數(shù)學分析中微分概念探究教學的實踐與思考

謝海斌 陳迪三 葉潔

摘要：《數(shù)學分析》課程教學應打破傳統(tǒng)教學模式，積極開展自主、合作和探究式教學.微分概念探究教學應從概念的形成、概念的理解與鞏固、學生認知水平三個角度開展.通過實踐分析和總結得到：數(shù)學分析課程探究式課堂教學要重視良好課堂氛圍的營造，探究活動核心環(huán)節(jié)的掌控以及學生認知水平的發(fā)展三個環(huán)節(jié)，循序漸進地開展科學合理有效的課堂探究教學活動.關鍵詞：微分；探究教學；情境問題；認知水平中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）38-0131-03

一、引言

目前，很多從事高校數(shù)學課程教學的教育工作者，仍然采用教師教，學生學；教師講，學生聽的傳統(tǒng)教學模式，導致學生學習積極性不高，學習興趣逐漸喪失，因此，傳統(tǒng)數(shù)學教學模式不利于學生形成良好的數(shù)學學習習慣和創(chuàng)造性思維能力.2015年國務院辦公廳關于深化高等學校創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育改革的實施意見中指出：“高校課程教學和考核方式要開展啟發(fā)式、討論式、參與式教學，……，注重考查學生分析、解決問題的能力.”針對這一要求，高校數(shù)學教師應結合數(shù)學課程自身特點積極開展探究式教學改革.近年來，有關數(shù)學探究教學的研究主要集中在中學數(shù)學教學領域[1-4]，然而高校數(shù)學探究教學的研究比較少，針對這一現(xiàn)狀，本文以高師《數(shù)學分析》課程中微分概念探究教學為例，提出《數(shù)學分析》教學應積極開展自主、合作、探究的有效教學模式，為學生提供更多主動參與、合作交流、探究發(fā)現(xiàn)的教學活動，從而促進學生主體學習意識和能力的培養(yǎng).

二、微分概念的教學探究實踐與分析

Klausmeier指出概念是簡化世界的類目，是將一系列物體、事件和思想進行分類的心智結構.概念是重要的，概念反應思想，但概念并不出思想，不是通過概念的變換產生思想的，相反，思想產生概念.[5]事實上，人類社會現(xiàn)有的數(shù)學概念都是在人類社會歷史發(fā)展的過程中，隨著勞動實踐和社會經驗的積累，在經驗概括的基礎上形成的.[6]因此，教師在微分概念教學過程中，應從微分概念知識起源中尋找切入點，根據學生的認知水平，創(chuàng)設合理情景，引導學生從具體事例抽象出微分的實質，自主構建微分概念，并感悟概念形成中蘊含的數(shù)學思想，逐步培養(yǎng)自身的數(shù)學概括能力.

1.注重學生從具體到抽象的思維能力的培養(yǎng)，體會概念形成過程.微分概念比較抽象，若教師直接引入，學生很難理解與接受，故可以結合微分在實際的生產生活領域中的應用來引入微分概念.在實際生活中，往往需要根據測量值來近似計算某些物理量，故教師可以設計如下教學情境引入課題.

教學片段1：教師拿出三個正方形紙板如下圖1所示，展示三個正方形紙板的面積的變化情況，并提出如下問題：

問題一：觀察三個圖形中面積增量主要取決于哪一部分？

問題二：思考當邊長增量Δx→0時，ΔS，200Δx，（Δx）三者存在著怎樣的關系？

設計意圖：通過動態(tài)圖形演示，創(chuàng)造教學情景，引導學生觀察面積的變化規(guī)律，形成感官上的一種具體認知和判斷.然后通過設置問題引導學生朝著預設的教學目標方向進行思考，并檢測不同層次的學生對問題的分析理解能力.

