小學(xué)數(shù)學(xué)中的運算和運算定律

胡重光 周 志

小學(xué)數(shù)學(xué)中的運算和運算定律

胡重光 周 志

運算是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，關(guān)于運算的基本理論無疑是小學(xué)數(shù)學(xué)教師必須掌握的。但是，我國的小學(xué)教師一般都沒有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)它，小學(xué)教師培訓(xùn)一般也沒有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的內(nèi)容。本文擬對運算和運算定律及其教學(xué)作一個扼要的介紹。

一、運算的概念

在數(shù)學(xué)中，運算是再普通不過的事了。但是要回答什么是運算卻并不容易說清楚。我國的小學(xué)數(shù)學(xué)界至今沒有給出運算的定義，卻給加、減、乘、除都下了定義。比如，加法的一種定義是：把兩個數(shù)合成一個數(shù)的運算叫做加法。說加法是一種運算，但之前并沒有說什么叫運算，這樣我們還是不知道什么是加法。再如，什么叫“把兩個數(shù)合成一個數(shù)”也沒說清楚。1和2合成12，也是把兩個數(shù)合成了一個數(shù)。這樣的定義我們曾長期使用，至今仍在流行。

考察加、減、乘、除這些運算，可以發(fā)現(xiàn)它們具有一些共同點：都是在兩個數(shù)之間進行的，都按照某種法則進行，結(jié)果都得到一個確定的數(shù)。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家M. K.格列本卡和C.E.里亞平合著的《算術(shù)》（這本書是蘇聯(lián)師范專科學(xué)校的教科書。我國北師大教授郝新將其譯成中文，由高等教育出版社出版）一書中給運算下的定義就是：

設(shè)給定兩數(shù)a與b，根據(jù)已知的規(guī)則，由給定的兩數(shù)來求新數(shù)叫做運算。

這一定義顯然是按照上述三個特點作出的。但是運算的結(jié)果不一定得到新數(shù)，例如1×1=1。定義沒有說求得的新數(shù)是一個還是不只一個。如果限于我國目前小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍，則可以說結(jié)果是一個確定的數(shù)。仿照這兩位數(shù)學(xué)家給出的定義，我們可以給小學(xué)數(shù)學(xué)中的運算下一個定義：

定義1：給定兩個數(shù)，依照某種法則，由這兩個數(shù)求得一個確定的數(shù)叫做運算。

這個定義基本上體現(xiàn)了運算的本質(zhì)，也比較通俗易懂。

運算的更一般的定義可從張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》中找到。該書用集合和映射的觀點給代數(shù)運算下了定義。算術(shù)運算是代數(shù)運算的特例。該書所定義的運算，其結(jié)果是唯一的。

二、自然數(shù)的運算

有了運算的定義，我們就可以據(jù)此定義加、減、乘、除了。這幾種運算的區(qū)別，在于它們的運算法則不同。由于法則不同，所得的結(jié)果一般也不同。這四種運算的結(jié)果分別有不同的名稱：和、差、積、商。首先我們在自然數(shù)的范圍內(nèi)考察運算。

