庫水-重力壩-無限地基系統地震響應分析*

劉鈞玉， 張　萍， 張思淼， 王宇暘， 寧寶寬

(1. 沈陽工業大學 建筑與土木工程學院， 沈陽 110870； 2. 大連理工大學 水利工程學院， 遼寧 大連 116024； 3. 東北大學 資源與土木工程學院， 沈陽 110819)

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庫水-重力壩-無限地基系統地震響應分析*

劉鈞玉1，2， 張萍1， 張思淼3， 王宇暘1， 寧寶寬1

(1. 沈陽工業大學 建筑與土木工程學院， 沈陽 110870； 2. 大連理工大學 水利工程學院， 遼寧 大連 116024； 3. 東北大學 資源與土木工程學院， 沈陽 110819)

為了分析庫水以及無限地基輻射阻尼對庫水-重力壩-無限地基系統的地震響應影響，通過比例邊界有限元法、有限元法以及無限單元法計算了庫水-重力壩-無限地基系統的響應.基于SBFEM計算上游壩面庫水壓力，利用無限單元法分析無限地基輻射阻尼的影響，以Koyna重力壩為研究對象，給出了重力壩在不同地基彈性模量條件下地震位移時程以及應力的響應，隨著地基彈性模量的增加，壩體響應增加.與無質量地基模型的計算結果進行對比，考慮無限地基輻射阻尼的計算結果較小.

有限元分析； 比例邊界有限元法； 重力壩； 庫水壓力； 無限單元； 動力相互作用； 無質量地基； 輻射阻尼

無限水域大壩與無限地基系統的動力相互作用對大壩的地震響應及大壩的抗震安全評價具有重要影響，因此受到很多研究人員重視.關于壩面動水壓力的計算，目前計算動水壓力的方法主要包括有限元法、邊界元法及比例邊界有限元法(scaled boundary finite element method，SBFEM)[1-3].有限元方法需要將無限水域截斷為有限水域，一般庫水范圍在3～5倍壩高，這樣較大范圍的水域計算對有限元網格而言計算量比較大，并且有時無法嚴格滿足遠處的輻射邊界條件即Sommerfeld輻射條件.邊界元法也需要考慮一個較大的有限水域來近似無限水域，而且由于基本解的要求使得程序實現相對復雜.比例邊界有限元法[4-6]集合了有限元方法和邊界元方法的優點，首先，其嚴格滿足無窮遠處的Sommerfeld輻射條件，且不需要基本解；其次，它僅需要離散結構與地基交界面上的部分邊界，從而降低了計算工作量.

本文應用SBFEM[7]計算庫水-重力壩-無限地基系統中庫水的動水壓力，考慮了庫水的可壓縮性和庫底岸坡邊界的吸收作用，并通過無限單元法計算無限地基輻射阻尼的影響，針對庫水-重力壩-無限地基系統進行分析，同時將計算結果與傳統的無質量地基模型的計算結果進行對比，結果表明，考慮無限地基輻射阻尼影響的響應比無質量地基的響應要小.此外，隨著地基彈性模量的增加，壩體的響應逐漸增大.

1　比例邊界有限元計算動水壓力基本方程

1.1動水壓力控制方程

對于重力壩，假設庫水是無粘性且小擾動理想液體，可壓縮性庫水在求解域內的控制方程為Helmholtz方程，即

(1)

(2)

庫底和岸坡邊界條件滿足

(3)

(4)

其中，α為庫底和岸坡的反射系數，當α=0時，表示不考慮邊界吸收作用，即全反射情況，此時庫底相當于剛性，完全沒有淤沙的存在；當α=1時，代表庫底和岸坡對動水壓力波的完全吸收作用.庫區表面邊界條件(忽略庫區表面微幅重力波)為

p=0

(5)

無窮遠處邊界條件為

(6)

式(6)采用標準的Sommerfeld邊界條件，由于本文采用比例邊界有限元方法，因此，無窮遠處的邊界條件是自動滿足的.

1.2有限元方程及求解

1.2.1動水壓力比例邊界有限元方程

采用比例邊界有限元方法對庫水進行離散，由于庫水可以理想化為沿著壩面上游方向延伸到無窮遠處，因此，把比例邊界有限元的相似中心O選在下游無窮遠處，即可以不離散庫水表面和庫底.本文假定壩前水深恒定不變，從而可以使問題大為簡化，離散的區域只有大壩迎水面，如圖1所示.

圖1　重力壩與庫水離散示意圖Fig.1　Schematic discrete for gravity dam and reservoir water

對式(1)～(3)使用加權余量方法可以得到關于動水壓力的積分方程弱形式，即

(7)

式中：w為權函數；ΓS表示壩面；Γb為壩體與庫底的交界線.在重力壩的情況下，二者分別退化為線和點.對式(7)進行分部積分，可以得到關于動水壓力的頻域控制方程及其壩面邊界條件，即

(8)

B1=b1N

B2=b2N

式中：J為雅克比矩陣；η為SBFEM的軸向坐標；b1、b2為雅克比逆矩陣的第一列與第二列；N為型函數向量.

