基于nested陣列的高分辨DOA估計*

劉魯濤， 韓　麗， 張　明， 張　航

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院， 哈爾濱 150001)

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基于nested陣列的高分辨DOA估計*

劉魯濤， 韓麗， 張明， 張航

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院， 哈爾濱 150001)

針對nested陣列對鄰近信號的分辨力受信噪比和快拍數等因素限制的問題，提出了基于nested陣列的加權子空間平滑MUSIC算法.該算法對協方差矩陣向量化以提高整個陣列的自由度，使用空間平滑恢復新接收數據矢量陣的秩，采用校正的噪聲特征值對噪聲子空間進行加權，并對信號子空間進行空間譜合成，得到新算法的空間譜函數.通過搜索空間譜函數極大值實現DOA估計.結果表明，該算法在低信噪比及小快拍數條件下，對間隔較近的信號具有高分辨力.

nested陣列； 協方差矩陣； 向量化； 自由度； 空間平滑； 加權； DOA估計； 高分辨力

波達方向(direction-of-arrival，DOA)估計是陣列信號處理領域的一個重要研究方向，被廣泛應用于雷達、聲源定位和通信等領域[1-3].子空間類算法[4-7]已經成為DOA估計中最常用和最經典的算法，尤其以多重信號分類[8-10](multiple signal classification，MUSIC)為典型代表的算法隨著信噪比的提高可以突破瑞利限，但其缺點是自由度不高，估計目標數最多為N-1(N為陣元數目).為了提高陣列的自由度，文獻[11]使用最小冗余陣列通過構建增強協方差矩陣來增加陣列的自由度，但在實際應用中，這種陣列的最優陣元位置受限于計算機建模以及迭代算法的復雜程度；文獻[12]基于高階累計量的DOA估計算法實現陣列擴展，增加虛擬陣元，但是其缺點是需要很大運算量來計算信號的高階累積量，需要較多的快拍數才能準確地估計出目標信號參數，且不能用于處理高斯信號的DOA估計；文獻[13]針對非平穩信號的特性提出了一種Khatrio-Rao子空間估計算法，實現了在陣元數少于信號源數目情況下對準平穩信號的DOA估計，但其測角精度不高，且也不適用于平穩信號；在此基礎上，文獻[14]利用Khatrio-Rao(KR)積的性質提出了一種新的陣列構造方式，即nested陣列，使得陣列的自由度大大增加，對于M個物理陣元的陣列可以獲得O(M2)個自由度，并提出了相應的基于空間平滑多重信號分類(spatial smoothing MUSIC，SS MUSIC)的DOA估計方法.雖然nested陣列可以提高陣列的自由度，解決了在信源數多于物理陣元數情況下對平穩信號的DOA估計，但是其在低信噪比及小快拍數的條件下，并沒有提高對鄰近入射信號的分辨率.

本文將噪聲子空間與信號特征值倒數加權的信號子空間相結合，得到加權子空間平滑MUSIC(weighted subspace of spatial smoothing，WSSS MUSIC)算法的譜函數，充分利用了信號的信息，降低了噪聲的影響，提高了nested陣列鄰近信號的分辨力.

1　數據模型和陣列結構模型

1.1數據模型

假設L個遠場窄帶信號入射到M個陣元的線陣上，信源入射角度分別為θ1，θ2，…，θL，入射信號彼此相互獨立.噪聲是高斯白噪聲與信號相互獨立，則陣列接收數據矢量形式為

X(t)=AS(t)+N(t)

(1)

式中：X(t)為陣列的M×1維陣列接收數據矢量；S(t)為空間信號的L×1維矢量；N(t)為M×1維的噪聲矢量；A=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θL)]為M×L維的陣列流型，其中

a(θk)=[exp(-j2πd1sinθk/λ)，

exp(-j2πd2sinθk/λ)，…，

exp(-j2πdMsinθk/λ)]T

(2)

式中：di為第i個陣元相對陣列參考點的位置；λ為波長，則陣列接收數據的協方差矩陣為

(3)

(4)

Khatri-Rao積的定義：用符號“⊙”表示Khatri-Rao(KR)積，兩個矩陣A(N×K)和B(M×K)具有相同的列數，它們的KR積[13]為A⊙B=[a1?b1，a2?b2，…，aK?bK]=

(5)

式中：ak，bk分別為矩陣A和B的第k列；vec(·)為將矩陣的每一列元素排成一列，形成一個新的列向量.

