提高概率教學質量初探

黃仙鳳

【內容摘要】長期以來，數學方面總存在著教學方式與學生實際需求、數學內容與數學實際應用等相脫節問題。本文結合概率教學內容與教學實踐的思考，闡述了概率教學中的幾點看法。

【關鍵詞】教學 概率 應用

基于特定的評價體系，數學教育工作者往往側重學術性課程的填鴨式，學習者強化接收。雖教學效率高，學生短時間內接受了系統的知識體系，但過于強調“接受”，壓抑了學生學習的積極性。如此教、學狀況，忽視了學校課程與社會生活間的聯系，學生雖掌握了課程的“知識世界”，可缺乏質疑精神及提出問題的能力，體驗不到學習對個人的現實意義。現實的教學偏離了預定目標，違背了教育目的。

尤其是新增加的內容，這些新增內容為我們探索課改中教與學模式提供了新場所，有助于逐漸理解、適應即將到來的新一輪課改教學。其中，概率是高中數學知識模塊的新增部分，是實用性較強的內容。無論是從課改精神方面，或是基于近幾年的高考命題，提高概率教學質量是非常必要的。由此，在教學實踐中，結合該知識的特點，對課程教學做了些思考。

一、介紹概率的起源及應用情況，使學生初步認識概率學的重要性

面對新的知識領域，常常令初學者感到茫然。幫助學生了解概率產生的實際背景，介紹概率在人類文明發展中的作用，有助于學生逐步接納此“數學文化”，為后繼的學習營造良好的文化氛圍。

1.概率與機會性游戲

所謂機會性游戲就是靠運氣取勝的一些游戲，如賭博。有史可查的概率知識的起源，與人類的這種機會性游戲密切相關。以骰子為賭博工具的游戲中，孕含著概率理論的某些思想。然而，在玩骰子游戲的幾千年時間里，人們對其中的概率思想的發現、認識經歷了一個漫長的過程。直到15世紀后期和16世紀早期才有人意識到骰子點數下落頻率的計算是可能的、有效的，每一面會以相同的頻率出現等這些最簡單的概率思想。進而，概率理論才逐漸被正視，走上了研究、發展、應用的道路。

2.概率與生活

概率論不僅是當代科學的重要數學基礎之一，而且還是當代社會和人類日常生活最必需的知識之一。正如十九世紀法國著名數學拉普拉斯所說：“對于生活中的大部分，最重要的問題實際上只是概率問題。你可以說幾乎我們所掌握的所有知識都是不確定的，只有一小部分我們能確定地了解。甚至數學科學本身，歸納法、類推法和發現真理的首要手段都是建立在概率論的基礎之上的。因此，整個的人類知識系統是與這一理論相聯系的……”

的確，我們只要留意周圍的一些現象，就會發現在某種程度上概率統計的知識已經成為人類生活中重要的一部分。如我們所熟悉的天氣預報、彩票、抓鬮、算命等等，均與概率知識相關。

二、設置概率的可操作、解釋的經典案例，培養學生學習概率的興趣

對于新的學習領域，傳統的教學方式往往一進門就把學生引入純數學的天堂。缺少必要的感性認識，難以自然過渡為理性認識。為使學生有充分的“思想準備”，教學過程中，可采取邊走邊欣賞的方式，通過瀏覽概率的各種“風景”后，再進入純數學天堂，使各種概念和定理成為有源之水、有本之木。

1.生日問題

教學中，借助本教學班（每個教學班一般為50人左右）為實驗實體。以“班級是否有同學生日相同”為主題，設置“打賭”游戲。通過現場驗證或學生自己組織驗證等方式的互動性游戲，提高學生參與教、學的積極性，同時加深某些“數學內涵”的感性認識。

