促進理解感悟本質

劉曉萍

【設計理念】

小數起源于生活中的測量和部分與整體的關系。當一個單位量被等分為十份、百份、千份等10的倍數份時，就可以用小數來表示。因此，小數常常被看作特殊的分數（分母為10及10的倍數的分數）。其實，小數與分數還是有區別的。首先，從知識形成的歷史來看，分數和小數形成的過程并不相同。在度量過程中，當整數已經不能完全精確地表示實際數量時，就逐漸形成兩種表示方法：一種是用分數來表示不滿“1”的部分；另一種是發展度量衡系統，采用更小的單位來表示不足整數的剩余部分，這就是小數的由來。其次，計數的方式不完全一樣，分數是由分數單位組成的，小數則采用整數的十進位結構與計數規則，也就是用0～9十個數字配合位值概念來計數，因此，小數可以看作整數計數方式的延伸（向越來越小的方向）。第三，分數與小數的運算方式不完全相同。美國數學史家卡約利認為：十進小數是近代數學史上關于計算基礎方面的三大發明之一。

了解小數的發展歷史能給我們的教學以啟示。一是為了更好地讓學生理解小數的意義，教學中既要突出小數的本質內涵，不能將小數的意義等同于分數的意義來教，又要注重小數與分數的聯系。二是要注意知識的結構化，重視小數計數方式與整數計數方式的統一，幫助學生建構完整的知識結構，尤其要注意小數的單位以及小數數位概念的形成與發展。三是小數的發展歷史告訴我們，小數來源于生活實踐，在教學中要注意創設合適的情境，讓學生自主探索、經歷知識的創造過程和數學化過程，并充分體悟數學知識背后的思想和方法。

教材第一課時安排了2個例題，還有“想想做做”。例1創設了兩個小朋友測量桌椅長度的情境，呈現整數部分是0的一位小數；例2創設了購物的情境，呈現整數部分不是0的一位小數。教材比較注重小數與分數的聯結，兩個例題都強調不滿“1”的部分是十分之幾，又可以寫成零點幾。從學生理解的角度來看，僅僅這樣教學是不夠的。為了促進學生對小數意義的理解，教師至少還應該思考這樣幾個問題：為什么要有小數？小數與分數完全一樣嗎？學生學習小數有哪些認知基礎和生活經驗？如何通過多維表征來深入理解小數的意義？等等。

有了這些對知識背景的分析和理解，我從下面幾個方面展開了教學設計：一是從學生已有的生活經驗開始，讓學生發現生活中小數的應用；二是通過小組合作，共同研究小數的意義，學會發現、提出、分析和解決問題的方法；三是通過多維表征，加深學生對小數意義的理解（如圖1）。

【教學目標】

1.學生結合具體情境認識小數，能識別小數，會讀寫小數。知道以元為單位、以米為單位的小數的實際含義。知道小數數位的意義。

2.學生通過測量和等分，感知小數與分數的聯系，初步感知十分之幾可以用一位小數來表示。培養學生解決簡單的實際問題的能力。

3.學生經歷小數形成的過程，以及列舉生活中小數實例的過程，感知數學與生活的密切聯系，培養學生學習數學的興趣。

【教學活動及意圖】

一、以生活為起點，發現小數

1.出示超市中文具的價格。

鋼筆21元 橡皮0.5元 鉛筆1.2元

2.讓學生比較價格的不同，初步感知小數。

3.在生活中，你還見到過哪些小數？

預設：（1）每天的氣溫。（2）報紙上的一些數據。（3）物品的質量或長度……

【學生在生活中經常會接觸到小數，且具有十進制計數方法和十進分數的意義等知識基礎。本環節尊重學生的已有認知經驗，有意識地培養學生發現問題和提出問題的能力。】

二、在具體情境中研究小數

1.以橡皮的價格0.5元和講臺的長度1.2米為例，研究0.5和1.2的意義。

2.學生談自己的發現，教師引導：

（1）畫圖表征：引導學生以一個長方形（或一條線段）表示1元或1米，分別表示出0.5和0.2。

（2）思考：用一個長方形表示出0.5和0.2的相同之處和不同之處。

（3）分數表征：把一個物體平均分成10份，表示其中的幾份還可以用分數來表示。思考0.5和0.2分別可以用怎樣的分數來表示。分別說說它們的意義，體會一下零點幾和十分之幾的聯系。