（一）自然數(shù)的加法

定義2：設(shè)a、b是兩個自然數(shù)，從a起數(shù)b+1個數(shù)，數(shù)到的最后一個數(shù)叫做a與b的和。

例如，2與3的和，就是從2起數(shù)4個數(shù)：2、3、4、5，數(shù)到的最后一個數(shù)是5，所以2與3的和是5。

這一定義既規(guī)定了什么是兩個自然數(shù)的和，也給出了求兩個自然數(shù)的和的方法。

根據(jù)這兩個定義，我們就可以給加法定義如下：

定義3：求兩個自然數(shù)的和的運算，叫做自然數(shù)的加法。

（二）自然數(shù)的減法

對于減法，我們可以用同樣的方法定義。首先定義兩個自然數(shù)的差：

定義4：設(shè)a、b是兩個自然數(shù)，b≤a。從a起倒數(shù)b+1個數(shù)，數(shù)到的最后一個數(shù)叫做a與b的差。

例如，3與2的差，就是從3起倒數(shù)3個數(shù)：3、2、1，數(shù)到的最后一個數(shù)是1，所以3與2的差是1。

然后給出減法的定義：

定義:5：求兩個自然數(shù)的差的運算叫做自然數(shù)的減法。

由差的定義可以看出，減法是加法的逆運算。加法與減法的關(guān)系可以用下面的算式表示：

如果a+b=c，那么c-b=a或c-a=b。

因此，我們也可以這樣定義減法：

定義5’：已知兩個加數(shù)的和以及其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。

根據(jù)這個定義，我們可以利用加法來做減法。例如，由2+3=5即可得出5-2=3或5-3=2。

（三）自然數(shù)的乘法

我們通常將乘法定義為同數(shù)連加的簡便運算。這一定義也是長期使用并流行至今的。但它并沒有說明什么是乘法，因為簡便運算這一概念是不明確的。為了定義乘法，同樣要先定義乘積。

定義6：（1）設(shè)n是正整數(shù)，m是自然數(shù)，n個m相加的結(jié)果叫做m與n的乘積，簡稱積，記作m×n。

（2）m與0的積為0：m×0=0。

（3）m與1的積為m：m×1=m。

例如，3個2相加的結(jié)果，叫做2與3的積，記作2×3。特別地，0×3=0+0+0=0。

但是，3×0不能認(rèn)為是0個3相加，3×1也不能認(rèn)為是1個3相加（在這里當(dāng)然不能利用乘法的交換律把3×0轉(zhuǎn)化為0×3）。然而從現(xiàn)實問題不難得到3×0、m×1、0×0的正確結(jié)果。例如：

數(shù)學(xué)課上老師出了3道思考題，每做對1道思考題老師獎3顆五角星。丁丁做對了2道思考題，亮亮做對了1道思考題，晶晶沒做對1道思考題，三人各得了幾顆五角星？

這道題的數(shù)量關(guān)系是：

每道題獎勵的五角星數(shù)×做對題數(shù)=得到的五角星數(shù)

丁丁得的五角星數(shù)是：3×2=6（顆），

亮亮得的五角星數(shù)是：3×1=3（顆），

晶晶得的五角星數(shù)是：3×0=0（顆）。

晶晶沒有做對思考題，當(dāng)然得不到五角星，由此可知0乘3的積應(yīng)當(dāng)是0。

如果再添一問：晶晶得了幾面紅旗？因為老師只獎五角星，不獎紅旗，就是說，做對1道思考題獎勵的紅旗面數(shù)是0，晶晶做對了0道，所以她得的紅旗面數(shù)是：0×0=0（面）。

這樣我們又得出0乘0的積為0。

這樣的例子是小學(xué)生也可以理解和信服的。

有了定義中的（2）、（3）兩條，則乘法交換律對任意自然數(shù)都成立了。

乘積的定義隱含一個順序：m×n表示n個m相加，即m表示相同加數(shù)，n表示相同加數(shù)的個數(shù)。在傳統(tǒng)教材中，這一點是十分明確的。但自2000年開始課改以來，新教材認(rèn)為不必區(qū)分乘數(shù)和被乘數(shù)，一律稱為因數(shù)。3個2相加既可寫作2×3，也可寫作3×2。從乘法的意義雖然可以得出2×3與3×2結(jié)果相同，但兩者的意義并不同。買3斤橘子每斤2元與買2斤橘子每斤3元顯然不能混為一談。因此，我們可以不區(qū)分乘數(shù)和被乘數(shù)，但不能不區(qū)分2×3與3×2，不能因為學(xué)生易錯就放棄原則。

類似地，乘法的定義是：

定義7：求兩個自然數(shù)的乘積的運算叫做自然數(shù)的乘法。

（四）自然數(shù)的除法

除法的意義有兩種。一種是等分除法，即把一個數(shù)平均分成若干份，求每份是多少。例如，將12平均分成3份，求每份是多少。方法是看哪個數(shù)乘3等于12。因為3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12，所以12÷3=4。另一種是包含除法，即求一個數(shù)包含幾個另一個數(shù)。例如，求12包含幾個4。方法是看4的幾倍等于12。因為4×1=4，4×2=8，4×3=12，所以12÷4=3。由此我們看到，除法可定義如下：

定義8：已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做除法。

除法有一個重要的性質(zhì)，就是0不能做除數(shù)。通常我們這樣說明其道理：

設(shè)a÷0=b，那么0×b=a。若a≠0，那么這樣的b不存在，即這個除法沒有商；若a=0，那么b可以為任意數(shù)，即這個除法的商可以是任意一個數(shù)。

