求真務實 打造真正的高效課堂

朱純剛

2016年高考理科數學新課標全國卷（Ⅰ）壓軸題：

已知f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設兩個零點為x1，x2，求證：x1+x2<2.

此題具有表述簡潔明了、背景公平公正、立足于考查基本知識與基本技能、內涵豐富、入口較寬、能力要求高、重視對學生數學素養的考查等特點，對高中數學教學有很好的導向作用，給廣大數學教師以很多啟示.本文在探究其基本解法的基礎之上，談談它給中學數學教師的啟示.

1解法探究

標準答案是基于下面的解題思路：

對于第（Ⅰ）問，要使f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2的零點有兩個，就必須作出其草圖，為此必須判斷其單調性，考察其極值情況及函數值的分布情況.因此，求導、考察導數的正負性成為必然.

對于第（Ⅱ）問，實際上就是比較大小.比較大小有直接作差比較與用單調性比較等途徑，顯然直接作差比較沒有條件，因為x1，x2根本求不出來，故必須用單調性比較大小.為此需要利用解答第（Ⅰ）問時所得到的結論：x1∈（-∞，1），x2∈（1，2），f（x）在（-∞，1）上單調.

可以說，這是一種最直接、最循規蹈矩、最符合考生實際的解題思路，因為考生在作答該題時，兩個小時的作答時間已經所剩無幾了，根本沒有時間去思考其他的間接思路.實際上，用下面的三種構造解法解答本題，效果可能會更好一些.

法一構造一個常數函數與超越函數（分離參數法）.

解（Ⅰ）顯然x=1不是f（x）的零點.故f（x）有兩個零點方程a=（2-x）ex（x-1）2有兩個不等實根.

令h（x）=（2-x）ex（x-1）2，則f（x）有兩個零點函數y=h（x）的圖象與函數y=a的圖象有兩個不同交點.

因為h′（x）=-（x-2）2-1（x-1）3ex>0x<1，

所以h（x）在（-∞，1）上單調遞增，（1，+∞）上單調遞減，且當x→-∞時，h（x）→0，（x→-∞）；當x→1時，h（x）→+∞.

又h（2）=0，且當x<2（x≠1）時，h（x）>0.

所以要使函數y=h（x）的圖象與函數y=a的圖象有兩個不同交點，必須且只需a>0.

故a的取值范圍為（0，+∞）.

（Ⅱ）不妨設x1

因為h（x）在（-∞，1）單調遞增，故x1+x2<2x1<2-x2h（x1）

h（x2）

令g（x）=（2-x）e2x-2-x，x∈（1，2），則g′（x）=（3-2x）e2x-2-1，g″（x）=4（1-x）e2x-2<0，

所以g′（x）在（1，2）內單調遞減，又g′（1）=0，所以g′（x）<0，

所以g（x）在（1，2）上單調遞減，又g（1）=0，所以g（x）<0在（1，2）內恒成立，

故h（x1）

法二構造一個二次函數與超越函數.

由f（x）=0得a（x-1）2=（2-x）ex，

令g（x）=a（x-1）2，h（x）=（2-x）ex，則f（x）有兩個零點函數y=h（x）的圖象與函數y=g（x）的圖象有兩個不同交點.

因為h′（x）=（1-x）ex，所以h（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

且當x<2時，h（x）>0；當x>2時，h（x）<0；h（2）=0，h（x）max=h（1）=e.

結合草圖容易看出，所求的a的取值范圍為（0，+∞）.

（Ⅱ）設x1

因為a>0，所以f′（x）=（x-1）（ex+2a）>0x>1.

所以f（x）在（-∞，1）上單調遞減.以下同標準答案.

法三構造一個指數型函數與雙鉤函數.

顯然a≠0，且x≠2.

由f（x）=0得（x-1）2x-2=-1aex.令g（x）=（x-1）2x-2，h（x）=-1aex，

則f（x）有兩個零點函數y=h（x）的圖象與函數y=g（x）的圖象有兩個不同交點.

因為g（x）=（x-1）2x-2=x+1x-2=（x-2）+1x-2+2，

所以y=g（x）的圖象由雙鉤函數y=x+1x的圖象分別向右、向上平移2個單位得到，而h（x）=-1aex是指數型函數.

結合草圖可以看出，所求的a的取值范圍為（0，+∞）.

（Ⅱ）同解法二.略.

2對中學數學教學的啟示

從該題的眾多特點及多種解法可以看出，它對中學數學教學具有很好的導向作用，給廣大數學教師以眾多啟示.

啟示一勿以題海戰術應對高考

學數學需要解題，甚至大量解題，但并不等于一定要在題海中遨游.應引導學生認真做好解題后的反思這一環節，盡量做到一題多解，舉一反三，觸類旁通，而不是大量地重復練習.利用導數研究函數的零點是導數的基本應用之一，每一個參加高考的學生都應該熟知，也應該經歷過這方面的解題訓練，去年全國卷的壓軸題也是考查函數的零點，近年來各省市的高考題中也經常出現，此類題對參加高考的學生來說應該是常見題，并不感到陌生.因此，完全沒有必要通過題海戰術來應對高考的常見題型.

