FM—空間（）型相容映射的公共不動點

劉慶濤

摘 要 文中主要介紹了模糊度量空間（簡稱，FM-空間）（）型相容映射的性質，然后給出FM-空間中相容映射的公共不動點定理和相應的推論。

關鍵詞 公共不動點 （）型相容映射 模糊度量空間

中圖分類號：O177.91 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.03.013

Common Fixed Point of FM- space （） Type Compatible Mappings

LIU Qingtao

（Dalian Electronic School， Dalian， Liaoning 116023）

Abstract This paper introduces the fuzzy metric space （referred to， FM- space） （） type compatible with the mapping of nature， and then gives FM- space compatible mapping Common Fixed Point Theorem and the appropriate inferences.

Key words Common Fixed Point； （） type compatible mapping； fuzzy metric space

早前，Zadeh[3]首次給出了模糊集的概念，從此許多學者們開始研究模糊集理論及其應用。Deng[5]給出了模糊度量空間概念之后，Erceg[2]、kramosil 和Michalek [1]、Kaleva a和Seikkala[4]也采用不同方式介紹這個概念，研究者們紛紛在不同方式下研究模糊度量空間的不同點問題。本文主要是研究模糊度量空間中（）型相容映射的不動點問題。

定義1.1[8] 設和是FM-空間 （， ，*） 中自身的兩個映射，若（ ， ， ） = 1，HO>0；且中序列{}滿足 = = ，其中，則稱和是相容的（或接近交換）。

定義 1.2[9] 設 和是FM-空間（， ，*）中自身的兩個映射，若對任意>0有（ ， ， ） = 1 and （ ， ， ） = 1，且中序列{}滿足 = = ，其中，則稱和是（）型相容映射。

定義1.3[10] 設 和 是FM-空間（， ，*）中自身的兩個映射，若對任意>0有（ ， ， ）≥（， ， ）和（ ， ， ）≥（ ， ， ），且中序列{}滿足 = = ，其中，則稱和是（）型相容映射。

為了方便研究相容映射的不動點，為此給出下面性質。

性質 1.4 設 （， ，*）是具有*≥，[0，1]的FM-空間，若和 是中兩個（）型相容映射，若對于中的某一 ，有 = ，則 = = 。

證明：設{}是中序列，對于=1，2，…，定義 = ， = = 。于是當時，有→ = ， → = 。因而（，， ） = （ ， ， ）≥（ ， ， ） = 1，即 = 。因為 = ，所以 = = = 。

性質 1.5 設（， ，*）是具有*≥，[0，1]的FM-空間，和是中兩個（）型相容映射，假設中序列{}滿足對中某一，使得 = = 成立， 那么

（1）若在處連續，則 = 。

（2）若在處連續，則 = 。

（3） 若和在處連續，則 = 和 = 。

證明： （1） 因在處連續，所以對中任意t，當→時，有 →， →。

從和是中兩個（）型相容映射，可得

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ） = 1*1≥1

所以 = 。

（2） 與（1）證明類似。

（3）設和在處是連續，當→ +時，有→。根據（1）可得→，且從的連續性可以得出→，因而 =。依據性質1.4 ， 有 = 成立。

定理 1.6 設（， ，*）是具有范數*≥，[0，1]的FM-空間，、、 和是中的自身映射，若滿足下列條件：

（1）（）H眩ǎ┖停ǎ﹢H眩ǎ？

（2）{， }和{， }是兩對（）型相容映射。

（3）四個映射、、 和 其中之一是連續的。

（4）存在（0，1）滿足

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， （2））*（， ， ）

其中 ， （0，2）和>0。

則、、 和 在中有唯一公共不動點。

證明：由條件（1），對于任意，定義序列{}滿足 = 和 = ，其中 = 0，1，2，…。

設 = 和 = ，則HO>0和 = ，其中（0，1），依據條件（4）有

（， ， ） = （， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， （））*（， ， ） = （， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， （））*（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

因-范數*是連續的，且（， ，·） 是左連續的，令→1，得到

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）

同理，可得

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）

所以（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ），其中 = 1，2，3，…。

因此，對正整數、來說，有（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）

當→+時，有（， ， ）→1， 于是有（， ， ）≥（， ， ）。

根據引理1.9[10]，{}是中的柯西序列。由的完備性，得出序列{}收斂中的點。同樣，{}的子序列{}，{}和{}也收斂于點。

假設是連續的，因為和是（）型相容映射，從性質1.5可以得出當→時，有→， →。在 = 1的情況下運用條件（4） ，可得

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

當→時，有（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）。根據引理1.10[10]，所以 = 。 因為（）H眩ǎ嬖諞桓齙懵？= = 。再運用條件（4），令 = 1，可得