這個道理看起來很有說服力，但對小學(xué)生講卻是不合適的，因為兒童總是從實際意義方面看問題的。我們可以把一個數(shù)（或量）平均分成幾份，如果一人獨占也可以說只分成1份，但是平均分成0份顯然是說不通的。我們可以說6里面包含幾個3、幾個2、幾個1，但是說6里面包含幾個0顯然也是說不通的。這樣的解釋兒童是可以理解的。

自然數(shù)中的四則運算還有一個重要的不同之處：加法和乘法對任意兩個自然數(shù)都能實施，但減法只有在被減數(shù)不小于減數(shù)時才能實施，除法受的限制最大，只有在能整除時才能實施。對于一個正整數(shù)n，可以實施n+1次減法運算，除法則遠(yuǎn)少于這個數(shù)字。現(xiàn)實生活中有余數(shù)的除法是常見的，能整除的除法則是不常見的。因此，教學(xué)中應(yīng)該多出現(xiàn)有余數(shù)的除法。

自集合論流行以來，基數(shù)理論被廣泛使用。例如，美國的卡爾B·艾倫多弗寫了一本專供小學(xué)教師使用的書《關(guān)于算術(shù)和幾何的原理》就是只用基數(shù)理論的。該書的加法定義是：

n（A）+n（B）=n（A∪B），

即a+b=n（A∪B）。

書中舉例說：要說明2+3=5，我們采取以下步驟：

（1）選取集合A，使n（A）=2，即選取的集合有2個元素。

（2）選取集合B，使n（B）=3，a并使A與B不相交。即選取的B有3個元素，其中沒有一個是A的成員。

（3）構(gòu)成A∪B。

（4）找出n（A∪B）=5。

（5）然后用等式a+b=n（A∪B）定義加法。

顯然，這一定義相當(dāng)繁瑣，并且它沒有給出加法的法則。進一步我們還會發(fā)現(xiàn)，按這一定義證明加法結(jié)果的唯一性、加法的運算定律等都比較復(fù)雜。更重要的是，學(xué)前兒童是自發(fā)地用數(shù)數(shù)的方法計算加法的。

序數(shù)理論受到一些著名數(shù)學(xué)家的高度重視，M.K.格列本卡和C.E.里亞平在《算術(shù)》一書中強調(diào)指出：“數(shù)數(shù)的觀念以及與它聯(lián)系著的自然數(shù)列的觀念在算術(shù)中是極其重要的。”弗賴登塔爾對序數(shù)和基數(shù)理論作了很多論述。他高度評價序數(shù)理論：“無論從歷史的、發(fā)生的還是從系統(tǒng)的角度來看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)的基石。可以說，沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)學(xué)。”“兒童很早就開始學(xué)計數(shù)了，并把它當(dāng)成一種樂趣。他們的計數(shù)能力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對數(shù)量的理解。……數(shù)的概念產(chǎn)生中，計數(shù)數(shù)是最初始的，最具有意義的。”“我更深入的想法是利用完全歸納法，以計數(shù)數(shù)來奠定自然數(shù)及其運算的基礎(chǔ)。這是一種典型的，簡捷可靠、富有創(chuàng)造力的方法。”“加法是繼續(xù)計數(shù)，減法是往回計數(shù)，這是傳統(tǒng)的教學(xué)法中的一項基本原理。形成這項正確原理的靈感來自于數(shù)的計數(shù)這個側(cè)面，然而它卻被新數(shù)學(xué)的教學(xué)法專家忽視了。”“自然數(shù)的數(shù)量側(cè)面并不足以成為自然數(shù)引入的基礎(chǔ)，它的效果不大，漏洞卻不小。”

用序數(shù)理論定義加法，由于自然數(shù)的性質(zhì)決定了數(shù)數(shù)的結(jié)果是唯一的，立刻就可得出加法結(jié)果的唯一性。