學生在討論后給出答案：當邊長增量Δx→0，故有

顯然，學生能夠利用已學導數(shù)的概念來分析問題，但是對問題的理解缺乏方向性，沒有刻畫ΔS，200Δx，（Δx）三者關系，此時教師可以做進一步補充：

說明邊長增量越來越小時，面積增量的實際值主要決定于兩個小長方形的面積.再借助高階無窮小量可知

ΔS=200·Δx+ο（Δx）

從而使得微分概念的雛形自然而現(xiàn).進而針對一般函數(shù)f（x），給出微分的一般定義形式

其中ο（Δx）是Δx的高階無窮小量.

教學分析：好的教學情境的引入，往往能營造良好的教學氛圍，提升學生參與教學活動的積極性和主動性.但是在這樣的教學過程中，學生的初步認知往往是具體的，并且是不完整的，甚至是錯誤的，教師應引導學生多思考如下問題：我的理解方式與已有的概念是否存在聯(lián)系？解決問題的關鍵在哪里？結論是否具有推廣性？若不能推廣，是否可通過修改條件實現(xiàn)結論的推廣？等等.學生在反思過程中，會對已有的認知和理解進行深入思考，從而使得自己對數(shù)學知識的體驗不斷得以釋放，思維能力不斷提升，并逐步達到抽象思維的認知水平.

2.注重學生對概念深化理解，通過變練演編等方式鞏固概念.王光明博士認為：理解是數(shù)學學習的重要環(huán)節(jié)，“懂而不會的”現(xiàn)象說明學生對數(shù)學知識的學習并未達到真正的理解[7].因此，當微分概念給出后，并不代表著學生能準確認識和理解概念，它需要教師進一步引導學生從不同的側面和角度去挖掘概念，解釋概念，深化學生對概念的理解.

教學分析：本題的解題過程充分展現(xiàn)用定義法驗證函數(shù)在某點可微需要一定的技巧和方法，并非易事.因此，教師在對微分概念講解時要循序漸進，對問題的探究思路和角度要多元化，對教材例題要進行剖析和演編，同時還要給學生一些與例題類似或演編的題目進行訓練，這樣可以進一步加深學生對微分概念的理解.

3.在概念教學中逐步提升學生的認知水平，幫助學生建立新的認知結構.教師對例題進行總結和歸納是加深學生對概念理解的一種有效方法，同時也是促使學生發(fā)現(xiàn)新問題或新規(guī)律的一個有效途徑.著名教育家波利亞在其著作《數(shù)學與猜想》中寫道：“數(shù)學的創(chuàng)造過程是與任何其他知識的創(chuàng)造一樣的.在證明一個數(shù)學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全做出詳細證明之前，你先得推測證明的思路.”[8]所以在教學活動中，教師應積極引導學生對已有結論進行反思、歸納和論證，促使學生的數(shù)學認知水平逐步提高，并在原有的認知水平上建立起新的認知結構.

教學片段3：教師請學生觀察分析上述例題中給出的微分表達式的特征有哪些，并猜想在具備同樣條件下的一般函數(shù)f（x）是否也有類似結論成立，若成立嘗試證明你的結論.

設計意圖：培養(yǎng)學生的觀察分析能力，合情推理和歸納證明的能力等，通過對這些能力的培養(yǎng)，不斷提升學生的認知水平，幫助學生建構新的認知結構.

學生通過相互討論給出答案：（1）微分都是一個常數(shù)與自變量增量的乘積的結構模型；（2）算例表明常數(shù)恰巧是函數(shù)在該點處的導數(shù)值；（3）由導數(shù)定義形式可推知

-f′（x）=ο（1）？圯Δy=f′（x）Δx+ο（Δx），

表明函數(shù)f（x）在點x可導一定可以推出f（x）在點x=x可微.

在了解學生的認知情況后，教師可以對學生給出的答案做進一步補充說明：一元函數(shù)可導一定可微，反之，可微也一定可導，證明如下

顯然根據導數(shù)的定義可知A=f′（x）.至此，教師可以帶領學生對上述討論內容進行總結，強調函數(shù)可導與可微是等價的，同時也找到了判斷函數(shù)在某點是否可微的另外一種重要方法，此方法比微分定義法更容易證明.

