也談運(yùn)用余弦定理解三角形的一類錯誤認(rèn)識

本刊2014年第11期發(fā)表了施元蘭老師的文章“運(yùn)用余弦定理解三角形的一類錯誤認(rèn)識”，[1]施老師對文中例3：在△ABC中，已知a=6，b=5，A=2B，則c的值是.給出了以下的解法1和解法2.

解法1：由正弦定理可求得cosB=35，然后求出sinB=45，sinA=2sinBcosB=2425，cosA=2cos2B-1=-725，所以sinC=sin（A+B），sinAcosB+cosAsinB=44125，再由正弦定理可求得c=115.

解法2：由正弦定理可求得cosB=35，再由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得52=62+c2-2×6×c×35，5c2-36c+55=0，解得c=5，或c=115.當(dāng)c=5時，b=5，故c=b，又因為A=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，這與cosB=35矛盾，故c=5不合題意，舍去，所以c=115.

施老師在文章末說：由此例可知，“已知a，b和角B，常?？蓪荁應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若該方程無實數(shù)解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解；若該方程只有一個正數(shù)解，則該三角形有一解；若該方程有兩個不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解，”這樣的觀念是錯誤的，即使該方程有兩個正根，三角形也不一定有兩解，還應(yīng)該結(jié)合條件，利用三角形內(nèi)角和定理、大邊對大角等進(jìn)行檢驗，以防增根混入.

實際上，邊邊角問題用余弦定理求解是完全正確的，也不會有增根混入，進(jìn)而也用不著進(jìn)行檢驗.鑒于筆者在教學(xué)中多次遇到過類似的問題，與學(xué)生交流時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生根本沒有過多思考，只是記住了要檢驗.又與其他數(shù)學(xué)老師交流，幾乎所有的教師都承認(rèn)對該類題沒有深究.因此，對這類看似很簡單的問題作些探究，有利于透徹理解問題的本質(zhì)，有利于改進(jìn)今后的教學(xué).下面從三個方面作點探究，請指正.

1文中例3的題設(shè)不是邊邊角問題

參考文獻(xiàn)

[1]施元蘭.運(yùn)用余弦定理解三角形的一類錯誤認(rèn)識[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（11）：60-61

作者簡介唐良生，男，1963年生，湖南寧遠(yuǎn)人，中學(xué)高級教師，主要研究方向是課堂教學(xué)與解題研究.獲《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》解題競賽一等獎，發(fā)表論文20多篇，還有近20篇論文獲省市一，二等獎.