歸納推理思維在小學數學教學中的應用

楊清山

在全面素質教育的時代要求下，2001年教育部制訂并實施了《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）。《標準》以詳實、具體的語言對小學階段數學的歸納推理能力做出了要求。

《標準》對小學階段的學生數學學習總體內容和目標提出要求，及現實的、有意義的、具有挑戰性的，要有利于觀察、實驗、猜想、論證、推理與交流等數學活動。具體到歸納推理部分，《標準》要求：經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學基本思維過程后，學生可以做出簡單的演繹推理和有條理的表達自己的觀點。可以看出歸納推理部分已經作為小學數學教學過程的一個重點，并要求以潛移默化的方式將歸納推理思維滲透到日常教學中。針對小學生個體的差異性和層次性需要，我們來探討一下如何在實際教學過程中實現歸納推理思維訓練。[1]

一、歸納推理的內涵

歸納推理是指由個別的事物或現象推出該類事物或現象的普遍性規律的推理。歸納推理與演繹推理相對，但在歸納方向上還要借助到演繹推理的思維，具體來看就是通過觀察、分析、抽象、比較、概括、反證等過程方法對生活中個例性的事物進行探討、描述，最后得出一個普適性的規律，從哲學范疇來看是一種共性寄宿于個性之中的闡釋。這種思維（方法）在自然科學的發展過程中具有重要地位，特別是對于數學學科來說尤為鮮明。[2]

二、歸納推理的分類及應用

1.完全歸納推理

完全歸納推理是根據一個群體中的所有個體的某一特性推斷出這一群體都具有該類特性的推理。完全歸納推理表面看來一種無實際意義或等同于廢話的推理方式，但是在數學教學過程中，特別是小學數學教學過程中具有重要作用。首先是認知作用，根據完全歸納集合內所有個體的特性使孩子們的對集合的整體屬性的認識從個體上升到一般；其次是論證作用，由于完全歸納推理的個體特性與集合屬性之間的必然性聯系，能讓小學第一、二學段的孩子們的腦中產生強有力的知識點論證過程。以小學六年級數學（下）——北師大版為例。[3]

“相”在棋盤上走“田”字。問：“相”能走到（0，2）、（3，4）的位置嗎？具體路線是什么？你發現了什么？（此題也可換為“馬”可以到哪個位置？）

這道趣味題目在訓練孩子們推理能力的時候就應該用到完全歸納推理的思維，讓學生們嘗試所有可能來挪動“相”，最后發現相可以走到7個位置，可以走到（0，2），不可以走到（3，4）。規律是每個點的“數對”中兩個數都是偶數，每個點的“數對”的和相等或是相差4的倍數。（如果換成是“馬”走“日”字，可以走到任何位置）。

這類完全歸納思維的題目從小學低年級的飛行棋、跳棋類題目（包括小學奧數訓練）開始就應該在教學過程中加以滲透。

2.不完全歸納推理

不完全歸納推理指的是根據某一類事物中的部分個體屬性推論出該類事物整體都具有某種屬性或特點。在實際教學過程中部分個體又稱實例，整體屬性又稱為結論。不完全歸納又分為枚舉歸納推理和科學歸納推理。根據小學生心理和思維發展程度，枚舉歸納推理在小學數學教學和反證過程中占有核心地位，在小學高年級（5、6年級）會接觸到少量科學歸納推理，及由具象到抽象的轉化，為初中數學的學習最好準備。以小學一年級（下）加一加，說一說，為例。

16+17= 16+26= 16+27=

26+27= 17+27= 17+26= （16、17、26、27）

你發現了什么？你能找到同樣規律的另外4個數字嗎？

這個題目屬于枚舉歸納思維的范疇，就是在100個連續數字表內找規律，通過學生的觀察和不斷嘗試（實驗），可以找到許多4個數字的集合，這時需要教師的帶領學生進行評述和解析，將歸納思維滲透到教學過程中，并以演繹推理進行求證。① 橫向兩個數的和相差20；② 豎行相鄰兩數和相差2；③ 斜框兩數和相等。通過枚舉歸納得到的一般規律，在到80-100數字中尋找4個數字進行求證，讓學生從小數字得到的規律也可以應用到大數字范疇。[4]

這個案例在小學一年學段還沒有涉及到科學歸納推理思維，但是學生進入3-4年級，我們可以嘗試用這樣的推理：① 因為每一行是連續的自然數并且每行都是10個數，所以對應上下兩行的數字相差10，那么橫向相鄰兩個數的和一定相差20；② 由于是連續自然數，那么相鄰橫向相鄰數相差1，結果縱向兩個數的和與相鄰的縱行和相差2；③ 由于是連續自然數，所以橫向相鄰差為1，結果斜框和相等。

歸納推理思維是小學數學教學過程中非常重要的思想，無論對學生認識自然事物，熟悉社會生活，還是對于初、高中數學成績的提高都具有現實的基礎意義。歸納推理思維是數學學科的基礎，幾乎所有的數學的分支學科都潛移默化中包含了劃歸思想，所以教材中關于歸納推理的習題、趣味問答還是能力提高試題幾乎都可以同時用到枚舉歸納推理和科學歸納推理，特別是科學歸納推理是素質教育的一個核心目標，對學生未來從事各行業工作都具有促進作用。

參考文獻

[1]王瑾.小學數學課程中歸納推理的理論與實踐研究[D].長春：東北師范大學，2011.

[2]蔡凌燕.小學數學教材中數學思想方法的探究[J].教學與管理，2008.

[3]彭文會.知識背景對歸納推理的影響[J].重慶工商大學學報（自然科學版），2005.

[4]馬云鵬.小學數學教學論[M].北京：人民教育出版社，2006.