“真經歷”，開展“綜合與實踐”的有效手段

劉志強　伏志瑛

數學“綜合與實踐”的價值不是常規的數學課所能實現的，也不是普通的數學測試所能評價的。在日常教學中，由于教師對數學“綜合與實踐”的認識不夠，目標定位、實施難度相對較大，活動顯性成效較難呈現與評價，因此常常被教師視作雞肋一帶而過，甚至有教師把“綜合與實踐”理解成了綜合數學練習。如何有效開展“綜合與實踐”教學，成為當務之急。在這樣的背景下，我們選擇杯琴為素材進行了研究。

仔細研讀教材并查閱相關資料可知，杯琴與數學之間的關系，不僅僅體現在水量不一導致聲音不同這一現象上，杯琴所呈現的，是音律的一種外在形式，它是抽象數學的一個現實背景。因此，借助于學生已有的數學及音樂的知識背景，利用杯琴素材引導學生從數學的角度發現并提出研究問題，通過實驗、思考、再實驗，用數學的方法去研究和感受數學與音律的關系，使學生在完整經歷不斷推進的研究活動中能獲得一些數學研究、思考的方法，成為《美妙的杯琴》教學的目標追求。

如何讓作為研究主體的學生真正地經歷完整的研究過程？很顯然從現象的引入，問題的提出，實驗方案的設計，實驗過程的調整，研究問題的遞進直至初步結論的得出，這樣一個循序遞進的研究性過程不是40分鐘所能承載的，首先要打破的就是課時的限制。由此我們把《美妙的杯琴》的研究過程進行了分段處理，把整個過程從課堂40分鐘延伸到課前與課后，精心設計，旨在引導學生真實、完整地進行數學研究。

一、調查閱讀，提出問題

我們的研究從學生熟悉的樂器開始。課前三次遞進性的問卷和兩個小實驗讓我們很清楚地看到學生主動參與度的變化，看到研究問題的產生、提出與提煉的過程。

1.亦步亦趨。

問卷一：你了解自己樂器的發聲原理嗎？音的高低和哪些因素有關？從反饋看，90%的孩子是通過百度進行簡單摘抄，10%的孩子憑經驗寫了自己的答案。之后我們組織學生觀看了視頻《聲音的產生》。問卷二：不局限于自己的樂器，提出自己想要了解的問題。44.1%的學生通過查閱資料，對聲音的產生有了進一步了解，而且關注到聲音的傳播介質、共振等多方面的知識；41.2%的學生動手進行了嘗試，發現“不同材質的容器裝一樣多的水會發出不同的聲音”、“同樣的容器水量不一聲音也不同”。

2.漸入佳境。

問卷三：你還想研究什么？孩子幾乎迫不及待地提出，想制作一組杯琴，定出音階來演奏樂曲。隨后教師播放了《最強大腦》的片段《聽音定水量》，學生若有所悟，提出確定音階的時候水量必須十分精確，并設計了詳細的實驗方案。

盡管方案的設計耗費了不少的課余時間，但是學生專注于設計本身，根本沒有計較時間問題。可見，學生不是沒有提出問題的能力，多數時候是沒有這樣的機會和時間。最終學生們確定了相對較為合理的方案，并通過實驗得出了結果。對于我們來說，實驗的結果是預料之中的，而提出問題和制訂方案才是更值得重視的活動。培養學生的問題意識、提高學生解決現實問題的能力是“綜合與實踐”著力達成的目標，給學生一定的時間和嘗試的機會，他們會獲得相應的成功。這種成功的體驗，是讓“經歷”內化為“經驗”的上佳途徑，一旦學生具備相當的此類經驗，即可促進其進一步的學習。

二、實驗調整，突出“數學”

從知道“玻璃杯里水量不同，則音高不同”，到自己制作杯琴演奏，再到研究音律與數學的聯系，恰似兩個臺階，中間有著很大的跨度。也正是這種跨度，讓孩子有了應用數學解決問題的機會。

片段1：

師：制作杯琴先要“定音階”，先定哪個音？怎么定？

生：先定do，并且水滿為do。因為水越少，音越高。

師：re怎么定呢？請音樂老師來聽聽空杯是什么音……（空杯是so）

生1：我先假設re要260毫升水，然后再聽音高調整。

生2：我們是從滿杯開始，先減掉一些水，不斷減少，直到調出re。

生3：我們小組認為可以計算。滿杯為do，空杯子是so，然后……

師：你們知道他們小組是怎么算的嗎？

生4（邊畫圖邊說）：do、re、mi、fa、so之間有三個全音，一個半音，如果兩個全音之間的距離是1份，那么do和so之間的距離就是3.5份。空杯水量為0，每一個全音的水量應該是總毫升數÷3.5，re音只要減少這樣一份的水量。

師：真厲害，由音程之間的關系想到了水量之間的關系，借助于線段圖使它們的關系一目了然，果然是有理有據。

要讓學生思維觸及數學內涵，就需要指向數學背景的問題。定好do之后，定其他的幾個音，生3主動嘗試從數學的角度尋求解決問題的方法，利用音程之間的關系來確定水量，可以看出面對實際問題，學生已初步具有了將現實問題抽象為數學問題的意識，它需要教師進一步的引導與呵護。

