應變能最小的保正有理三次樣條插值曲線

趙前進, 張瀾

(安徽理工大學理學院,安徽 淮南 232001)

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應變能最小的保正有理三次樣條插值曲線

趙前進, 張瀾

(安徽理工大學理學院,安徽 淮南 232001)

構造了一種有理三次樣條插值函數，該插值函數含有參數，具有較好的可約束性，并簡述了插值曲線保正的充要條件和插值曲線的應變能。為構造應變能最小的保正有理三次樣條插值曲線，以形狀參數和節點處的導數為決策變量，以插值曲線應變能最小為目標函數，以形狀參數大于零以及插值函數保正為約束條件，建立了一個優化模型，求解獲得應變能最小的保正有理三次樣條插值曲線。數值例子驗證了該方法的可行性。

有理三次樣條插值；保正；應變能；最優化

利用有理樣條進行保正插值是幾何造型領域中的研究熱點之一 。文獻[5]介紹的保正有理樣條插值函數中的形狀參數和節點處導數的選取過程主要根據插值函數保正的約束條件不斷地嘗試選取適當的形狀參數，計算量過大。在此基礎上為了構造應變能最小的保正有理三次樣條插值曲線，筆者給出插值算法是以形狀參數和節點處的導數為決策變量，以插值曲線應變能最小為目標函數，以形狀參數大于零以及插值函數保正作為約束條件，建立優化模型，求解獲得應變能最小的保正有理三次樣條插值曲線。

1　插值函數的構造

給定的一組數據{(ti,fi),i=0,1,…,n}，對區間[a,b]進行劃分：a=t0

(1)

pi(t)=αifi(1-θ)3+ui(1-θ)2θ+vi(1-θ)θ2+βifi+1θ3qi(t)=αi(1-θ)+βiθ

(2)

ui=(2αi+βi)fi+αihidivi=(αi+2βi)fi+1-βihidi+1

(3)

式中， αi和βi被稱為形狀參數，αi>0,βi>0；di是插值函數P(t)在節點ti處的導數值。

由式(2)和式(3)易知，有理樣條插值P(t)滿足下列插值性質：

P(ti)=fii=0,1,…,n

(4)

2　保正分析

取一組正數據{(ti,fi),i=0,1,…,n}，其中：

t00,f1>0,…,fn>0

(5)

由于已經假設形狀控制參數αi>0,βi>0，故分母qi(t)在t∈[ti,ti+1]上恒大于零，再分析分子pi(t)，由于pi(t)>0的充要條件為αi>0,βi>0,ui>0,vi>0，從而得出P(t)在區間[ti,ti+1]上的保正充要條件為：

(6)

定理1給出一組滿足式(4)的正數據，有理三次樣條插值函數表達式(1)中的參數αi、βi和節點處的導數di滿足條件(6)，即可得到保正的插值曲線。

3　優化模型的建立

插值曲線P(t)在區間[t0,tn]上C2—連續曲線的應變能[8～10]定義如下：

(7)

積分化簡得：

(8)

其中：

為構造應變能最小的保正有理三次樣條插值曲線，以形狀控制參數αi、 βi和節點處的導數值di為決策變量，以插值曲線應變能最小為目標函數，以形狀參數大于零以及插值函數保正為約束條件，建立優化模型：

(9)

求解此優化模型得最優參數αi、 βi和di，從而得到應變能最小的保正有理三次樣條插值線。

由文獻[11]可知，保正有理三次樣條插值函數的誤差有以下結論。

定理2設f(t)∈C1[a,b]，P(t)是f(t)如式(1)所定義的分母為線性的有理樣條插值，對給定的αi、βi，當t∈[ti,ti+1],i=0,1,…,n-1時有：

|R[f]|=‖f′(t)-P(t)‖≤‖f′(t)‖hicii=0,1,…,n

其中：

定理3對任意αi>0，βi>0，定理2中的誤差參數ci是有界的，且：

4　數值分析

給出一組單調遞增的數據：t0=0,t1=2,t2=4,t3=10,t4=28,t5=30,t6=32,f(t0)=20.8,f(t1)=8.8,f(t2)=4.2,f(t3)=0.5,f(t4)=3.9,f(t5)=6.2，f(t6)=9.6。由上述方法建立模型求解得表1所示結果。

圖1　數值例子的插值曲線

保正有理三次樣條插值曲線圖形如圖1所示。

表1　參數αi,βi和di 的值

5　結語

筆者構造的分母為線性的有理三次樣條插值函數，因表達式中具有參數，給控制插值曲線的形狀帶來了方便。為確定參數的值，筆者給出的求解形狀控制參數和節點處的導數值的方法比以往的算法改進很多。計算速度有所提高，計算過程精簡很多，通過建立優化模型求解應變能最小時保正的有理三次樣條插值曲線。但也存在一些不足，該方法具有局限性，只能用于分母為線性的有理三次樣條插值函數，其分母為二次或三次函數的有理三次插值樣條插值函數以及有理四次樣條插值函數還有待下一步研究。

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[編輯]洪云飛

2016-04-19

國家自然科學基金項目(60973050 )；安徽省教育廳自然科學基金項目(KJ2009A50)。

趙前進(1967-)，男，博士，教授，現主要從事有理插值與逼近、數字圖像處理方面的教學與研究工作；通信作者:張瀾，15137696003@163.com。

O241.3

A

1673-1409(2016)22-0001-03

[引著格式]趙前進, 張瀾.應變能最小的保正有理三次樣條插值曲線[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(22)：1～3.