啟示二應立足于基礎知識的靈活運用與數學素養的提升

由前面給出的幾種解法可以看出，解答本題都是靈活運用一些常見的基礎知識，在用解法三解第（Ⅰ）問時，就只用到了高一必修一的知識，根本沒有用到導數.如果學生的基礎知識扎實，數學素養較好，很容易發現由方程通過變形可以分離出雙鉤函數與指數型函數.因此，在教學中我們應重視基礎知識的靈活運用，重視學生數學素養的提升，加強通式通法的教學，沒必要劍走偏鋒、一味地追求一些偏難怪的方法.

啟示三必須重視數學概念尤其是核心概念的教學

函數的零點、函數的單調性、導數是高中代數部分的幾個核心概念，本題就是圍繞這幾個核心概念立意的.

教材在定義函數的零點時，為了突出“零”字，定義函數的零點即為方程的根，亦即為函數圖象與x軸交點的橫坐標.但如果把x軸看成函數y=0的圖象，函數的零點也可以這樣定義：函數的零點即為方程的根，亦為兩個函數圖象交點的橫坐標.這個定義蘊含了數學中的構造思想，即由方程左右兩邊分別構造一個函數，考察函數的零點就是考察這兩個函數圖象交點的橫坐標.這樣所給的方程有多少種變形形式，就應有多少種構造函數的方式，而不再局限于題目所給的方程.如：為了考察f（x）=x2-3x+2的零點、即方程x2-3x+2=0的根，可以構造兩個函數y=x2-3x+2與y=0、也可以構造y=x2與y=3x-2、或者y=x2+2與y=3x、或者y=x-3與y=-2x、或者y=x+2x與y=3等等，再分別考察它們圖象交點的橫坐標.如果教師在“函數的零點”的教學中，深挖了其潛在價值，抓住了其本質，相信學生在高考中應能給出上面的解法.

在講授函數的單調性時，很多教師通常只照本宣科地講“任取x1，x2∈D，且x1x2對任意x1，x2∈D均成立.如果教師在教學中引導學生揭示了單調性的實質，相信學生在看到該題的第（Ⅱ）問時不會感到茫然.

數學有三種不同的形態：第一種是數學家創建數學結構過程中的原始形態；第二種是整理研究成果之后發表于數學雜志上、陳述于教材上的學術形態；第三種是便于學生理解學習，在課堂上出現的教育形態.數學概念教學應該把抽象難懂的“第一種、第二種形態”轉化為“第三種形態”，這種轉化在某種程度上實現了對數學概念的再創造，而這種再創造的過程正是概念的生成過程，正是發展學生思維、提升學生能力的過程，也正是探究概念本質的過程.因此，教師在教學中必須重視數學概念尤其是核心概念的教學.

啟示四打造真正意義上的“高效課堂”

目前，中學教育界關于“高效課堂”可以說是眾說紛紜，圍繞“如何打造高效課堂”這一話題，產生了多種不同的課堂教學模式，如“三講三不講”、“翻轉課堂”、“先學后教”模式等等，幾乎每一個模式發明者都認為采用自己的教學模式去教學的課堂是高效的.這就存在一個高效課堂的評判標準的問題，前面所說的一些教學模式實際上是以“學生對當堂知識的掌握”為標準來評判是否高效的，而“高效課堂”的真正評判標準應該是“教育價值”.教育的價值就是促進人的全面發展.一個人沒有知識肯定不能全面發展，但有了知識就一定能全面發展嗎？顯然不是.要讓一個人全面發展，還必須關注其情感、態度、價值觀，必須關注非智力因素方面的發展.由于人與人之間千差萬別，因此，真正意義上的“高效課堂”，是沒有固定模式可循的，這才是真正的“教無定法”.

真正意義上的“高效課堂”，應是促進人的全面發展的課堂，也就是說應該是發展人、完善人的課堂.要發展人、完善人，教師在教學中就應該盡可能地引導學生進行知識的再創造，發現數學知識中所蘊含的數學思想.學生有了數學思想，就會在思想的引領下運用知識發現和解決問題，解決問題需要能力，學生在需要能力的活動中就能形成能力.關注知識的再創造過程，就是關注學生的情感、態度、價值觀的過程，關注學科素養對人的發展的貢獻的過程.

高考雖然有其局限性和片面性，但不能否認高考仍然是一種對學生相對全面考查的有效方式.解答高考壓軸題需要用到多種數學思想與方法，需要有較強的發現問題與解決問題的能力，需要有良好的心態，需要有正確對待高考的態度.所有這些，都需要教師在平時的課堂教學中有意識地培養、正確地引導.因此，只有打造了真正意義上的高效課堂，學生才能得到真正發展，才能在高考中取得優異成績.