運用平面幾何知識解高考題

題目在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 已知b+c=2acos B，

（Ⅰ）證明：A=2B；

（Ⅱ）若△ABC的面積S=a24，求角A的大小. （2016年高考數學浙江卷第16題）

1試題分析

本文針對試題的第一問做些探究.

由b+c=2acos B和余弦定理得b+c=2a×a2+c2-b22aca2-b2=bc.

考慮A=2B也必有a2-b2=bc，所以∠A的平分線所分的角12∠A應等于角∠B，這樣可以考慮等腰三角形或者角平分線的性質證明.又a2=b（b+c）恰似圓冪定理的形式，因而可以運用圓冪定理證明. a·a=b（b+c）這又是相交弦定理的形式，所以又可以運用相交弦定理證明.a·2a=2b（b+c）這又可以運用割線定理來證明.

2平面幾何方法的證明

2.1 相似三角形方法

證法1由b+c=2acos B和余弦定理得b+c=2a×a2+c2-b22aca2-b2=bcab=b+ca.

構造三角形BC=a，AB=c，AC=b，如圖1，延長BA到D，使AC=AD，角B為公共角，所以三角形CAB和三角形BCD相似，∠B=∠D，而∠BAC=2∠D，從而A=2B得證.

圖1圖22.2等腰三角形的方法

證法2如圖2所示，將BA延長至D，使AD=AC=b，再過C作CE⊥AB，垂足為E，取BD的中點為F，則有BE=acos B，BF=b+c2.

又有b+c=2acos B，所以BE=BF.

所以E、F重合，故可得三角形BCD為等腰三角形.

所以∠BAC=2∠D=2∠B.

即A=2B.

2.3角平分線的性質

證法3如圖3，做角A的角平分線AD，則bc=CDBD即bc=CDa-CD，所以CD=abb+c.

在△ACD和△ABC中，

有CDCA=abb+cb=ab+c，

CACB=ba=aba2=abb2+bc=ab+c=CDCA，

因此△ACD和△ABC相似.

所以12∠A=∠CAD=∠B.

所以A=2B命題得證.

圖3圖42.4相交弦定理

證法4如圖4，延長BC至E，使CE=a，延長AC至F，使CF=b+c，連接EF，作EK∥AB交CF于K，則三角形ABC和KEC全等.所以∠A=∠CKE，AB=EK=c，CK=AC=b，KF=CF-CK=b+c-b=c.

所以KF=EK.所以∠KFE=∠KEF.

又a2=b（b+c），所以BC·CE=AC·CF.

由此B，A，E，F共圓，所以∠KFE=∠B.

故∠A=∠CKE=∠KFE+∠KEF=∠B+∠B=2∠B.

所以A=2B命題得證.

2.5圓冪定理

證法5如圖5，過B作BC的垂線，和AB的中垂線交于點O，以O為圓心，OB為半徑作圓，則CB與圓O相切于B，且圓O過點A，延長CA交圓于另一點F.根據圓冪定理有BC2=AC·CF，即a2=b（b+AF）.又有a2=b（b+c），所以AF=c.因此AB=AF，所以∠ABF=∠AFB.而∠ABF=∠ABC，所以∠ABF=∠AFB=∠ABC.而∠CAB=∠ABF+∠AFB=2∠ABC，故A=2B.命題得證.

圖5圖62.6割線定理

證法6如圖6，延長CB至E，使BE=a，延長CA至F，使AF=b，再延長AF至G使FG=2c，因CB·CE=a·2a=2a2，CA·CG==2b（b+c）=2a2=CB·CE.

根據割線定理逆定理可知A，B，E，G四點共圓，連接EF，EG，則∠CEG=∠CAB，∠G=∠ABC.又CBBE=CAAF，所以EF∥AB. 所以ABEF=BCCE=a2a=12.即EF=2AB=2c.所以EF=FG.因而∠FEG=∠G=∠CBA.

根據EF∥AB，可得∠FEC=∠CBA.故∠CAB=∠CEG=∠FEG+∠FEC=2∠CBA.

所以A=2B命題得證.

看來，我們在思考三角函數問題時，不能總是馬上、直接、完全、思維定勢地向“三角恒等變換”和“解三角形”等知識上聯系，而忽略了題目關系式所蘊含和隱藏的平面幾何性質；否則，你可能會舍近求遠，舍簡取繁，不要忘記關系式所表達圖形的幾何性質的發現和利用，往往它會助你一臂之力哦！

作者簡介楊續亮，中學一級教師，發表論文多篇，2015年獲得了安慶市論文比賽一等獎，曾獲得縣級骨干教師，安慶市教研先進個人稱號，正在主持安慶市市級課題的研究工作.研究方向為數學教育，數學解題.