KR積具有如下性質：

若A∈CN×K，B∈CM×K和D=diag(d)，且d∈CK×1，則

vec(ADBH)=(B*⊙A)d

(6)

式中，*為復共軛.

利用上述性質，且假設信號是相互獨立的，則式(3)可化簡為

z=vec(RXX)=

(7)

(8)

式中，

(i=1，2，…，M；j=1，2，…，M)

(9)

由式(9)可看出，此陣列流型類似于多輸入多輸出(multiple input multiple output，MIMO)雷達[15]，此陣列的陣元位置由集合{di-dj，1≤i，j≤M}(di，dj分別為第i個和第j個陣元的位置)中相異的值來決定，其相異值遠大于物理陣元數M，因此增大了陣列的自由度.

1.2二階nested陣列的陣列結構

在陣元數固定的前提下，為了使相異值最多(自由度最大)，文獻[11]提出了一種基于KR積的陣列構造方式，稱其為nested陣列.一個標準的二階nested陣列是由兩個相鄰的均勻線陣(uniform linear arrays，ULA)串聯構成的，內層的ULA有M1個陣元，陣元間距為d1，外層的ULA有M2個陣元，其陣元間距為d2=(M1+1)d1，則第1個ULA的陣元位置為S1={nd1，n=1，2，…，M1}，第2個ULA的陣元位置為S2={m(M1+1)d1，m=1，2，…，M2}，一個二階nested陣列陣元總數為M=M1+M2，其結構示意圖如圖1所示.

圖1　二階nested陣列的結構示意圖Fig.1　Schematic structure of second-order nested array

一個陣元總數為M的nested陣列，由KR積可產生(M2-2)/2+M個虛擬陣元，此虛擬陣列為陣元間距d1的ULA，其陣元位置集合為

S={ld1，l=-N，-(N-1)，…，N；

N=M2(M1+1)-1}

(10)

這樣便增加了nested陣列的自由度，為實現信號源數目多于物理陣元總數的DOA估計提供了可能.

2　波達方向估計

上文對陣列接收數據協方差矩陣進行了向量化，使得到的新接收數據矢量z的秩變為1，并且由KR積產生的虛擬陣列為ULA，用類似空間平滑算法[16]恢復矩陣z的秩.首先，從構造的新陣列流型(A*⊙A)∈CM2×L中移除相同的行，然后對其排序，使第i行的元素對應于虛擬陣列的陣元位置為(-M2/4-M/2+i)d1，得到矩陣A1∈C((M2-2)/2+M)×L，這個操作類似移除矩陣z中相應的行，排序得到新的矩陣為

(11)

式中，e0∈C((M2-2)/2+M)×1，為除了第(M2/4+M/2)個元素是1，其余元素均為0的列向量.最后把矩陣z1分成(M2/4+M/2)個重疊的子陣，其中，每個子陣有(M2/4+M/2)個元素，第i個子陣的陣元位置為

(12)

第i個子陣對應的陣列接收數據矢量為

(13)

式中，矩陣A1i為(M2/4+M/2)×L維，其包含矩陣A1中從第(M2/4+M/2-i+1)行到第((M2-2)/2+M-i+1)行的元素.

