基于熵權和多目標優化的投標報價方案優選

南鐵雷

摘要： 隨著招標投標制的推行以及工程量清單計價方式的實施，我國水利工程建設市場面臨著越來越激烈的競爭，投標人為了在盡可能中標的同時實現利益的最大化，往往采用不平衡報價法進行投標。這不僅對發包人的經濟利益造成損害，還擾亂了招投標的正常秩序，因此發包人在評標階段要對各投標方案進行優選。本文將熵權理論引入多目標優化的數學模型中，利用熵權法較為客觀地確定各指標權重，并通過分析計算各投標方案與理想點間的相對海明距離，確定各投標方案的不平衡度，從而達到優選投標方案的目的。案例分析表明，該方法準確有效，能夠為招標人評標提供參考和依據。

Abstract： With the implementation of the bidding system and the implementation of the bill of quantities， the competition in the construction market of water conservancy projects is becoming increasingly fierce， the bidder in order to achieve the best possible bidder and achieve the maximum benefits， often using unbalanced bidding method. This not only damages the interests of the employer， but also disrupts the normal order of the bidding. Therefore， the employer in the bid evaluation stage to optimize the tender scheme. In this paper， the author introduced the theory of entropy weight into the mathematical model of multi-objective optimization， and used it to determine the index weight objectively. Then the author analysed and calculated the Relative Hamming Distance of each bidding scheme and the ideal point， and determined the degree of imbalance in the tender. Thereby we can select the best winner. The case analysis shows that the method is accurate and effective， and can provide reference and basis for the bid evaluation.

關鍵詞： 熵權；多目標優化；招標投標；不平衡報價

Key words： entropy weight；multi-objective optimization；bid invitation；unbalanced bids

中圖分類號：TU712 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）09-0030-04

0 引言

隨著水利工程建設市場的競爭日趨激烈，投標人為了中標盈利并轉移風險，往往采用不平衡報價策略進行投標。不平衡報價是指投標人綜合考慮本企業的實際水平和市場因素，通過常規報價分析確定投標總報價后，在總報價基本不變的基礎上，刻意增大或減小某些項目的報價，以期帶來收益最大化的投標報價策略[1-2]。不平衡報價者一旦中標，必然會導致“低價中標，高價結算”，使發包人的利益遭受損失，因此在評標階段要對各投標報價方案進行優選，避免不平衡報價者中標。Tong和Lu（1992年）[3]對不平衡報價的概念和運用形式進行了較為詳細的分析。烏云娜、郝越明[4]量化分析了不平衡報價可能給發包人增加的支出。唐曉飛[5]分析了在評標階段招標人如何定量識別報價的不平衡程度。本文將熵權引入到多目標優化的數學模型中，以合理的評價基點為基準，提出一種通過分析各投標人的清單項目投標單價確定不平衡度的方法，為招標人評標提供參考。

1 多目標優化理論

在一個復雜的系統工程中，事件往往是多目標問題。理想情況下，每個多目標問題都存在能使所有目標達到最佳的方案，但在現實情況下，由于目標間存在相互關聯和制約，很難找到一個能夠使多目標問題的所有目標同時達到最優的方案。為了解決實際問題，我們不得不在所有可行方案中選擇合適較優的方案，因而多目標優選問題就轉化為了整體擇優問題。多目標問題各個目標的量綱往往不同，不具有可比性，需先對數據進行無量綱化處理，再運用理想點法，計算比較所有非劣解與理想點之間的距離特征值，則該多目標問題的優化解就是與理想點最接近的非劣解[6-7]。