這樣，計數(shù)也歸結(jié)于數(shù)數(shù)。根據(jù)皮亞諾公理，每一個自然數(shù)都存在唯一的后繼數(shù)，所以得：

由和的定義以及定理1立即得到：

由乘法的定義可知，乘法是特殊的加法，因此乘積是唯一存在的。

由于差是用倒數(shù)的方法得到的，所以當(dāng)減法能夠?qū)嵤r，其差是唯一的。

若兩個數(shù)的除法可以實施，那么商是唯一的，這一點可以證明如下：

假設(shè)a除以b（b≠0）得到兩個商q和q′，q≠q′，那么a=bq且a=bq′。由此得bq=bq′，b（q-q′）=0。

因為b≠0，所以q-q′=0，于是q=q′。這與假設(shè)矛盾，商的唯一性得證。

關(guān)于計數(shù)，還有一個重要的計數(shù)公理：

根據(jù)這一公理，可以很容易地得出加法的交換律

a+b=b+a

因為a+b意味著先數(shù)a個數(shù)，接著數(shù)b個數(shù)；b+a意味著先數(shù)b個數(shù)，接著數(shù)a個數(shù)。即交換加數(shù)的位置相當(dāng)于改變數(shù)數(shù)的順序。

加法的結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c）的實質(zhì)也是數(shù)數(shù)順序的改變。

由于乘法是特殊的加法，乘法的運算定律也可以用計數(shù)公理說明，下面將結(jié)合運算定律的教學(xué)進行介紹。

三、運算定律的教學(xué)

教材對加法和乘法的交換律與結(jié)合律都采用了用具體例子說明的方法教學(xué)。例如，加法交換律的教學(xué)如圖1所示（其他運算定律的教學(xué)結(jié)構(gòu)完全相同）。

圖1

顯然，這里用的是不完全歸納法，因此教材的推理是有邏輯漏洞的。但教材沒有把這一漏洞告訴學(xué)生，這樣學(xué)生就會產(chǎn)生數(shù)學(xué)并不需要十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠∠蟆Ｊ聦嵣希貌煌耆珰w納法是很容易犯錯誤的。舉一個最簡單的例子，素數(shù)都是奇數(shù)，無論考察多少個大于2的素數(shù)都正確。但事實上大家都知道這是一個假命題。小學(xué)數(shù)學(xué)雖然要求淺顯易懂，但應(yīng)該是淺而不錯，易而有理。這里應(yīng)該如斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出的：“在教學(xué)過程中，必須盡可能公開指明邏輯上的不得已的漏洞，而不能對學(xué)生隱瞞。”

其實，加法交換律可以利用圖來說明（如圖2）。

圖2

從左往右數(shù)是3+2，從右往左數(shù)是2+3，根據(jù)計數(shù)公理，應(yīng)有3+2=2+3。

還可以利用數(shù)軸來說明（如圖3）。

圖3

乘法的交換律和結(jié)合律也可用類似的圖形模式或?qū)嵨锊僮鱽碚f明（如圖4、圖5所示）。

圖5

由圖4可以得出：4×3=3×4；

由圖5可以得出：（2×4）×3=3×（2×4）=（3× 2）×4。

這些圖雖然只涉及具體例子，但它提供了一個形象的模式，學(xué)生從中可以看出，圖中小圓圈的個數(shù)和長方體的層數(shù)都是可以任意給定的。由此他們體會到，上述運算定律具有一般性。需要注意的是，圖5是立體圖，中年級的兒童觀察它可能有一定的困難，最好采用實物操作的方法，用小立方塊拼出這個長方體。還可設(shè)計一個活動讓學(xué)生自己操作、計算，則更有意義。

如果作出下面的兩個圖（如圖6、圖7）還可分別得出：a+b=b+a，m×n=n×m（字母都代表正整數(shù)）。

這可以說具有一般性了。

圖6

圖7

我國的小學(xué)數(shù)學(xué)課程沒有介紹乘法和除法的分配律，但這兩個定律分別是多位數(shù)乘法和除法法則的依據(jù)。它們也可以用類似的圖（如圖8、圖9）來說明。

12×3=（10×3）+（2×3）：

圖8

39÷3=30÷3+9÷3：

圖9

（本文是基金項目：湖南省教育科學(xué)規(guī)劃課題（XJK013CJC004）、湖南省省級重點建設(shè)學(xué)科“課程與教學(xué)論”建設(shè)項目資助的階段性成果）

（作者單位：湖南第一師范學(xué)院長沙市實驗小學(xué)）