由上面的分析容易得到

(14)

式中，

Φ=diag(exp(-jφ1)，exp(-jφ2)，…，exp(-jφL))

其中，φk=2πd1sinθk/λ.令

Ri

(15)

對Ri進行平均，可得到平滑后的新接收數據的協方差矩陣為

RSS

(16)

平滑后的ULA子陣陣元數MSS=M2/4+M/2，且平滑后的陣列流型為

ASS=[aSS(θ1)，aSS(θ2)，…，aSS(θL)]

(17)

式中，

(18)

由此可看出，此陣列流型同有MSS個陣元的ULA陣列流型相同.于是可以構造如下SS MUSIC算法的空間譜函數

(19)

式中，EN為最小特征值對應的噪聲子空間.

3　WSSS MUSIC算法

(20)

利用校正后的噪聲特征值對噪聲子空間進行加權處理，可以提高噪聲特征值信息量的利用率，而且校正值μ不影響信號特征值，可以保證目標信號的波達方向估計穩定且準確.由式(20)可知，校正值μ的選取會對算法的估計性能產生很大的影響，若μ值選取的過小，會使得對噪聲的抑制作用不明顯；若μ值選取的過大，會使信號特征值與噪聲特征值的差別太小，降低了目標信號波達方向估計的準確率，因此選擇一個最優的校正值μ十分重要.從實際的大量實驗數據可知，噪聲特征值中的最大值與其最小值之比小于2，即

λL+1/λMSS<2

(21)

將式(20)代入式(21)可得

(22)

(23)

(24)

將式(24)代入式(19)中得到校正后的噪聲子空間的譜函數為

(25)

在非理想環境下，通過校正值μ可以使噪聲特征值的發散程度受到抑制，可以在一定程度上抑制噪聲的影響，提高算法的分辨率.對噪聲子空間進行加權也只是利用了噪聲子空間的信息，卻沒有充分利用信號子空間的信息.由于特征分解協方差矩陣得到的信號子空間受噪聲起伏的影響相對較小，對非理想環境下引起的誤差不敏感，因此，為了充分利用新接收數據的信號子空間所包含的信息，可以利用主特征值的倒數對信號子空間進行加權，得到的譜函數表達式為

(26)

WSSS MUSIC算法不僅降低了噪聲的影響，而且有效地利用了新接收數據信號子空間的信息，使得算法在低信噪比和少快拍數的非理想情況下，對鄰近信號具有較高的分辨率，其空間譜函數為

(27)

算法的具體步驟如下：

1) 計算快拍數據協方差矩陣RXX，將其向量化，移除相同的行并排序，得到新的陣列接收數據矢量z；

2) 用空間平滑技術恢復矢量陣z的秩，并求得協方差矩陣RSS；

3) 對RSS進行特征值分解，將最大特征值對應的特征矢量構成的子空間定義為信號子空間ES=[v1，v2，…，vL]，最小特征值對應的特征矢量構成的子空間定義為噪聲子空間EN=[vL+1，vL+2，…，vMSS]；

4) 根據式(27)求出WSSS MUSIC算法的空間譜函數進行譜峰搜索.

4　仿真實驗

實驗1考慮兩個非相干的等強信號入射二階nested陣列，入射方向分別是10°和12°，信噪比為2 dB，快拍數為200，本文算法和SS MUSIC算法的空間譜圖比較如圖2所示.

圖2　兩種算法的空間譜比較Fig.2　Comparison in spatial spectra of two algorithms

由圖2可以看出，在低信噪比和小快拍數條件下，本文方法能夠準確檢測出兩個非常鄰近的信號(10°，12°)，而SS MUSIC算法的兩個鄰近信號的譜峰在空間譜上混疊成一個譜峰，算法失效.

實驗2考慮兩個非相干等強信號入射二階nested陣列，入射角分別為θ1=10°，θ2=θ1+Δθ，其中，Δθ∈[1°，8°]，信噪比為0 dB，快拍數為200，本文方法和SS MUSIC算法的分辨概率隨角度間隔變化的曲線如圖3所示.

圖3　分辨概率隨角度間隔的變化曲線Fig.3　Change curves of resolution probability with angle interval

由圖3可以看出，在低信噪比及小快拍數條件下，在角度間隔(小于5°)相同時，本文算法的分辨概率要比SS MUSIC算法高.而在識別成功率為1的前提下，本文算法有著更好的角度分辨率(角度間隔為4°).

