工程力學自洽對比教學的探索

摘要：工程力學課程的概念、公式、定理很多，但是它們之間的內在邏輯自洽性使得對比教學法得到很好的運用，通過找尋概念、公式、定理之間的共性和差異，幫助學生對比學習記憶，既加深對舊知識的記憶與理解，同時使新知識的理解和學習變得更加容易，對比教學法起到了非常好的效果。

關鍵詞：邏輯自洽性;工程力學;對比教學法

中圖分類號：G642.42 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）36-0174-02

一、引言

著名教育家烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的”。普遍的認識是，現代教學理念包括三點：教學的互動性、學生的主體性和知識的建構性。在教學中如何進行知識體系建構呢？筆者認為，基于概念的自洽性的對比教學方法，有助于突出教學重點、突破教學難點，使學生容易接受新知識，避免前后知識的混淆，提高辨別能力，同時有助于學生在理解掌握所學的理論知識的基礎上，能夠運用所學知識解決實際問題。

所謂“自洽性”，全稱“邏輯自洽性”，即相關研究領域內概念、觀點等的前后一致性，是一種包含有“可靠性”、“相容性”、“完備性”的穩定思維方式。建構在有限論域的科學理論的基本假設和由這些基本假設推導的一系列結論，以及各個結論之間必須是相容的，并且相互間不矛盾。邏輯自洽性是一個有限論域理論能夠成立的必備條件。

二、對比教學法在教學活動中的檢證

工程力學課程是機械、土木等工程專業的一門重要學科基礎課，在工科專業的教學計劃中占有重要地位。它作為學科專業的基礎，為學生學習后續相關課程（機械原理、機械零件、結構力學、彈性力學和流體力學等）和將來從事科學技術工作奠定了必要的基礎。工程力學也是學生在學習高等數學、大學物理基礎課后接觸到的第一門學科基礎課，在專業課程系統中起著承上啟下的作用。同時，也是本科生知識結構、科學精神和工程意識的構建與提升中的重要一環。事實上，力學素養是機械、土木等工科學生專業修養的要素之一。

（一）四種基本變形的基本概念

工程力學中桿件的四種基本變形形式，即：軸向拉伸與壓縮、剪切、扭轉和彎曲。章節跨度大、公式多，學生容易記錯搞混，甚至在考試中出現亂用公式的現象。教學中通過強調四種基本變形的內力、應力和變形計算，可以深化概念、公式的認識。

常用的變形剛度有：EA拉壓剛度、GA剪切剛度、GI扭轉剛度、EI抗彎剛度。從表1的變形表達式可以看出，各種剛度與對應變形、內力具有形式和內在邏輯的自洽性。

涉及正應力分析的材料剛度中的材料常數為拉壓彈性模量（楊氏彈性模量），而涉及剪應力分析的材料剛度為切變模量。

組合變形：FN產生軸向位移dΔ，FS產生剪切位移dλ，T產生角位移dφ，M產生轉角dθ。對于dx微段，FN、FS、T、M均為外力。小變形時不計剪力產生的應變能，根據功能原理，略去高階微量后，dx微段的應變能在四種基本變形下統一表述到一個組合變形的公式中。（見圖1）。

dV=dW=FN（x）dΔ+T（x）dφ+M（x）dθ

=++

桿的應變能為：

V=++

（二）由簡單到復雜的應力狀態下廣義胡克定律

簡單應力狀態和復雜應力狀態基于對應力狀態的概念分類的闡述：三向應力狀態是三向主應力均不為零的應力狀態;二向應力狀態是只有一個主應力為零的應力狀態;單向應力狀態是只有一個主應力不為零的應力狀態。見圖2。（其中的角標x、y、z對應無切應力平面的主應力角標編號1、2、3。）各種應力狀態下彈性定律如下：

ε=

ε=σ-νσ？搖ε=σ-νσ？搖

ε=σ-νσ+σ？搖？搖ε=σ-νσ+σ？搖？搖ε=σ-νσ+σ？搖？搖

三種應力狀態對應的線彈性變形條件下的彈性定律，當然可以直接根據疊加原理逐個導出。

對于應力單元體（視為一個線性系統模型），由于其應力應變的線性關系，因此具有可加性（疊加原理），從單向應力狀態到復雜應力狀態，彈性定律的推導過程中可做如下推導（見圖2）。求x方向應變ε。當σ單獨作用時，應用單向應力時的胡克定律，可得x方向的線應變為ε'=σ/E;當σ和σ分別單獨作用時，在x方向引起橫向變形，分別為ε"=-νσ/E和

ε？蓯=-νσ/E。所以，在σ、σ、σ共同作用下，x方向的線應變為：ε=ε'+ε"+ε？蓯=σ-ν（σ+σ）。同理可得：ε=σ-v（σ+σ），ε=σ-v（σ+σ）。

（三）矩陣理論的特征值與特征向量

同樣的矩陣理論中的特征值和特征向量，在工程力學也有三個類似應用，其概念和公式都有這種邏輯上的統一。

如果應力矩陣是一個實對稱矩陣，通過初等變換將應力矩陣對角化為非對角線元素為0的對角矩陣，此時的切應力為0，主應力的定義是：某面上只有正應力而無切應力時，這個正應力就是主應力。所以，對角線元素分別為第一、第二和第三主應力的值。求主應力就是求特征方程的特征值。

σ=σ==

=0

不同的特征值對應的特征向量正交，所以三個主應力的方向相互正交。

三、結語

通過上述比對分析，我們發現無論是四個基本變形與組合變形;簡單和復雜應力狀態的彈性定理;旋轉變換下的平面應力狀態分析與圖形的轉軸定理;特征值和特征向量在主應力分析、結構振動的固有頻率和振型計算、結構屈曲臨界荷載;等等方面都有其自身和相互間比對關系的自洽性特征。了解和掌握了這一規律，能夠更好地揭示力學理論中的本質內涵。同時，可以為科研教學的深入探究打下扎實的基礎。更進一步的，能夠為提高我們的科研和教學水平做出一定的貢獻。

參考文獻：

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