統計的情況將是令人吃驚的：幾乎所有班級都存在生日相同的同學。這是巧合嗎？由此展開概率知識的學習及于此的解釋。

分析：設事件A為“50人的生日全都不相同”，則事件 為“50人中，至少有2個人生日相同”。

①50個人可能的生日組合是：36550

②50個人生日都不重復的組合是：A36550

因為50個人的生日的所有情況中，每種結果的出現是等可能的

所以P（A）=

則1-P（A）≈0.9651。

綜上所述，50人中存在生日相同的概率為96.51%，不存在生日相同的概率僅為3.49%，因此打賭時把賭壓在概率大的事件上較易獲勝。由此，說明缺乏概率知識的情況下，人們的隨意猜測往往會與事實南轅北轍。

2.占卜問題

廟宇中常有欲與“神明”溝通者，他們借助于一對陰陽兩面的“器物”占卜（俗稱問卦）。溝通者口中念念有詞，而后擲出“器物”。當這對“器物”呈現“一陰一陽”時，表示與“神明”溝通成功；當呈現“兩陽”或“兩陰”時表示溝通失敗；眾所周知，此種迷信活動不足為信。而其中，表示溝通成功或失敗所對應的“卦相”，是否“公平、合理”？是否另有玄機？

分析：一對“器物”的“卦相”有4種：（陽陽）（陽陰）（陰陽）（陰陰）。

又由于每種“卦相”的出現是等可能的，因此呈現陰陽搭配（即溝通成功）的概率為1/2。若以呈現“兩陰”（或“兩陽”）為成功標志，則溝通成功的概率僅為1/4。

繼續拓展：若連續出現三次溝通成功稱為“顯靈”的話，其概率有多大呢？

分析：因為每一次“溝通成功”事件是否發生對另一次事件發生的概率沒有影響，即連續出現三次“溝通成功”為三次獨立重復試驗，用獨立重復試驗公式求得發生的概率為1/8。

3.男女嬰出生頻率問題

研究男女嬰出生頻率，對人口統計是很重要的。教學中可讓學生根據對社會人口男女比例的感知，猜測在遵循自然選擇時男女嬰的出生率情況。

分析：由生物遺傳學知，性別由染色體決定。女嬰染色體為XX，男嬰染色體為XY。每一嬰兒的染色體構成，由母體（染色體為XX）接受一個X，由父體（染色體為XY）接受一個X或Y。即性別決定于從父體接受的染色體為X（女嬰）或為Y（男嬰）。因這種接受是隨機等可能的，由概率知識知，男女嬰的出生率均為0.5。因此男女嬰構成應大體呈現平衡之勢。

三、設立體現概率對于生活中某些重要應用的專題，增強學生應用意識及實踐能力

提供以生活為背景的熱點問題，開展相關的“數學建模”學習活動，力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。

“六合彩”賭博問題

近些年，“六合彩”賭博之風盛行。廣東、福建等沿海地區尤甚，各年齡階層均參與，時不時地上演各種鬧劇、悲劇。“六合彩”1：36的賠率是其宣傳、吸引人的最大賣點，它點燃了人們暴富的心理。

建模時引導學生全面把握：彩民的輸（贏）意味著莊家的贏（輸），因此彩民與莊家在賭彩時的聯系與區別須充分考慮（即賭彩的“互動”關系）；再者，1：36的賠率雖大，但輸多贏少是不爭的事實，建模時是否還要考慮賠率以外的事？（如中獎概率！）

