促進(jìn)理解感悟本質(zhì)

劉曉萍

【設(shè)計理念】

小數(shù)起源于生活中的測量和部分與整體的關(guān)系。當(dāng)一個單位量被等分為十份、百份、千份等10的倍數(shù)份時，就可以用小數(shù)來表示。因此，小數(shù)常常被看作特殊的分?jǐn)?shù)（分母為10及10的倍數(shù)的分?jǐn)?shù)）。其實(shí)，小數(shù)與分?jǐn)?shù)還是有區(qū)別的。首先，從知識形成的歷史來看，分?jǐn)?shù)和小數(shù)形成的過程并不相同。在度量過程中，當(dāng)整數(shù)已經(jīng)不能完全精確地表示實(shí)際數(shù)量時，就逐漸形成兩種表示方法：一種是用分?jǐn)?shù)來表示不滿“1”的部分；另一種是發(fā)展度量衡系統(tǒng)，采用更小的單位來表示不足整數(shù)的剩余部分，這就是小數(shù)的由來。其次，計數(shù)的方式不完全一樣，分?jǐn)?shù)是由分?jǐn)?shù)單位組成的，小數(shù)則采用整數(shù)的十進(jìn)位結(jié)構(gòu)與計數(shù)規(guī)則，也就是用0～9十個數(shù)字配合位值概念來計數(shù)，因此，小數(shù)可以看作整數(shù)計數(shù)方式的延伸（向越來越小的方向）。第三，分?jǐn)?shù)與小數(shù)的運(yùn)算方式不完全相同。美國數(shù)學(xué)史家卡約利認(rèn)為：十進(jìn)小數(shù)是近代數(shù)學(xué)史上關(guān)于計算基礎(chǔ)方面的三大發(fā)明之一。

了解小數(shù)的發(fā)展歷史能給我們的教學(xué)以啟示。一是為了更好地讓學(xué)生理解小數(shù)的意義，教學(xué)中既要突出小數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，不能將小數(shù)的意義等同于分?jǐn)?shù)的意義來教，又要注重小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。二是要注意知識的結(jié)構(gòu)化，重視小數(shù)計數(shù)方式與整數(shù)計數(shù)方式的統(tǒng)一，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)，尤其要注意小數(shù)的單位以及小數(shù)數(shù)位概念的形成與發(fā)展。三是小數(shù)的發(fā)展歷史告訴我們，小數(shù)來源于生活實(shí)踐，在教學(xué)中要注意創(chuàng)設(shè)合適的情境，讓學(xué)生自主探索、經(jīng)歷知識的創(chuàng)造過程和數(shù)學(xué)化過程，并充分體悟數(shù)學(xué)知識背后的思想和方法。

教材第一課時安排了2個例題，還有“想想做做”。例1創(chuàng)設(shè)了兩個小朋友測量桌椅長度的情境，呈現(xiàn)整數(shù)部分是0的一位小數(shù)；例2創(chuàng)設(shè)了購物的情境，呈現(xiàn)整數(shù)部分不是0的一位小數(shù)。教材比較注重小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)結(jié)，兩個例題都強(qiáng)調(diào)不滿“1”的部分是十分之幾，又可以寫成零點(diǎn)幾。從學(xué)生理解的角度來看，僅僅這樣教學(xué)是不夠的。為了促進(jìn)學(xué)生對小數(shù)意義的理解，教師至少還應(yīng)該思考這樣幾個問題：為什么要有小數(shù)？小數(shù)與分?jǐn)?shù)完全一樣嗎？學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)有哪些認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗？如何通過多維表征來深入理解小數(shù)的意義？等等。

有了這些對知識背景的分析和理解，我從下面幾個方面展開了教學(xué)設(shè)計：一是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗開始，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中小數(shù)的應(yīng)用；二是通過小組合作，共同研究小數(shù)的意義，學(xué)會發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的方法；三是通過多維表征，加深學(xué)生對小數(shù)意義的理解（如圖1）。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.學(xué)生結(jié)合具體情境認(rèn)識小數(shù)，能識別小數(shù)，會讀寫小數(shù)。知道以元為單位、以米為單位的小數(shù)的實(shí)際含義。知道小數(shù)數(shù)位的意義。

