《概率》教學的幾點建議

梁木

概率與統計是高中數學教學中學生難于理解的內容之一。筆者結合多年的教學實踐總結了以下教學經驗，在教學中這些都是學生容易發生的錯誤，僅供參考。

一、等可能事件的判斷

例1：擲兩枚骰子，求事件A為出現的點數之和等于3的概率。

錯解：擲兩枚骰子出現的點數之和的可能數值為{2，3，4，……，12}，有利于事件A的結果只有3，故 P（A）=。

分析：公式僅當所述的試驗結果是等可能性時才成立，而取數值2和3不是等可能的，2只有這樣情況（1，1）才出，而3有兩種情況（1，2），（2，1）可出現，其它的情況可類推。

正確答案 擲兩枚骰子可能出現的情況：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），結果總數為6×6=36。

在這些結果中，事件A的含有兩種結果（1，2），（2，1）。

二、等可能事件中事件總數與事件A包含事件數計算方法不一致的問題

例2：從含3件次品的10件產品中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。

錯解：因為第一次有10種取法，第二次有9種取法，第三次有8種取法，第四次有7種取法，由乘法原理可知從10件取4件共有10×9×8×7種取法，故從10件產品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7個可能的結果。

設A=“取出的4件中恰有1件次品”，則A含有 種結果（先從3件次品中取1件，再從7件正品中取3件），

分析：計算所有可能結果個數是用排列的方法，即考慮了抽取的順序；而計算事件A所包含結果個數時是用組合的方法，即沒有考慮抽取的順序。

正解：（1）都用排列方法

所有可能的結果共有個，事件A包含個結果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有種方式，對于每一方式，從3件次品中取一件，再從7件正品中一件一件地取3件，共有種取法）

（2）都用組合方法

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有個可能的結果，事件A含有種結果。

三、互斥與獨立概念不清楚

例3：甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？

錯解：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為A+B。

分析：本題錯解的原因是把相互獨立同時發生的事件當成互斥事件來考慮。將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和。

正確解答：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件AB。

例4：某家庭電話在家中有人時，打進的電話響第一聲時被接的概率為0.1，響第2聲時被接的概率為0.3，響第3聲時被接的概率為0.4，響第4聲時被接的概率為0.1，那么電話在響前4聲內被接的概率是多少：

錯解：設電話響第1聲時，被接的概率為：P（A1）=0.1

電話響第2聲時被接的概率為：P（A2）=0.3，

電話響第3聲時被接的概率為：P（A3）=0.4，

電話響第4聲時被接的概率為：P（A4）=0.1，

所以電話在響前4聲內被接的概率是：P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）

分析：本題錯解的原因在于把互斥事件當成相互獨立同時發生的事件來考慮，而電話在響前4聲內，每一聲是否被接彼此互斥。

正解：P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）

分析：以上兩例錯誤的原因都在于把兩事件互斥與兩事件相互獨立混同。兩事件A，B互斥與A，B相互獨立，這兩個概念有何關系？.A，B互斥，則P（A︱B）=0，P（A︱）= P（A）從而A發生的概率與另一事件B是否發生密切相關。而那種認為“兩事件相互獨立必定互斥”的認識是錯誤的。因為在P（A）>0，P（B）>0的條件下，若A，B相互獨立，則P（AB）=P（A）·P（B）>0；而若A，B互斥，則P（AB）=0，兩個概念出現矛盾，這就說明在P（A）>0，P（B）>0的情況下，相互獨立不能互斥。

因此，在一般情況下，互斥與相互獨立是兩個互不等價，完全不同的概念。

四、混淆互斥與對立的概念

例5：從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）

（A）至少有1個白球，都是白球

（B）至少有1個白球，至少有1個紅球

（C）恰有1個白球，恰有2個白球

（D）至少有1個白球，都是紅球

錯誤答案（D）。

分析 本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同

要準確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件的聯系與區別，這二者的聯系與區別主要體現在以下三個方面：

（1）兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；

（2）互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；

（3）兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生，即至多只能發生其中一個，但可以都不發生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發生。

正解（A），（B）不互斥，當然也不對立，（C）互斥而不對立，（D）不但互斥而且對立，所以正確答案應為（C）。

五、元素相同與不同的判斷

例7；將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中去（每個盒子容納球的個數不限），求事件A=“某指定的n個盒子中恰好各有一球的概率”。

錯解：將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中，所有可能的結果數為Nn，而事件A含有n！種結果。

分析：這種解法不全面，如果球是編號的（即可辨認的），則答案是對的；若球是不可辯認的，則答案完全錯了。因為球是不可辯認的，故只考慮盒子中球的個數，不考慮放的是哪幾個球。我們在此用符號“□”表示一個盒子，“○”表示球，先將盒子按號碼排列起來1 2 3 4 5…N

這樣的N個盒子由N+1個“|”構成，然后把n個球任意放入N個盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在這樣的放法中，符號“|”和“○”共占有：N+1+n個位置，在這N+1+n個位置中，開始和末了的位置上必須是“|”，其余的N+n-1個位置上“|”和“O”可以任意次序排列。則N-1個“︱”和n個“○”在中間的N+n-1個位置上的可以區別的所有可能結果數是，將n個不可辨認的球放入指定的n個盒子，使每盒恰有一球的放法只有1種，故事件A含1個結果，從而正解：分兩種情況：

（1）當球是可辯認的，則 P（A）=n！/Nn

（2）當球是不可辨認的，則 P（A）=1/

以上是學生在學習概率中經常出錯的地方，老師在教學中應該針對以上的問題進行教學，希望我們在教學中積極的總結經驗，為B版教材的完善做出應有的貢獻。