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

當→時， 有（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）。引理1.10[10] 證實了 = 。因為和是（）型相容映射，且 = = ，依據性質1.4， 得到 = 。所以 = = = 。繼續利用條件（4），令 = 1，則有

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

令→，可得（， ， ）≥（， ， ），所以 = 。因為（）H眩ǎ嬖諞桓齙懵？ = = 。依據 = 1時的條件（4），可得

（， ， ） = （， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

即 = 。因為和是（）型相容映射，且 = = ， = ，因而 = = = 。所以是、、和的一個公共點。

現在假設是連續的， 由和是（）型相容映射，從性質1.5可以得到當→時有→， →。在 = 1時依據條件（4），可得

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

當→時，有（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）。由引理 1.10[10] ， 故 = 。再運用條件（4），在 = 1情況下有

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

令→，則（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）

引理1.10[10] 證實 = 。 因（）H眩ǎǎ虼舜嬖諞桓齙懵？= = 。運用條件（4），在 = 1情形下得到

（， ， ） = （， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）

即有 = 。因和是（）相容映射，且 = = ，由性質1.4可得 = 。所以 = = = 。運用條件（4），由 = 1可得

（， ， ） = （， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）

因而 = ，且 是、、和的一個公共不動點。

由條件（4）很容易得出的唯一性。同理，可以證明和其中之一是連續的情況。

定理 1.7 設和是完備模糊度量空間中的兩個自身映射，且具有范數*≥，HO[0，1]，其中和之一是連續的。則和在中有公共不動點的充要條件是中存在自身映射和滿足下列條件：

（1）（）H眩ǎ┖停ǎ﹢H眩ǎ？

（2）或是連續的。

（3）{， }和{， } 是兩個（）相容映射。

（4） 存在（0，1）滿足

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ，（） ）*（， ， ）

其中， ，（0，2）和>0。

證明： 必要性。設和在中有公共不動點，則 = = 。現定義兩個映射和，對任意，滿足 = ， = ， 則有 = = = = 。因此條件（1）、 （2）和（3）是成立的。因為（， ， ） = （， ， ），所以條件（4） 成立。

充分性。顯然由定理1.6可得。

現在由定理1.6 在條件 = 和 = 下得出的一些推論。

推論1.8 設 （）是具范數*≥ ，[0，1]的完備FM-空間， 若中兩個自身映射和滿足下列條件

（1）（）H眩ǎ？

（2）{， }是（）型相容映射。

（3）和之一是連續的。

（4）存在（0，1）滿足

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ，（））*（， ， ）

其中， ，（0，2）和>0。

則和在中有唯一的公共不動點。

如果用中的等同映射替換定理1.6的S和T，可以得到下面的結果。

推論 1.9 設 （）是具*≥ ，[0，1]的完備FM-空間，中的兩個自身映射和滿足下列條件：

（1）和之一是連續的；

（2）存在（0，1）滿足

（下轉第32頁）（上接第27頁）

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ，（））*（， ， ）

其中， ，（0，2）和>0。

則 和在中有唯一公共不動點。

推論1.10 設（）是具*≥ ，[0，1]的完備FM-空間， 是中的自身映射，若存在（0，1）滿足對任意， ，有（， ， ）≥（， ， ）成立，則和在中有唯一公共不動點。

備注1.11 定理1.6 推廣和模糊了文獻[7]中的定理2.2。 推論1.10 延伸了巴拿赫壓縮定理，在文獻[8]中也稱作模糊巴拿赫壓縮。

參考文獻

[1] O.Kramosil and J.Michalek ， fuzzy metric and statistical metric spaces， Kybernetica 11（1975）：326-334.

[2] M.A.Erceg ， Metric space in fuzzy set theorey ， J.Math. Appl， 69（1979）：205-230.

[3] L.A.Zadeh ， Fuzzy sets ， Inform. Control 8（1965）：338-352.

[4] O.Kaleva and S.Seikkala ， On fuzzy metric spaces， Fuzzy sets and systems12（1984），215～229.

[5] Z.K.Deng ， Fuzzy preudo-metric spaces ， L.Math Anal.Appl. 86（1982）：74-95.

[6] M.Grabiec， Fixed point in fuzzy metric spaces ， Fuzzy sets and Systems 27（1988） ，385～389.

[7] S.M.Kang and Y.J.Chao . G.Jungck ， common fixed points of compatible mappings， Internat.J.Math. & Math.Sci. Vol. 13 No.1（1990）：61-66.

[8] S.N.Mishra ， N.Sharma and S.L.Singh ， Common fixed points of maps on fuzzy metric spaces ， Internat.J.Math. & Math.Sci.17（1994）：352-358.

[9] Y.J.Cho. Fixed points in fuzzy metric spaces，to appear Internat.J.Fuzzy Math（1996）.

[10] 劉慶濤.模糊度量空間的（）型相容映射及性質.數學學習與研究，2016（2）.