計算量，適合于工程應用。

4 疲勞可靠壽命靈敏度分析

4.1可靠壽命對隨機變量的靈敏度分析

在計算可靠壽命的每一步迭代時需要計算的梯度向量ΔNu（u，v），在設計點u*處可靠壽命NR對隨機變量xi的均值μi偏導數表示為

式中:

式中:y為隨機變量向量轉換為相關標準正態空間的向量；L為隨機變量相關系數矩陣的Cholesky分解矩陣，即L與相關系數矩陣ρ的關系為ρ=L·LT；σi為隨機變量xi在設計點u*的當量標準差［16-17］，其計算公式為

式中:Φ（·）、φ（·）分別是標準正態分布函數和密度函數，Fi（·）、fi（·）分別是隨機變量xi的分布函數和密度函數。

可靠壽命對隨機變量的均值靈敏度為

同理，可靠壽命對隨機變量的標準差靈敏度為

4.2可靠壽命對確定性變量的靈敏度分析

利用差分方法，在設計點u*處，設定設計變量vi賦微小的步長Δvi，則可靠壽命對確定性設計變量的靈敏度為

通過可靠壽命靈敏度分析能夠得到可靠壽命對各設計變量的靈敏度，均值靈敏度和確定性量靈敏度分別反映了隨機變量均值和確定性量對可靠壽命的影響。靈敏度值正負可以判斷隨機變量均值和確定性量對可靠壽命的影響趨勢，而靈敏度值大小則反應了各設計變量對可靠壽命的影響程度，對結構設計改進時，著重考慮靈敏度值較大的變量，更容易實現結構壽命設計。

5 計算實例

某型車輛行動系統扭力軸在工程使用發生過多起斷裂故障，由于加工工藝、磨損、腐蝕等原因，扭力軸表面容易存在小裂紋，通過對多根扭力軸表面裂紋測量統計，裂紋尺寸a0服從正態分布，均值為2mm，標準差0.3mm.扭力軸在工作過程中主要承受反復的扭矩作用，容易產生疲勞斷裂。表1所示為扭矩幅值的塊譜數據，總平均扭矩為 8280N·m，當量行駛里程為350km.試分析該扭力軸的耐久性，并提出改進措施。

表1　扭力軸扭矩譜Tab.1 Torque spectra of a torsion shaft

對于含裂紋的構件進行壽命預計，主要采用裂紋擴展壽命法，根據（4）式，需先求解扭力軸的應力幅值。由扭力軸的扭矩幅值計算扭力軸光滑圓柱的名義切應力幅值

式中:d為扭力軸光滑圓柱部分直徑，服從均值為54mm、標準差為1.6mm的正態分布。

扭力軸的應力集中部位為過渡圓弧至花鍵的結合處，有效應力集中系數為

式中:R為由光滑圓柱向頭部花鍵過渡的圓弧半徑；kt為扭力軸軸頸的理論扭轉應力集中系數，與R/d有關，查應力集中手冊為1.05；σs、σb分別為材料的屈服強度、抗拉強度。

扭力軸材料為高強度合金鋼，抗拉強度σb為1553MPa，抗拉屈服強度σs為1374MPa；斷裂韌度K1c服從對數正態分布，均值、標準差分別為經試驗統計，裂紋擴展參數C服從均值為2.08×10-11、標準差為0.28×10-11的正態分布，裂紋擴展參數m服從均值為2.44、標準差為0.05的正態分布，忽略C、m相關性。

利用（4）式～（6）式分別預計給定可靠度為0.5、0.9、0.95、0.99時扭力軸的壽命；同時，為對比本文方法預計結果的精度，利用蒙特卡洛模擬法（簡稱模擬法），即通過計算機程序按各參數隨機分布生成樣本組，依次計算各樣本組對應的可靠壽命，為保證模擬法的計算精度，樣本量設置為10萬次。并且計算本文方法預計結果相對于模擬法結果的誤差，一并列舉于表2.

