九年級數學專題復習中的模型建構探討

余世豪

【摘 要】數學模型是數學思維的支撐點，是數學知識的附著點，也是數學應用的突破點；數學模型思想的建立，是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。因此，在初中數學教學中，教師應重視模型思想的滲透，讓學生經歷建立模型，利用模型解題的過程。

【關鍵詞】構建；基本模型；效率

一、教學片段與點評

片段一：構建基本模型，積累經驗

出示原題：直線l表示草原上的一條河流，一騎馬少年從A地出發讓馬去河邊飲水，然后返回于B地家中，他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線。

生1：只要作點B關于直線l的對稱點B，然后連接點B和點A，與直線l的交點為C，連接BC即可。所求的最短路線就是圖中的A-C-B。

師：這樣作圖的依據是什么？

生2：三角形兩邊之和大于第三邊。

生3：應該是“兩點之間線段最短”。

師：其實兩位同學說的都對。這個問題實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決。我們可以把這個問題歸納為“馬飲水”的數學模型，解決此類問題的方法就是通過作點關于線的對稱點，實現化“同”為“異”，化“折”為“直”。

片段二：探究基本模型，深化認識

問題1：如圖，BC=6cm，以BC為直徑作⊙O，D是半圓BC的一個三等分點，E是半圓BC的一個六等分點，P是直徑BC上一動點，連接DP、EP，則DP+EP的最小值是 cm。

生4：作點E關于BC的對稱點E，連接DE， DE的長度就是所求的最小值……

問題2：如圖，BC=6cm，以BC為邊作△ABC，點D、E分別是AB、AC邊的中點，且BC邊上的高為4，BC邊上有一動點P，使得△PDE周長最小。

①、請你在BC邊上作出點P，保留作圖痕跡，不寫作法。

②、請直接寫出△PDE周長的最小值： 。

生5：作點D關于BC的對稱點D，連接ED， 利用勾股定理可求出ED的長度，也就是所求的最小值，所以答案應該是5。

生6：不對。5是PD+PE的最小值，△PDE周長的最小值應該再加上DE的長，正確答案是8……

片段三：拓展基本模型，提升思維

問題3：如圖，一個底面半徑為1cm，高度為2πcm的無蓋圓柱形玻璃容器，A、B兩點在容器頂部一條直徑的兩端，現有一只小甲蟲在容器外部A點正下方1cm的M處.

（1）若容器外部B點正下方，距離底部1cm的N處有食物，則這只小甲蟲要到N處，最短爬行的距離____cm。

（2）若N點是在容器的內部，則小甲蟲最短爬行的距離是____cm。

生7：題（1）只要利用兩點之間線段最短，在圓柱的側面展開圖上直接MN就可以了。

生8：題（2）與題（1）相同。

生9：我認為不同，因為食物是在容器的內部，小甲蟲在容器外部，所以小甲蟲從想點M爬到點N，必須先爬到容器口，所以應該在圓柱的側面展開圖中作點M關于AB的對稱點M，連接MN，就可以用勾股定理求出最短路徑是cm……

二、教學啟示：

（一）數學教學要重視基本模型的構建與挖掘

教師要立足日常課堂教學，有意識地引導學生從中提煉出基本圖形，幫助學生歸納和掌握其主要特征和性質，體會蘊涵的數學思想，并運用其解決問題，使學生真正做到解一題，會一類，通一片。這既有利于培養學生“透過現象看本質”的分析問題能力，又可以培養學生的發散性思維，提高解決問題的能力。

（二）數學教學要注重模型思想的滲透

我們在平時的教學中必須重視模型思想的滲透，將數學模型思想寓于具體的概念、法則、實際問題的解決以及一般數學問題的學習和探索中，使學生在對數學規律與方法的探索、歸納和提煉過程中，領會數學模型的涵義，認識數學模型的作用，感受數學模型的思想，體會數學的應用價值，樹立數學應用的意識，初步獲得發現問題、提出問題、解決簡單實際問題的能力。

（三）數學教學要關注學生的最近發展區

作為復習課，教師更應關注學生的最近發展區，讓學生主動參與、自主探索，讓學生在探索和思考的過程中感悟數學思想，積累數學活動經驗。通過教師的引領，讓學生在互相交流中互相促進，掌握探究方法；在體驗中自主提升，豐富數學思考；在反思中主動生長，構建自己的數學體系；在開放中和諧發展，感受數學之美！