導數在經濟分析中的應用

張曉麗　李東平

摘 要：數學在現代經濟學中的作用越來越重要，導數作為高等數學中的一個重要概念，是經濟學應用的一個重要工具。本文運用導數作為分析工具，對每個經濟環節進行定量分析，并通過彈性分析與邊際分析的有機結合，衡量出如何確定最優的價格以獲取最大利潤。利用導數來解決經濟問題是非常有效的方式，使我們既可以從數學的角度得出結論，又可以在經濟的理論上得到合理解釋，從而達到為企業經營者的科學決策提供依據的目的。

關鍵詞：導數；經濟學；邊際分析；彈性分析；優化分析

一、導數的定義及幾何意義

定義：設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果極限存在，則稱函數f（x）在x0處可導，并稱其極限值為函數f（x）在x0處的導數，記為f ′（x0），即f ′（x0）=。其中令x=x0+Δx，Δy=f（x0+Δx）-f（x0），則公式可改寫為==f ′（x0）。所以f ′（x0）是Δy與Δx之比的極限。稱為函數關于自變量的平均變化率（又稱差商），而f ′（x0）則為函數f（x）在x0處關于x的變化率。如果導數定義中極限不存在，那么稱函數f（x）在點x0處不可導。

函數y=f（x）在點x0的導數f ′（x0）的幾何意義是：y=f（x）在點（x0，y0）處切線的斜率。

二、導數在經濟分析中的應用

（一）邊際與邊際分析

如果y=f（x）在x0處可導，那么它在x=x0處的變化率為，即函數y=f（x）在點x0的導數f ′（x0），在經濟分析中我們稱它為f（x）在點x0處的邊際函數值。設在點x=x0處，x從x0改變一個單位時y的增量Δy的準確值為Δy

x=x0

Δx=1，由于實際的經濟問題中，x一般是一個比較大的量，而Δx=1與x相比就可以看作是一個相對較小的量，由微分學可知，Δy的近似值可表示為Δy

x=x0

Δx=1≈dy=f ′（x）Δx

x=x0

Δx=1=f ′（x0）。這說明f（x）在點x0處，當x改變一個單位時，y近似的改變f ′（x0）個單位。在實際應用中，我們通常略去“近似”二字，來解釋邊際函數的定義。于是，就有以下定義：設函數y=f（x）可導，則稱導數f ′（x）為邊際函數，稱f ′（x0）為f（x）在點x0處的邊際函數值。

（二）彈性與彈性分析

彈性也是經濟學中重要的概念之一，它反映了一個經濟變量變化對另一個經濟變量變化的影響程度。彈性常用于對需求、供給、生產收益等問題的討論。彈性的計算有兩種：點彈性和弧彈性。這里我們只介紹函數的點彈性。下面將給出一般函數的彈性定義。設函數y=f（x），Δx和Δy分別為自變量和函數的絕對改變量，Δx/x和Δy/y分別稱為自變量的相對改變量和函數的相對改變量，而

稱為函數f（x）從x到x+Δx兩點間的彈性，若y=f（x）在點x處可導，則稱

=·=y ′·=f ′（x）·為f（x）在點x處的彈性，記作。對于一般的x，是x的函數，稱為f（x）的彈性函數。在點x0處的值記為

x=x0，當Δx很小時，

x=x0≈

。這說明，

x=x0表示在點x0處，當x相對改變量為1%時，f（x）近似改變了

x=x0%（在應用中常常略去“近似”），也就是說，反映f（x）隨x的變化而變化的幅度，即f（x）對x變化反應的靈敏度。

三、優化分析

經濟學中經常遇到的優化問題，例如最大產出分析、最大收入分析、最大利潤分析、資源合理利用的優化分析等，數學的最優化求解方法是這類問題的主要解決方法。進行優化分析可以幫助企業管理者以最低的生產成本獲得最大化收益，意義非常深遠。這里考慮運用邊際函數求最大利潤。利潤等于收入減去成本，邊際利潤為邊際收入減去邊際成本，即ML=MR-MC。

1）當MR-MC>0時，每增加一個單位的產品，所增加的收益大于所增加的成本，因而總利潤增加，但沒能達到獲得最大收益的規模，此時，企業應該擴大生產規模。

2）當MR-MC<0時，每增加一個單位的產品，所增加的收益要小于所增加的成本，從而總利潤減少，說明企業應該減少生產規模。

3）當MR-MC=0時，即MR=MC，企業達到最優的產量規模。即L（x）取得最大值的必要條件是：邊際收益與邊際成本相等。另外，如果要保證利潤取得最大值，利潤對產量的二階導數必須小于零，即：=-<0，即<。其中，是邊際收益的變化率，即邊際收益曲線的斜率，是邊際成本的變化率，即邊際成本曲線的斜率。所以，利潤最大化的必要條件是邊際收益邊際成本相等，充分條件是邊際成本曲線的斜率大于邊際收益的曲線的斜率。不管是競爭性的還是非競爭性的企業都適用。

通過以上分析，我們發現，在達到某一點x0之前，增加產量會使企業獲利增加；過了這一點，產量增加反而會使利潤減少。

以上只是導數應用的一小部分，然而其他優化問題還有很多，例如稅收的最大化問題、最佳存款利息等等，而這類問題在引入導數的概念以后更加容易解決。

參考文獻：

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項目號：

1.吉教科合字[2004]第104號：微分包含定性理論在經濟預測中的應用研究

2.吉教科合字[2005]第166號：數學模型在經濟投資決策方案中的應用研究