2.學(xué)生通過測量和等分，感知小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，初步感知十分之幾可以用一位小數(shù)來表示。培養(yǎng)學(xué)生解決簡單的實(shí)際問題的能力。

3.學(xué)生經(jīng)歷小數(shù)形成的過程，以及列舉生活中小數(shù)實(shí)例的過程，感知數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)活動及意圖】

一、以生活為起點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)小數(shù)

1.出示超市中文具的價格。

鋼筆21元 橡皮0.5元 鉛筆1.2元

2.讓學(xué)生比較價格的不同，初步感知小數(shù)。

3.在生活中，你還見到過哪些小數(shù)？

預(yù)設(shè)：（1）每天的氣溫。（2）報紙上的一些數(shù)據(jù)。（3）物品的質(zhì)量或長度……

【學(xué)生在生活中經(jīng)常會接觸到小數(shù)，且具有十進(jìn)制計數(shù)方法和十進(jìn)分?jǐn)?shù)的意義等知識基礎(chǔ)。本環(huán)節(jié)尊重學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗，有意識地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。】

二、在具體情境中研究小數(shù)

1.以橡皮的價格0.5元和講臺的長度1.2米為例，研究0.5和1.2的意義。

2.學(xué)生談自己的發(fā)現(xiàn)，教師引導(dǎo)：

（1）畫圖表征：引導(dǎo)學(xué)生以一個長方形（或一條線段）表示1元或1米，分別表示出0.5和0.2。

（2）思考：用一個長方形表示出0.5和0.2的相同之處和不同之處。

（3）分?jǐn)?shù)表征：把一個物體平均分成10份，表示其中的幾份還可以用分?jǐn)?shù)來表示。思考0.5和0.2分別可以用怎樣的分?jǐn)?shù)來表示。分別說說它們的意義，體會一下零點(diǎn)幾和十分之幾的聯(lián)系。

3.初步應(yīng)用。

（1）實(shí)物表征：1.8元和0.1元分別表示幾元幾角？

（2）說一說：5元2角和1米4分米分別可以用怎樣的小數(shù)來表示？

【充分利用學(xué)生的已有認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決過程中逐步認(rèn)識小數(shù)的意義。為了讓學(xué)生深入理解概念，教學(xué)中采用語言表征、實(shí)物表征、分?jǐn)?shù)表征、畫圖表征等多維表征方式，讓學(xué)生逐步建構(gòu)小數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，并上升為以符號表征為主的形式化理解。此外，多維表征方式還可以讓學(xué)生建立良好的數(shù)感，通過數(shù)學(xué)去理解生活、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。】

三、在操作表征中深化理解

1.創(chuàng)設(shè)購物情境。爸爸帶曉楊去商場買電腦，電腦的價格是2433.5元。

2.請學(xué)生在計數(shù)器（如圖2）上表示出2433元，并說說各個數(shù)位上的數(shù)表示什么意思。

3.小組討論：0.5元怎么在計數(shù)器上表示出來？

（1）引導(dǎo)學(xué)生思考：整數(shù)計數(shù)時，滿十向前進(jìn)一位，如果沒有數(shù)位怎么辦？

（2）0.5表示什么意思？如果要在計數(shù)器上表示，它的數(shù)位應(yīng)該在哪里？為什么？想一想，0.5里有幾個0.1？

4.學(xué)生交流。根據(jù)0.5的意義，它的數(shù)位應(yīng)該在個位的右邊，鼓勵各小組學(xué)生為這個數(shù)位起個名字（如圖3）。

5.根據(jù)計數(shù)器讀一讀、寫一寫。學(xué)生在讀寫過程中可能會出現(xiàn)問題，如計數(shù)器上沒有小數(shù)點(diǎn)，學(xué)生可能讀到小數(shù)部分時不知道怎么讀了，此時，可以讓學(xué)生思考：如果沒有數(shù)位標(biāo)記，怎么來區(qū)分個位和十分位？

