進位制教學中的一次嘗試

呂國

進位制教學中的一次嘗試

在一次“進位制”的課堂教學中，我布置了這樣一道填空題：1111（2）=___（5）。

這道題并不難，一般做法是：先把1111（2）化成十進制數：1111（2）=23+22+21+1=15，再用“除5取余法”把15化成五進制數30（5）。做到這里，我突然想到當我們把1111（2）化成十進制數時還有一種算法：1111（2）=1111（2）+1-1=10000（2）-1=24-1=15。由此推廣為：11…1（2）=11…1（2）+1-1=10…0（2）-1=2n-1，11…1（2）=2n-1+2n-2+…+1，所以1+2+…+2n-1=2n-1。

此時，如果再往前走一步，我們就可以把k進制中“逢k進1”的進位法則與等比數列求和聯系起來。

例如，由

22…2（3）=22…2（3）+1-1=10…0（3）-1=3n-1，

22…2（3）=2×11…1（3）=2（3n-1+3n-2+…+1），

得2（1+3+…+3n-1）=3n-1，即

至此，我們有以下一般化的推導（因為目前只有正整數進位制，所以必須設q＞1，q∈，p=q-1）。因此，

從而對于一個首項為a1，公比為q（q≠1）的等比數列來說，有：n

當然，發現這一關系之后，我并沒有在課堂上立即完成最后的推導，而是把它留給學生作為課后探究作業。題目是：用進位制原理推導等比數列求和公式。兩天以后，有3個同學經過合作探究找到了這種方法。

最后值得說明的是，從方法論的角度來看，用這一方法求等比數列前n項和比錯位相減法更繁雜，而且從進位制的角度來看，似乎只有當q＞1且q∈時才能用這一方法。但是這一方法很有創意，它找到了十進制數與非十進制數的某種聯系。也許正是這種聯系為我們以后解決其他問題增添了一種新的思維方式。更重要的是，盡管這只是雕蟲小技，但是在日常教學中我們就是要善于捕捉這些思維的火花，為拓展學生的思路，培養創新型人才提供一點幫助。也許這就是基礎教育階段數學教育的核心價值。

（作者單位：株洲市四中）