“六合彩”共有47個號碼，其游戲規則：1：36的賠率，即若以1元買一碼，中碼后可獲36元；不中，則不給賠金。（注：每次以搖獎形式開碼）

（1）某人買一碼，那么他中獎的概率為多少？

（2）某縣，若按100萬人次買碼，每人次10元為例，則“六合彩”莊家是賺還是賠？具體數值是多少（精確到萬元）？

（3）通過以上計算，有何體會？

師生共同分析：

（1）以搖獎形式開碼，則47個碼的出現是等可能的。因此中獎概率為1/47；

（2）①開碼前，莊家收到的賭資為1000萬；②莊家在開獎后應支付的賠金為：766萬元。故，完成一次“六合彩”賭博，莊家賺；凈賺金額234萬元；

（3）通過以上計算，不難看出，雖賠率1：36很誘人，但中碼的概率極低——僅1/47，即中碼的可能性很小，所以應勸告彩民們不要參與“六合彩”賭博活動。

四、整合幾類古典概率，全面提高學生分析問題、解決問題的能力

在充分調動學生學習積極性外，還應引導學生整理、構建知識框架，掌握概率知識體系。

1.三種古典概率的特點及對應公式

通過具體實例講透：

①等可能事件是指“一事件”在多次的試驗中，發生的可能性是相同的。適用于求解某一“子事件”發生的概率。

②互斥事件和相互獨立事件都是針對“兩個或兩個以上事件”怎樣發生而言的。其中，互斥事件指兩個（或多個）事件“不可能同時發生”，即兩事件相互制約。兩互斥事件有一個發生的概率公式為P（A+B）=P（A）+P（B）；相互獨立事件指一事件的發生與否對另一事件發生的概率“沒有影響”即兩事件互不相干。兩獨立事件同時發生的概率公式為P（A·B）=P（A）·P（B）。

2.突破概率的模式識別

教學中，采取類比典型例子的方式，培養學生判別概率類型的能力，提高解決不同概率模型問題的實效性。

例：袋中4只黑球，3只白球，它們除顏色不同外，沒有其他區別，計算：

（1）從中隨機地摸出3只球，則摸出3只黑球的概率

（2）從中隨機地摸出3只球，則摸出3只同顏色球的概率

（3）從中隨機地摸出3只球，則摸出至少1只黑球的概率

（4）現把球隨機地一只只摸出，每次摸出后記下顏色再放回袋中，則第三次才摸出黑球的概率

（5）現把球隨機地一只只摸出，每次摸出后記下顏色再放回袋中，則三次摸球中恰有兩次摸出黑球的概率

（6）現把球隨機地一只只摸出，每次摸出后記下顏色再放回袋中，則三次摸球中至多有兩次摸出黑球的概率

分析：（1）設事件A為“摸出的2球為黑球”，則由等可能事件公式知概率：35分之4；

（2）設事件A為“摸出的3球為黑球”，事件B為“摸出的3球為白球”，則事件A+B為“摸出的3球同顏色”，由互斥事件公式得概率為7分之1；

（3）設事件A為“摸出的三球均為白球”，則事件 為“摸出的三球至少1只黑球”，由對立事件分工得概率為35分之34；

說明：本題也可用互斥事件的概率公式求解。但若出現“至少”“至多”等類型的概率問題時，注意考慮對立事件的概率公式。

（4）設事件A為“第一次摸出的球為白球”，事件B為“第二次摸出的球為白球”，事件C為“第三次摸出的球為黑球”，則事件A·B·C為“第三次才摸出黑球”，由相互獨立事件公式得概率為343分之36；

（5）每次摸出黑球的概率為7分之4，由獨立重復事件知，三次摸球中恰有兩次摸出黑球的概率為343分之144；

（6）方法一：獨立重復事件概率公式和互斥事件概率公式的綜合應用。“三次摸球中至多有兩次摸出黑球”即分為三種情況：①三次摸球中均沒摸到黑球，②三次摸球中僅摸出一個黑球，③三次摸球中摸出兩個黑球。因此，三次摸球中至多有兩次摸出黑球的概率是①②③的三個概率之和為343分之279。

方法二：獨立重復事件概率公式和對立事件概率公式的綜合應用。“三次摸球中至多有兩次摸出黑球”的對立面為“三次摸球中均摸得黑球”，因此，用對對事件公式得三次摸球中至多有兩次摸出黑球的概率為343分之279。

【參考文獻】

[1] 汪曉勤、韓祥臨.《中學數學中的數學史》，科學出版社，2002.

[2] 茆詩松、程依明、濮曉龍.《概率論與數理統計教程》，高等教育出版社，2004.

[3] 王幼軍. 概率論的起源——機會性游戲，《數學教學》，2004（6）.

（作者單位：福建省屏南縣第二中學）