1.1 構建多目標模型

設多目標問題有p個目標，分別為：

f1（x），f2（x），…，fp（x）

將目標優化（越大越優或越小越優），可表示為：

max或min{f1（x），f2（x），…，fp（x）} X∈D

若存在X*，使f1（x），f2（x），…，fp（x）達到最優，則稱X*為該問題的理想點，即存在

F（X*）=[f1（X*），f2（X*），…，fp（X*）]T

滿足所有約束條件。

而最接近理想點的非劣解即為優化解。

若非劣解分別為：

F1（x）=[f11（x1），f12（x1），…，f1p（x1）]T

F2（x）=[f21（x2），f22（x2），…，f2p（x2）]T

…

Fk（x）=[fk1（xk），fk2（xk），…，fkp（xk）]T

而該多目標問題的理想點為：

F*=[f1*，f2*，…，fp*]T

式中的fj*由原目標優化求出。則此時的fj*可統一表達為：

X=（x1，x2，…，xn）T，使max或min fj（x）約束于qj（x）？燮0（j=1，2，…p）

從而將非劣解和理想點的目標值用最優隸屬函數？滋（fij）表征，非劣解的目標值在目標論域上的模糊子集為：

=[？滋（f11），？滋（f12），…，？滋（f1p）]T

=[？滋（f21），？滋（f22），…，？滋（f2p）]T

…

=[？滋（fk1），？滋（fk2），…，？滋（fkp）]T

理想點的目標值在目標論域上的模糊子集為：

=[？滋（f1*），？滋（f2*），…，？滋（fp*）]T

這樣，不同量綱的目標值，均可用模糊隸屬函數法處理后進行計算。

1.2 隸屬函數

以上模糊子集可用隸屬函數來表征，其隸屬函數分為定量指標隸屬函數和定性指標隸屬函數，分別描述為：

①定量指標隸屬函數。

若目標屬性以小為優，即越小越優，則其最優隸屬函數可表示為：

？滋ij= （1）

式中，？滋ij為第i方案第j個目標的最優隸屬函數；fij為第i方案第j個目標的函數值（即目標值）；max（fij）為所有方案第j個目標的最大目標值；f*j為第j個目標的理想目標值。

若目標屬性以大為優，即越大越優，則最優隸屬函數可表示為：

？滋ij= （2）

式中，min（fij）為所有方案第j個目標的最小目標值。

②定性指標隸屬函數。

定性指標可提前設立相應的模糊評語，按預設的模糊評語對評價指標進行分級并賦值，從而將其量化，再按定量指標確定隸屬函數。

1.3 目標權重系數

目標的權重系數表明該目標在整個問題中的重要程度。權重系數越大，相對重要程度越高；權重系數越小，相對重要程度越低。確定目標權重系數的方法有很多，本文采用熵權法。

1.4 求得優化解

求解多目標問題可引入模糊數學中的距離概念，通過計算并比較各非劣解與理想點間的距離確定解的優劣程度，求得該問題的優化解。模糊數學中計算距離的公式有很多，此處選用相對海明距離公式。設 、 是目標論域中的兩個模糊子集，則二者間的相對海明距離為：

？姿[ ， ]= （1-qj）？滋（fj*）-？滋（fij）（3）

式中，p為多目標優化問題中目標的個數，qj為第j個目標的權重系數，且 qj=1。

距離理想點最近的非劣解為該多目標問題的優化解，顯然min ？姿[ ， ]為優化解，即第i方案距離理想點最近，為最優方案。

2 熵權模型

指標權重的確定直接影響評價的結果。熵是信息無序化程度的反映，本文用其度量指標的差異程度。評價指標的信息熵越小，其對應的熵權越大。熵權計算過程如下[8]：

①構建判斷矩陣R：

設有m個評價事物，n個評價指標，則

R=（xij）mn（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）

②判斷矩陣的歸一化：

bij= （4）

式中：xmax、xmin分別為不同方案中同一指標的最大值和最小值。

歸一化處理后得到歸一化判斷矩陣B：B=（bij）mn（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）

③確定評價指標的熵值Hi為：

Hi=- fijlnfij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）（5）

其中：

fij= （6）

根據評價的實際意義，當fij=0時，認為ln fij是一較大數值，與fij相乘趨于0，故fij ln fij=0。但當fij=1，ln fij=0，則二者相乘的結果fij ln fij=0，此結果與實際相悖，故現對fij進行修正，將其定義為：

fij= （7）

④計算評價指標的熵權矩陣W：

其中：？棕i= ，且滿足 ？棕i=1（8）

3 實例分析

現有一公開招標的倒虹吸工程，表1是其主要工程量清單。投標的施工企業中有6家通過了資格預審，各企業相應的土建施工項目投標報價情況如表2所示（表2中的評價基點為同一項目所有投標企業所報單價的平均值）。6家投標企業的總報價十分接近，但各企業針對不同項目的投標報價卻有較大差別，不平衡報價的現象顯然存在。