3.初步應用。

（1）實物表征：1.8元和0.1元分別表示幾元幾角？

（2）說一說：5元2角和1米4分米分別可以用怎樣的小數來表示？

【充分利用學生的已有認知，引導學生在問題解決過程中逐步認識小數的意義。為了讓學生深入理解概念，教學中采用語言表征、實物表征、分數表征、畫圖表征等多維表征方式，讓學生逐步建構小數的本質內涵，并上升為以符號表征為主的形式化理解。此外，多維表征方式還可以讓學生建立良好的數感，通過數學去理解生活、提升數學素養?！?/p>

三、在操作表征中深化理解

1.創設購物情境。爸爸帶曉楊去商場買電腦，電腦的價格是2433.5元。

2.請學生在計數器（如圖2）上表示出2433元，并說說各個數位上的數表示什么意思。

3.小組討論：0.5元怎么在計數器上表示出來？

（1）引導學生思考：整數計數時，滿十向前進一位，如果沒有數位怎么辦？

（2）0.5表示什么意思？如果要在計數器上表示，它的數位應該在哪里？為什么？想一想，0.5里有幾個0.1？

4.學生交流。根據0.5的意義，它的數位應該在個位的右邊，鼓勵各小組學生為這個數位起個名字（如圖3）。

5.根據計數器讀一讀、寫一寫。學生在讀寫過程中可能會出現問題，如計數器上沒有小數點，學生可能讀到小數部分時不知道怎么讀了，此時，可以讓學生思考：如果沒有數位標記，怎么來區分個位和十分位？

6.學生交流想法。教師順勢介紹小數的發展歷史以及計數方法的由來。在小數的記法中，用于區分整數部分與小數部分的記號稱為“小數點”，這個記號至今還沒有統一，我們國家用“.”來表示，歐美一些國家則用“，”來表示。

【本環節是在學生初步感知小數的基礎上，通過操作表征來完善他們對小數意義的理解。學生對數學知識的理解，主要是通過自己不斷反思和感悟得到的，促進理解的數學學習是建立在深刻理解相關知識及其經脈的基礎上的。整數的計數方法已存在于學生的認知結構中，在教學中，要充分利用這個基礎，讓學生創造小數的計數方法，創造出新的數位和小數點，使其原有認知與新的概念形成一個新的認知系統，從而深刻理解小數的意義，也讓學生感悟到創造數學的魅力?！?/p>

四、在拓展延伸中豐富內涵

1.填一填。

（1）5個1和6個0.1合起來是（ ）。

（2）10個0.1是（ ）。

（3）18個0.1是（ ）。

（4）4.8是（ ）個0.1。

2.涂一涂：請用彩色筆在量杯上涂出指定水的高度，并在（ ）填上小數或者分數。

3.看圖回答問題。

（1）把數線上0～1平均分成10格，1格是多少？

（2）在（ ）里填上小數。

（3）從0到0.9共有幾格？

（4）從0開始往右數13格是多少？

4.思考：宗偉測量一粒大米，大米長約5毫米，可以寫成多少厘米？

你會把它寫成多少分米嗎？在計數器上又怎么來表示呢？有興趣的同學可以跟爸爸媽媽一起研究研究。

【練習設計分為四個層次，分別是為了增強學生對小數概念不同層次的理解和能力而展開的。第一層次的設計強調小數的單位，這不僅是認識小數的基礎知識，也是在為接下來學習小數大小比較和運算打基礎。第二層次的設計是進一步聯結小數與分數的意義，通過操作表征進一步溝通十進分數與小數之間的聯系。第三層次的設計共有四問，第一和第二問是通過在數線上表示小數，進一步理解小數的意義，溝通小數與整數的聯系，滲透小數是數系統發展的思想，后面兩問是直觀地表示出小數加法和加法計算的原理，為小數的四則運算作算理上的準備。第四層次的設計是對初步認識小數的拓展，把5毫米表示成多少厘米，是已學的一位小數，把它表示成多少分米，則是兩位小數了，如果把兩位小數表示在計數器上，還要創造新的數位。提出這一具有挑戰性的學習任務，是基于兩方面的考慮：一是有意識地讓學生將認知和創造一位小數的經驗遷移到兩位小數的認識上；二是為以后學習多位小數作鋪墊?！?/p>

（作者系江蘇省蘇州市教育科學研究院小學數學教研員）