片段2：

師：我們已猜出re音的水量。究竟是不是這樣呢？需要實驗的驗證。

（學生實驗操作。）

師：實驗數據和估計數據怎么不一致呢？

生1：我們只是耳朵聽，do和re不一定是最準確的音高。

生2：杯子上面大些，下面小些，會不會有影響？

師：那么，實驗結果符合音變高而水減少的規律嗎？

生：是的。

師：面對猜想，我們要學會驗證；面對結果，我們還要學會反思。

師：我們剛才通過估、驗、思的步驟確定了re音。接下來，猜想mi、fa、so各應該是多少毫升呢？能驗證嗎？

（學生按照步驟繼續試驗，調出后面的音，教師在excel表格中輸入數據。）

師：各組的數據都在這里了，有辦法清楚地比較這些數據嗎？

生：用折線統計圖。

（教師將表格轉換為折線統計圖。）

師：你能看出什么？

生1：每個小組的折線都是依次下降的。

生2：所有的實驗都符合水越多音越低，水越少音越高的規律。

首先應注意到，孩子是愿意通過實驗來驗證猜想的。學生在活動中，既發現了猜想和結果之間符合的部分，又能反思差異出現的原因。在分析問題的過程中，學生還綜合了統計相關知識，合理地解釋了杯琴的制作原理。教師所要做的仍然是提供一定時間和空間。此外，教師和學生沒有避諱猜想與實驗結果之間的差異，這就是數學求真的一面。同時我們也可將整個活動看作一種數學實驗。數學作為一門科學，理應包含猜想和實驗等實踐內容。但現實是，學生獨立的實驗意識并不強，不得不說這與以往的數學教學方式有關。培養學生以實驗佐證猜想的意識，需要在整個數學教育的過程中予以重視。同時，實驗并不等同于操作，預先的估計，實驗后的分析，都應當是實驗中要關注的內容。

三、文化滲透，拓寬思路

當學生成功地制作出杯琴，并用杯琴演奏出一些簡單的樂曲后，研究至此結束嗎？不，杯琴只是我們研究數學和音律關系的一個引子，更重要的是通過杯琴打開一扇研究的門。歷史上有很多關于數學家研究音樂的小故事，我們把畢達哥拉斯研究音律的故事在活動中介紹給學生，以此來引導學生的后續思考、研究。

片段3：

師：其實人們很早就相信，音樂的背后肯定有數學規律可循，并一直在努力尋找。畢達哥拉斯是我們所知歷史上最早研究音律的數學家，請同學們一起閱讀《畢達哥拉斯琴弦律》。

（學生閱讀材料并討論單弦琴調音和杯琴的異同以及畢達哥拉斯的研究方法。）

生1：杯琴是通過調節水量來調音的，畢達哥拉斯是通過調節弦長短調音的。

生2：水量多少和琴弦長短，其實都是我們常說的數量。

師：真厲害，又看到數學了。那么畢達哥拉斯是如何研究的呢？

生：其實和我們差不多，先猜測，再驗證。

師：看來我們研究的方法確實是有點道理的。再來看這些樂器是怎么調音的？出示：木琴、豎琴、長笛發聲原理的介紹。

師：你又有什么感想？

生1：這幾樣樂器調音方法好像和杯琴以及琴弦類似。

生2：它們應該也有數學規律。

就杯琴這一內容而言，與數學文化的聯系至少可以體現為兩個方面：一是音樂中蘊含的數學原理，二是眾多數學家在音律方面付諸的大量研究。合理地使用這些素材，是拓展數學文化內涵的必要手段。

四、回顧反思，延伸研究

經歷活動的過程之后，教師理應引導學生進行回顧和反思，這是促使學生積累活動經驗和學會理性思考的重要途徑。縱觀整個研究的過程，學生的回顧和反思至少出現了三次，首先在學生制訂實驗方案后，教師引導學生針對研究問題進行調整；其次在學生通過“估、驗、思”的步驟確定了re音后，教師及時引導學生明確操作方法，展開實驗操作；最后在學生通過實驗，明確了杯琴的原理并敲出曲子之后。

師：我們終于聽到了自己的樂器發出美妙的音樂。現在，讓我們找一些關鍵詞，來回顧這段時間的研究。

生簡單討論后給出：問題、猜想、分析，驗證、規律……

師（小結）：我們在現象、實驗中發現問題，提出猜想。通過實驗分析，有時猜想獲到驗證，得到了規律；有時實驗結果與猜想不符，需要分析原因，調整思路；有時又會在實驗中產生新的問題，促使我們進一步深入研究。

回顧和反思，一方面是完整的活動過程的一部分，另一方面更多地是為了進一步理解知識和方法，積累活動經驗。反思的內容，主要是明確“發現和提出問題，分析和解決問題”的策略和方法，以及活動過程中需要改進的問題、可供借鑒的經驗等。

回顧整個活動的過程，始于樂器和聲音的表象，終于器樂發聲和數學的原理，并延伸至數學音樂之間的文化紐帶。教師嘗試以綜合的視野組織學習，讓學生真正經歷了實踐活動的完整過程，獲得了實實在在的基本研究經驗和大量的真實體驗。至此《美妙的杯琴》教學讓我們深切地感受到“真經歷”是開展數學“綜合與實踐”的有效手段。

（作者單位：江蘇省無錫市揚名中心小學，江蘇省無錫市南長區教研室）