3.1 目標隸屬函數值

①目標隸屬函數的建立。

本文選取投標單價的合理值為理想點，可建立如下最優隸屬函數：？滋ij=1- （9）

式中，？滋ij為第i投標方案第j個項目的最優隸屬函數，且？滋ij∈[0，1]；fij為第i投標方案第j個項目的函數值（也即目標值）；f 為第j個項目的理想值，即評價基點。

②目標隸屬函數值的計算。

根據式（9）分別計算表2中各指標的隸屬函數值如表3所示。

3.2 評價指標權重系數的確定

①構建綜合判斷矩陣R：

根據表2數據，構建關于6個投標企業、9個投標報價的綜合判斷矩陣R。

R=

②求歸一化判斷矩陣B：

根據式（4）對矩陣R歸一化處理，得到歸一化判斷矩陣B： B=

③計算熵值Hi和熵權？棕i

根據式（5）、（7）、（8）計算各評價指標的熵值Hi和熵權？棕i，如表4所示：

則權重集=

{0.107，0.100，0.101，0.135，0.093，0.098，0.137，0.092，0.138}。

3.3 求解多目標優化解

由式（3）可計算各投標方案較之理想方案的相對海明距離，此距離可用來比較各投標方案間的不平衡度，即相對海明距離越小，不平衡度越低，方案越優；相對海明距離越大，不平衡度越高，方案越劣。其中第j個目標的最優值？滋（f ）=1（j=1，2，…，9）。

企業1：？姿[ ， ]= [（1-0.107）（1-0.910）+（1-0.100）（1-0.654）+（1-0.101）（1-0.500）+（1-0.135）（1-0.617）+（1-0.093）（1-0.732）+（1-0.098）（1-0.670）+（1-0.137）（1-0.914）+（1-0.092）（1-0.932）+（1-0.138）（1-0.998）]=0.206；

同理可求得其他5家投標企業的相對海明距離，如表5所示。

則min？姿[ ， ]=min{0.206，0.418，0.496，0.680，0.589，

0.377}=0.206。

由此可看出企業A的投標報價與理想點距離最近，其投標報價的不平衡度最小，為最優投標單位。

3.4 結果分析

在上述案例中，6家企業的投標總價相差不大，但同一項目的單價卻有很大出入。通過分析建模計算結果得出，企業A的投標報價不平衡度最小，各項報價與理想單價最為接近，是最優的投標方案。而企業D的投標報價不平衡度最大，是最劣的投標方案。

4 結語

評標并確定中標者是工程中一個重要的階段，它直接決定著工程的成敗。而價格因素又是評標中重點考慮的因素。因此，如何通過對各投標報價方案的分析優選出最佳方案，盡可能避免不平衡報價者中標，已經成為工程實際中亟待解決的問題。本文將熵權引入到多目標優化的數學模型中，以合理的評價基點為基準，通過對各投標人的清單項目投標單價進行對比分析求得其不平衡度，據此優選出最佳投標方案。通過案例分析可知，本方法簡便易行，可借助EXCEL方便快捷地計算比較各投標人報價的不平衡度，為招標人評標提供更多參考。

參考文獻：

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[3]Tong YZ，Lu YJ.Unbalanced bidding on contracts with variation trends in client-provided quantities [J]. Construction Management and Economics，1992，10（1）：69-80.

[4]烏云娜，郝月明.不平衡報價的量化分析及研究[J].建筑經濟，2007（7）：62-64.

[5]唐曉飛.基于工程量清單計價模式下的不平衡報價研究[D].華東交通大學，2014.

[6]張國安，王孟鈞，李屹.基于多目標優化的無碴軌道鋪設施工方案優選[J].科技進步與對策，2009，26（11）：19-21.

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[8]張先起，梁川.基于熵權的模糊物元模型在水質綜合評價中的應用[J].水利學報，2005，36（9）：1057-1061.