教學分析：在課堂教學中，教師通過精心設置問題情境，引導學生進行演練、搜集數(shù)據和觀察對比分析，并借助已有的經驗知識進行大膽猜想，提出假說，進而論證假設的真?zhèn)涡?在這一過程中，既發(fā)揮了教師在教學中主導作用，又體現(xiàn)了學生是課堂教學的主體.師生通過合作學習，共同探究，不僅增近了師生之間的情感交流，同時也讓學生在學習過程中獲得新的認知結構，提升了自身的認知水平，體驗了數(shù)學創(chuàng)造的艱辛歷程，并積累了豐富的數(shù)學素養(yǎng).

三、數(shù)學分析課程探究教學的反思與建議

1.創(chuàng)設合理有效的問題情境，為學生營造良好的數(shù)學思維氛圍.合理有效地創(chuàng)設問題情境，能夠激發(fā)學生的學習積極性和主動性，讓學生在解決問題的過程中學會思考，因此，數(shù)學分析課程教學應盡可能開展“情景—問題”探究式教學活動，教師通過設置一些能夠與學生認知產生沖突的情境問題，將學生置身于探究未知問題的氣氛中，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，從而形成學生積極思考的良好課堂氛圍.

2.開展探究教學活動要以教材為核心，做到循序漸進，問題解決方案多元化.數(shù)學分析課程教學由于學習內容比較抽象，學時又有限，所以在開展探究式教學活動中，教師要以教材為核心，重點突出基本概念與定理，并且教學過程中所設置的問題要適中，難度有層次性，能夠形成問題鏈.問題提出循序漸進，能夠體現(xiàn)思維水平由低到高的發(fā)展過程，此外，探究問題的解決方案盡可能多元化，學生在思考問題時可以從多角度、多方向、多途徑尋找切入點，提出多種新穎的見解，進而促進學生發(fā)散思維能力的培養(yǎng).

3.引導學生多回顧與反思，形成新的認知水平.回顧與反思有利于學生養(yǎng)成“回到概念去”思考和解決問題的習慣，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題及其解答的來龍去脈，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，方法和理論之間的廣泛聯(lián)系，有利于發(fā)現(xiàn)許多相關結果中的交匯點.[9]因此，教師在教學過程中，要多鼓勵學生進行反思，多聯(lián)系知識點之間的關系，通過反思與總結去改編，引申或者推廣已有的問題和結論，進而產生新的問題，形成新的認知結構.

參考文獻：

[1]寧連華.數(shù)學探究教學設計研究[J].數(shù)學教育學報，2006，15（4）：39-51.

[2]曾小平，汪秉彝，呂傳漢.數(shù)學“情境—問題”教學對數(shù)學探究學習的思考[J].數(shù)學教育學報，2009，18（1）：82-87.

[3]郭宗雨.在高中數(shù)學課堂中開展自主合作探究教學的實踐研究[J].數(shù)學教育學報，2012，21（5）：41-44.

[4]徐章韜，梅全雄.論基于課堂教學的數(shù)學探究性學習[J].數(shù)學教育學報，2013，22（6）：1-4.

[5]張楚廷.數(shù)學教育心理學[M].北京：警官教育出版社，1998.

[6]曹才翰.中學數(shù)學教學概論[M].北京：北京師范大學出版社，1990.

[7]王光明，楊蕊.數(shù)學學習中的“懂而不會”現(xiàn)象[J].中學數(shù)學教學參考，2012，（10）.

[8]波利亞.數(shù)學與猜想[M].李心燦，譯.北京：科學出版社，1985.

[9]徐彥輝.數(shù)學解題后的“回顧與反思”與數(shù)學問題的提出——探究一種通過“回顧與反思”來提出數(shù)學問題的模式與方法[J].數(shù)學教育學報，2015，24（1）：9-12.