小學(xué)數(shù)學(xué)差倍應(yīng)用題解法淺析

何承君

應(yīng)用題既是小學(xué)數(shù)學(xué)課本的重要內(nèi)容，又是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，同時(shí)還是影響學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績(jī)的“攔路虎”。如同談虎色變一樣，許多學(xué)生一談到解應(yīng)用題，尤其是解答較難應(yīng)用題時(shí)立即“色變”。如何讓學(xué)生不再害怕應(yīng)用題，并且能迎題而解呢？筆者認(rèn)為，教師應(yīng)在立足課堂教學(xué)的基礎(chǔ)上，積極引領(lǐng)學(xué)生對(duì)所學(xué)類(lèi)型應(yīng)用題的解法及時(shí)進(jìn)行歸納和總結(jié)，授之以漁，這樣學(xué)生才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，輕松解題了。接下來(lái)，我們重點(diǎn)探討一下小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)差倍應(yīng)用題的解法。

所謂差倍應(yīng)用題，就是已知兩個(gè)數(shù)量之差，以及這兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題的總稱(chēng)。

例題1：學(xué)校百靈合唱團(tuán)女生人數(shù)比男生人數(shù)多42人，女生人數(shù)是男生人數(shù)的3倍。百靈合唱團(tuán)男生、女生各有多少人？

解析：1.仔細(xì)審題，找出數(shù)量關(guān)系，判斷屬于哪種類(lèi)型應(yīng)用題。

①?gòu)摹芭藬?shù)比男生人數(shù)多42人”這個(gè)條件可確定42人為男女生人數(shù)之差；

②從“女生人數(shù)是男生人數(shù)的3倍”這個(gè)條件可確定該條件為男女生人數(shù)之間的倍數(shù)；

③最后求合唱團(tuán)中男生和女生各有多少人。

因此由①～③可以得出：這道題是一道標(biāo)準(zhǔn)差倍應(yīng)用題。

2.如何解答呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生按題意畫(huà)出線段圖（如圖1），幫助學(xué)生理解題意。

從線段圖中可以看出，女生比男生多了3-1=2倍，這2倍對(duì)應(yīng)的數(shù)量正好是題目中男生和女生人數(shù)的差42人。也就是說(shuō)：男生人數(shù)的2倍是42人。所以用42÷（3-1）=21人，即是男生的人數(shù)。再根據(jù)“女生人數(shù)是男生人數(shù)的3倍”或“女生人數(shù)比男生人數(shù)多42人”這些條件就可求出女生的人數(shù)，即：21×3=63人或21+42=63人。列式如下：

42÷（3-1） 21×3=63（人）或21+42=63（人）……女生人數(shù)=42÷2=21（人）……男生人數(shù) 答：百靈合唱團(tuán)有男生21人，女生63人。

3.教師可再舉一道同質(zhì)例題，以加深學(xué)生印象。之后教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小結(jié)：由上述例題可以看出，差倍應(yīng)用題有其自身特點(diǎn)，其數(shù)量關(guān)系可以歸納為：

差÷（倍數(shù)-1）=較小數(shù)………1倍數(shù)

較小數(shù)×倍數(shù)=較大數(shù)…………幾倍數(shù)（或：較小數(shù)+差=較大數(shù)）

但是應(yīng)用題千變?nèi)f化，差倍應(yīng)用題也不例外，如下題：

例題2：有大、小兩個(gè)書(shū)架，大書(shū)架上的書(shū)是小書(shū)架上書(shū)的4倍。如果從大書(shū)架上取出150本放到小書(shū)架上，這時(shí)兩個(gè)書(shū)架上的書(shū)的本數(shù)相等。大、小書(shū)架上原來(lái)各有多少本書(shū)？

解析：1.仔細(xì)審題，找出數(shù)量關(guān)系。

①?gòu)摹叭绻麖拇髸?shū)架上取出150本放到小書(shū)架上，這時(shí)兩個(gè)書(shū)架上的書(shū)的本數(shù)相等”這個(gè)條件可以看出里面蘊(yùn)含著一個(gè)數(shù)量差，如何找出這個(gè)差，需要開(kāi)動(dòng)腦筋仔細(xì)思考；

②從“大書(shū)架上的書(shū)是小書(shū)架上書(shū)的4倍”可確定大、小書(shū)架上的書(shū)的數(shù)量是一個(gè)倍數(shù)關(guān)系；