表2　可靠壽命的預計結果Tab.2 Predicted results of reliable life

從表2中結果可以看出:利用本文方法求解的可靠壽命結果，與模擬法結果非常接近；但計算量遠小于模擬法的計算量，對于本例，各次求解的迭代次數均不超過5次，計算時間約為1s；而10萬次蒙特卡洛模擬計算時間約480s，因此該方法的計算效率高是顯著的。尤其對于調用CAE軟件計算構件應力、應變，本文的方法求解可靠壽命的優勢更加凸顯。

針對表2中第2列結果，利用一次2階矩法計算給定壽命為4355km的扭力軸疲勞可靠度，結果為0.897，與0.90相接近，再次驗證了本文方法計算可靠壽命有較高的精度。

對于車輛，通常以B10作為可靠性指標，即可靠度為0.90的壽命，為4355km，低于工程要求，需要改進設計。利用（17）式～（19）式分析該可靠壽命對隨機變量均值、標準差的靈敏度，如圖4、圖5分別為扭力軸可靠壽命對主要隨機變量均值、標準差的靈敏度直方圖。

由圖4和圖5可以看出，扭力軸直徑d、裂紋擴展參數C和m、初始裂紋尺寸a0的均值、標準差對可靠壽命的靈敏度值較大，其影響較敏感。在扭力軸改進設計時，適當增大扭力軸直徑，選取C、m較小的材料，控制初始裂紋大小，有助于提高扭力軸的可靠壽命。如將扭力軸直徑均值增加2mm，同時加工上下偏差控制在±1.0mm內，經過重新計算，扭力軸的B10提高至7543km，壽命得到明顯提升。

6 結論

本文將功能度量法引入疲勞壽命分析，提出了一種可靠壽命及其靈敏度分析方法。該方法將可靠壽命的計算問題轉換為一個球面約束的優化問題，只需進行一次概率功能度量的求解即可獲得可靠壽命，避免了可靠壽命預計之前需假設壽命服從某種分布。該方法給出了可靠壽命對隨機變量均值、標準差以及確定量的靈敏度計算公式。

通過對某型車輛扭力軸的可靠壽命分析，并與蒙特卡洛模擬法、一次2階矩法等計算結果相比較，表明基于概率功能度量的疲勞可靠壽命預計方法具有較好的效率和精度，靈敏度結果有效地反映出各隨機變量對疲勞可靠壽命的影響程度。

圖4　可靠壽命對隨機變量均值的靈敏度比較Fig.4 Comparison of sensitivity factors for average value of each random variable

圖5　可靠壽命對隨機變量標準差的靈敏度比較Fig.5 Comparison of sensitivity factors for standard deviation of each random variable

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Reliable Fatigue Life Analysis Method Based on Probabilistic Performance Measure

LIU Qin1，2，SUN Zhi-li1，QIAN Yun-peng2，LIU Ying2
（1.School of Mechanical Engineering and Automation，Northeastern University，Shenyang 110819，Liaoning，China；2.Ordnance Science and Research Academy of China，Beijing 100089，China）

Based on the frequently-used engineering methods for fatigue life prediction and the performance measure approach，a reliable fatigue life model is built，and a set of methods for reliable life prediction and sensitivity analysis are proposed.By expressing fatigue life as the function of random variables，the reliable life prediction problem is converted into a spherical constraint optimization problem which can be solved using performance measure approach，and then the reliable life can be gotten directly.Moreover，the sensitivity factors for each random variable and deterministic variable can be calculated by using some intermediate variables in life prediction.The proposed method is demonstrated with a torsion shaft example.The results show that the proposed method has high efficiency and precision，and the different parameters have much different influences on reliable life.

ordnance science and technology；reliable life；fatigue life；probabilistic performance measure；sensitivity analysis

TB114.3

A

1000-1093（2016）08-1530-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.08.027

2016-01-06

總裝備部預先研究項目（51319010103）；國防技術基礎項目（Z092012B001）

劉勤（1981—），男，副研究員，博士研究生。E-mail:qinlow@126.com；孫志禮（1957—），男，教授，博士生導師。E-mail:zhlsun@neu.edu.cn