1.2.2有限元方程求解

為了求解已經建立的動水壓力控制方程，引入新的變量，即

(9)

式中，

(10)

則式(9)可表示為

(11)

式中：

(12)

(13)

矩陣Z為Hamilton矩陣，其具有成對出現特征值的特性，使用特征值方法對式(11)進行求解，先求解Z的特征值問題，即

ZΦ=ΦA

(14)

則X的解為

X=ΦeλξConst

(15)

式中：λ為特征值矩陣；Φ為特征向量；A為特征向量的逆矩陣；Const為一組積分常數.從而可以得到控制方程的解，即

(16)

式中，F為余項矩陣，表達式見式(12).

在本文所研究的波傳播問題中，對于由求解動水壓力控制方程所引出的特征值則表示壩水系統的特征頻率，且實部為正的特征值對應的特征向量代表波的傳播模態，實部為負的特征值表示波的消散模態.當ξ→∞時，消散模態應為零，即水庫上游無窮遠處的動水壓力應為零，此時，解的形式完成了對無窮遠邊界條件的自動滿足.當ξ=0時，可以得到壩面上的動水壓力X(ξ，ω)的兩個分量，即

(17)

從而得到壩面動水壓力，即

(18)

式中，T為余項矩陣，其表達式為

(19)

只有水平向地震激勵時F=0，則有

(20)

由式(17)動水壓力沿水庫方向的衰減可得

(21)

由此可見，動水壓力沿水庫方向按指數規律衰減，壩面各點衰減規律相同，沿水庫方向ξ等于常數的直立面上的動水壓力分布規律相同.

2　無限地基模擬

關于無限地基的模擬，主要有全局法和局部法兩種模擬方法，在工程應用中，一般采用無質量地基進行近似模擬無限地基.本文采用局部法中的無限單元法[8-10](infiniteelements)模擬無限地基的輻射邊界條件.無限單元法的特點如下：

1) 通過位移插值函數使得在有限域與無限域交界面處的位移逐漸線性衰減到無窮遠處為0的特點，從而考慮了無窮遠處的邊界條件；

2) 計算過程中能較好地吸收各種反射波，從而較好地模擬了半無限域地基的輻射阻尼效應，也就是考慮了結構-無限地基的動力相互作用；

3) 具有良好的穩定性，可用于長持時波動問題研究，因此，被嵌入到ABAQUS軟件中模擬無限域的波動傳播問題.

(22)

圖2為入射波動時程圖.彈性介質力學參數[11]為：彈性模量E=13.23GPa，泊松比ν=0.25，質量密度ρ=2 700kg/m3，橫波cs=1 400m/s，縱波cp=2 425m/s，計算區域的范圍為762m×381m，有限單元尺寸為19.05m×19.05m，時間步長取為0.005s.計算得到B(0，0)，G(-19.05，0)，H(19.05，0)，E(0，-381)，I(-19.05，-381)，J(19.05，-381)等6個點的豎向位移時程，如圖3所示.從底部E、I、J三個點的位移時程可以看出其豎向位移值基本相同.從頂部B、G、H三個點的豎向位移時程以及位置可以看出，B、G、H三點的位移值相同，說明是由入射波和反射波共同引起的位移時程，且頂部豎向位移的最大值為接近入射波幅值的2倍，如圖4b是圖4a的2倍.

圖2　入射波動時程圖Fig.2　Time history of input wave

圖3　有限元-無限元網格圖Fig.3　Finite element-infinite element mesh

3　庫水-壩體-地基系統模擬

3.1均勻無限地基模型

本文以Koyna壩為例，采用無限單元法與無質量地基模型模擬無限地基.重力壩的壩高103m，底部寬70m，上游壩面垂直于地基，地震時庫水深90m，網格中包含了760個4節點平面應變單元，每層20個單元，最大單元尺寸為2.708m，最小單元尺寸為2.083m，彈性模量E=3.102 7GPa，泊松比ν=0.15，質量密度ρ=2 643kg/m3.地基的上下游范圍分別取壩高的1、1.05、1.2、1.5、1.7倍5種情況，網格中包含了836個4節點平面應變單元和64個4節點平面應變無限單元，最大有限元單元尺寸為7.30m，最小有限元單元尺寸為2.354m，最大無限元單元尺寸為14.59m，最小無限元單元尺寸為10.00m，彈性模量E=7.3GPa，泊松比ν=0.3，質量密度ρ=2 842kg/m3，地基與基礎之間使用了過渡網格的形式，最后將無質量的有限元地基(見圖5a)分別與1、1.05、1.2、1.5、1.7倍無限元地基(見圖5b)進行了比較.