③最后是求大、小書(shū)架上原來(lái)各有多少本書(shū)。

2.請(qǐng)學(xué)生合作探究：找找看，例2與例1有什么區(qū)別？又有什么聯(lián)系？

3.師生共同進(jìn)行小結(jié)：有些差倍應(yīng)用題，它不直接告訴我們差或倍的具體數(shù)據(jù)，而是作了一些隱藏。如本例題中的兩個(gè)書(shū)架上書(shū)的差就“藏”起來(lái)了，需要我們開(kāi)動(dòng)腦筋，仔細(xì)分析，才能得出答案。

與例2有異曲同工之妙的差倍應(yīng)用題還有不少，我們?cè)倏吹谌齻€(gè)例題：

例3：果園里種了一批蘋(píng)果樹(shù)和桃樹(shù)。已知蘋(píng)果樹(shù)比桃樹(shù)多1500棵。蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)比桃樹(shù)的3倍還要多100棵。蘋(píng)果樹(shù)和桃樹(shù)各種了多少棵？

解析：1.仔細(xì)審題，找出數(shù)量關(guān)系。

①由題意可知蘋(píng)果樹(shù)和桃樹(shù)棵樹(shù)之差為1500棵，但這個(gè)差能否拿來(lái)直接計(jì)算，還有待分析；

②倍數(shù)關(guān)系只能從條件“蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)比桃樹(shù)的3倍還要多100棵”中去尋找。

③為幫助學(xué)生理解，請(qǐng)學(xué)生按題意畫(huà)一畫(huà)線段圖（如圖2）：

2.教師引導(dǎo)學(xué)生探討并講解：我們的思路可以從“蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)比桃樹(shù)的3倍還要多100棵”中打開(kāi)突破口，因?yàn)楸緱l件中的倍數(shù)是不完全整數(shù)倍數(shù)，所以我們要想辦法把它轉(zhuǎn)化成完全整數(shù)倍數(shù)。

如上圖，從圖2中可以清楚地看出，如果用多出的1500棵蘋(píng)果樹(shù)-100棵蘋(píng)果樹(shù)，從而得到新的多出的1400棵蘋(píng)果樹(shù)，正好是桃樹(shù)棵樹(shù)的3-1=2倍，所以桃樹(shù)的棵樹(shù)為：1400÷（3-1）=700棵，桃樹(shù)棵樹(shù)一經(jīng)求出，蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)就呼之欲出了。

但為了加深學(xué)生對(duì)差倍應(yīng)用題計(jì)算公式的理解，教師還可以就此題作進(jìn)一步的引申：由前面可知，1500-100=1400棵蘋(píng)果樹(shù)正好是桃樹(shù)棵樹(shù)的3-1=2倍， 再加上桃樹(shù)自己那1份，于是我們就可以在不改變1倍桃樹(shù)棵樹(shù)的基礎(chǔ)上，把原題表述為：“蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)比桃樹(shù)多1400棵（1500-100），蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)正好是桃樹(shù)的3倍。”從而把此題成功地轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的差倍應(yīng)用題，這樣就可以用差倍公式先求出桃樹(shù)的棵樹(shù)，再根據(jù)原題意就可算出蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)。列式如下：

桃樹(shù)：（1500-100）÷（3-1） 蘋(píng)果樹(shù)：700×3+100

=1400÷2 =2200（棵）……較大數(shù)

=700（棵）……較小數(shù) 或：700+1500=2200（棵）

答：（略）。

3.師生共同進(jìn)行小結(jié)：解答這道差倍應(yīng)用題的難點(diǎn)在于如何找出與兩樹(shù)之差相對(duì)應(yīng)的倍數(shù)。通過(guò)觀察，無(wú)法找到與原來(lái)兩樹(shù)之差1500相對(duì)應(yīng)的倍數(shù)，但經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析，卻可以找到一個(gè)“新差1400”，而這個(gè)新差正好與桃樹(shù)的整數(shù)倍2倍相對(duì)應(yīng)，于是回歸到差倍應(yīng)用題的基本面，因此問(wèn)題也隨之得到解決。

我們知道應(yīng)用題有多種類(lèi)型， 每一類(lèi)型旗下的子應(yīng)用題又千差萬(wàn)別，不可窮盡，但無(wú)論哪類(lèi)應(yīng)用題，它們始終都遵循著一個(gè)根本——即標(biāo)準(zhǔn)例題中最核心的數(shù)量關(guān)系，而其他條件無(wú)論如何變化，則萬(wàn)變不離其宗。所以說(shuō)，同學(xué)們只要上課認(rèn)真聽(tīng)講，深諳例題精髓，善于總結(jié)核心數(shù)量關(guān)系，并熟練掌握解題技巧，就能以不變應(yīng)萬(wàn)變，輕松解答應(yīng)用題了。