實驗3兩個非相干等強信號源入射方向分別為10°和12°，在使用快拍數為200的條件下，設置信噪比從-4 dB按步長1 dB的間隔增加到10 dB時，進行1 000次Monte-Carlo實驗.對本文算法、SS MUSIC算法以及12個陣元ULA的MUSIC算法成功分辨概率進行比較如圖4所示.

圖4　三種算法成功分辨概率隨信噪比的變化曲線Fig.4　Change curves of success resolution probability with SNR for three algorithms

由圖4可以看出，在快拍數一定的條件下，隨著信噪比的增加，三種算法鄰近信號成功分辨率均隨之增大.但在小信噪比的時候，本文算法相對兩個鄰近信號分辨的成功概率最高.而SS MUSIC算法由于受信噪比及快拍數的限制無法使兩個鄰近信號(10°和12°)的成功分辨概率達到1，進一步說明了本文算法的分辨性能.

實驗4信源入射信號度不變，信噪比為5 dB，設置快拍數從1按步長40增加到601，進行1 000次Monte-Carlo實驗.本文算法、SS MUSIC算法及12個陣元ULA的MUSIC算法鄰近信號成功分辨概率隨快拍數變化曲線如圖5所示.

圖5　三種算法成功分辨概率隨快拍數的變化曲線Fig.5　Change curves of success resolution probability with number of snapshots for three algorithms

由圖5可以看出，在信噪比一定的條件下，三種算法對鄰近信號的成功分辨概率均隨著快拍數的增加而增大.而在快拍數較少時，WSSS MUSIC算法對兩個鄰近信號的成功分辨概率明顯優于其他兩種算法，在快拍數較大時，WSSS MUSIC算法的成功分辨概率幾乎和12個陣元ULA的MUSIC算法同時達到1.

5　結　論

本文提出了一種WSSS MUSIC算法，該方法通過對協方差矩陣向量化產生新接收數據，并將噪聲特征值加權子空間與加權信號子空間相結合，充分利用新接收數據協方差的特征值信息.仿真結果表明，在低信噪比和小快拍數條件下，WSSS MUSIC算法對鄰近信號的分辨性能優于SS MUSIC算法和具有相同物理孔徑的12陣元ULA的MUSIC算法，在實際應用中節省了陣元數，降低了硬件成本.

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(責任編輯：景勇英文審校：尹淑英)

DOA estimation with high resolution based on nested array

LIU Lu-tao, HAN Li, ZHANG Ming, ZHANG Hang

(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

In order to solve the problem that the resolution of nested array for adjacent signals is limited by such factors as signal to noise ratio (SNR) and number of snapshots, a weighted subspace smoothing MUSIC algorithm was proposed based on the nested array. The covariance matrix was vectorized in the algorithm to improve the degrees of freedom of whole array. The spatial smoothing was used to recovery the rank of newly received data vector matrix, and the corrected noise eigenvalues were adopted to weight the noise subspace. In addition, the spatial spectrum of signal subspace was synthesized, and the spatial spectrum function of new algorithm was obtained. Through searching the maximum value of spatial spectrum function, the DOA estimation was realized. The results show that under the condition of low SNR and small number of snapshots, the algorithm has high resolution of signals with relatively close interval.

nested array; covariance matrix; vectorization; degrees of freedom; spatial smoothing; weighting; DOA estimation; high resolution

2015-10-15.

國家自然科學基金資助項目(61202410).

劉魯濤(1977-)，男，黑龍江哈爾濱人，副教授，博士，主要從事寬帶信號處理、檢測與識別等方面的研究.

10.7688/j.issn.1000-1646.2016.05.10

TN 911.6

A

1000-1646(2016)05-0531-06

*本文已于2016-05-12 13∶56在中國知網優先數字出版. 網絡出版地址：http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20160512.1356.008.html