圖4　P波垂直入射時各點豎向位移時程Fig.4　Time history of vertical displacement for variouspoints under normal incidence of P wave

圖5　重力壩與兩種地基網格離散圖Fig.5　Discrete of gravity dam andmesh of two foundations

計算中輸入順河向Koyna地震波，其加速度峰值為0.3 g，大壩-地基混凝土阻尼比選為5%，總計算時間為29.98s.庫水水位按照90m水深計算，計算結果如表1、2所示.

表1　作用在兩種地基上的壩體最大應力

注：St表示最大拉應力，Sc表示最大壓應力.

由表1、2對比可知，無質量地基模型的位移及拉壓應力的響應均比無限地基(即1.7倍無限地基)模型的響應要大.

表2　作用在兩種地基上的壩體最大位移

注：Umax表示正向最大位移，Umin表示負向最大位移.

3.2不同彈性模量情況下無限地基

為了比較不同地基彈模對輻射阻尼的影響，引入系數U，U=Ed/Ef，其中，Ed是重力壩的彈性模量，Ef是地基的彈性模量，取U分別為0.25、0.5、1.0、1.5、2.0、4.0、8.0這7種情況，將其中6種情況分別與U=1這一情況進行比較，計算結果如表3、4和圖6所示.

表3　不同地基彈性模量情況下壩體最大應力

表4　不同地基彈性模量情況下壩體最大位移

由圖6和表3、4可以看出，無限地基模型地基彈模的不同，對于重力壩的動力響應有著顯著差別，壩體彈模不變，U變大，地基彈模越小，表明地基越柔軟，但是在U=2時，應力與位移均達到最大，在0.25～2之間，拉壓應力均成遞增趨勢，位移變化也逐漸增大；在2～8之間，位移與應力響應呈逐漸遞減趨勢.這是因為地基的柔度過大，已經達到極限，這時整體大壩的動力響應增大，因此，地基彈模是決定地基輻射阻尼影響大壩響應的重要因素，彈模越小，地基剛度越小，地基輻射阻尼效應越顯著.

圖6　不同彈性模量情況下水平位移變形曲線圖Fig.6　Curves for horizontal displacement deformationunder different elastic modulus conditions

4　結　論

本文通過比例邊界有限元方法、有限元法以及無限單元法計算了庫水-重力壩-無限地基系統的響應，基于比例邊界有限元SBFEM方法計算上游壩面庫水壓力，基于無限單元法考慮無限地基輻射阻尼的影響.以Koyna重力壩為研究對象，給出了重力壩的地震位移時程以及應力的響應，并與工程中常用的無質量地基模型的計算結果進行對比，結果表明，考慮輻射阻尼的無限地基計算得出的結果比無質量地基模型計算得出的結果小.通過對重力壩在無質量地基模型與無限地基模型的對比、不同彈性模量情況下的對比得出以下結論：

1)SBFEM方法可以方便有效地計算無限水域與壩體的相互作用問題；

2) 基于無限元考慮輻射阻尼的無限地基相對于無質量截斷的有限元地基而言，應力與位移都有一定的降低；

3) 在不同的地基彈性模量情況下，隨著地基彈性模量的增加，壩體響應增加.

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(責任編輯：鐘媛英文審校：尹淑英)

Seismic response analysis for reservoir water-gravity dam-infinite foundation system

LIU Jun-yu1, 2, ZHANG Ping1, ZHANG Si-miao3, WANG Yu-yang1, NING Bao-kuan1

(1. School of Architecture and Civil Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China; 2. School of Hydraulic Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 3. School of Resource & Civil Engineering, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

In order to analyze the effect of reservoir water and infinite foundation radiation damping on the seismic response of reservoir water-gravity dam-infinite foundation system, the response of reservoir-gravity dam-infinite foundation system was calculated with the scaled boundary finite element method (SBFEM), finite element method (FEM) and infinite element method. The reservoir water pressure at the upstream surface of gravity dam was calculated based on SBFEM, and the effect of the infinite foundation radiation damping was analyzed with the infinite element method. Through taking Koyna gravity dam as the research subject, the response of seismic displacement time history and stress of gravity dam under the condition of different elastic modulus of foundation was obtained. With increasing the elastic modulus of foundation, the dam response increases. Compared with the calculated results from the massless foundation model, it is found that the calculated results with considering the effect of infinite foundation radiation damping are smaller.

finite element analysis; scaled boundary finite element method; gravity dam; reservoir water pressure; infinite element; dynamic interaction; massless foundation; radiation damping

2015-11-02.

國家自然科學青年基金資助項目(51109134/E090801，51208310，51408585)； 中國博士后基金資助項目(2013T60283).

劉鈞玉(1978-)，男，遼寧沈陽人，副教授，博士，主要從事斷裂力學數值方法和結構地基相互作用等方面的研究.

10.7688/j.issn.1000-1646.2016.05.16

TU 398

A

1000-1646(2016)05-0566-07

*本文已于2016-05-12 13∶56在中國知網優先數字出版. 網絡出版地址：http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20160512.1356.016.html