6.學(xué)生交流想法。教師順勢介紹小數(shù)的發(fā)展歷史以及計數(shù)方法的由來。在小數(shù)的記法中，用于區(qū)分整數(shù)部分與小數(shù)部分的記號稱為“小數(shù)點(diǎn)”，這個記號至今還沒有統(tǒng)一，我們國家用“.”來表示，歐美一些國家則用“，”來表示。

【本環(huán)節(jié)是在學(xué)生初步感知小數(shù)的基礎(chǔ)上，通過操作表征來完善他們對小數(shù)意義的理解。學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，主要是通過自己不斷反思和感悟得到的，促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是建立在深刻理解相關(guān)知識及其經(jīng)脈的基礎(chǔ)上的。整數(shù)的計數(shù)方法已存在于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，在教學(xué)中，要充分利用這個基礎(chǔ)，讓學(xué)生創(chuàng)造小數(shù)的計數(shù)方法，創(chuàng)造出新的數(shù)位和小數(shù)點(diǎn)，使其原有認(rèn)知與新的概念形成一個新的認(rèn)知系統(tǒng)，從而深刻理解小數(shù)的意義，也讓學(xué)生感悟到創(chuàng)造數(shù)學(xué)的魅力。】

四、在拓展延伸中豐富內(nèi)涵

1.填一填。

（1）5個1和6個0.1合起來是（ ）。

（2）10個0.1是（ ）。

（3）18個0.1是（ ）。

（4）4.8是（ ）個0.1。

2.涂一涂：請用彩色筆在量杯上涂出指定水的高度，并在（ ）填上小數(shù)或者分?jǐn)?shù)。

3.看圖回答問題。

（1）把數(shù)線上0～1平均分成10格，1格是多少？

（2）在（ ）里填上小數(shù)。

（3）從0到0.9共有幾格？

（4）從0開始往右數(shù)13格是多少？

4.思考：宗偉測量一粒大米，大米長約5毫米，可以寫成多少厘米？

你會把它寫成多少分米嗎？在計數(shù)器上又怎么來表示呢？有興趣的同學(xué)可以跟爸爸媽媽一起研究研究。

【練習(xí)設(shè)計分為四個層次，分別是為了增強(qiáng)學(xué)生對小數(shù)概念不同層次的理解和能力而展開的。第一層次的設(shè)計強(qiáng)調(diào)小數(shù)的單位，這不僅是認(rèn)識小數(shù)的基礎(chǔ)知識，也是在為接下來學(xué)習(xí)小數(shù)大小比較和運(yùn)算打基礎(chǔ)。第二層次的設(shè)計是進(jìn)一步聯(lián)結(jié)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的意義，通過操作表征進(jìn)一步溝通十進(jìn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系。第三層次的設(shè)計共有四問，第一和第二問是通過在數(shù)線上表示小數(shù)，進(jìn)一步理解小數(shù)的意義，溝通小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系，滲透小數(shù)是數(shù)系統(tǒng)發(fā)展的思想，后面兩問是直觀地表示出小數(shù)加法和加法計算的原理，為小數(shù)的四則運(yùn)算作算理上的準(zhǔn)備。第四層次的設(shè)計是對初步認(rèn)識小數(shù)的拓展，把5毫米表示成多少厘米，是已學(xué)的一位小數(shù)，把它表示成多少分米，則是兩位小數(shù)了，如果把兩位小數(shù)表示在計數(shù)器上，還要創(chuàng)造新的數(shù)位。提出這一具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，是基于兩方面的考慮：一是有意識地讓學(xué)生將認(rèn)知和創(chuàng)造一位小數(shù)的經(jīng)驗遷移到兩位小數(shù)的認(rèn)識上；二是為以后學(xué)習(xí)多位小數(shù)作鋪墊。】

（作者系江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院小學(xué)數(shù)學(xué)教研員）