基數意義下自然數的運算（二）

張新春

基數意義下自然數的運算（二）

張新春

現在小結一下，從加法的定義出發，我們已經知道了加法的兩個性質：交換律與結合律。關于加法的所有規律，都可以由此開始通過邏輯推理而獲得，下面舉一例。

證明：a+b+c=a+c+b。

讀者也許會說，這不就是加法交換律嗎？只是把c與b的順序交換一下啊。事實上不是這樣的。按定義，a+b+c是（a+b）+c，而a+c+b=（a+c）+b，b與c根本不直接相加，無所謂交換。下面即是這個等式的證明（在閱讀這個證明之前，再次提醒讀者注意，我們能用來作證明依據的只有幾個定義和交換律與結合律而沒有別的）。

證：a+b+c=（a+b）+c（三個數相加的定義）

=a+（b+c）（加法結合律）

=a+（c+b）（加法交換律）

=（a+c）+b（加法結合律）

=a+c+b（三個數相加的定義）

這個證明說明，a+b+c=a+c+b成立的原因不僅有交換律，還有結合律。若加法不滿足結合律，只滿足交換律，我們是無法得到a+b+c=a+c+b的。為了說明這一點，我們再作一點討論。以下將對運算的意義作些拓展，并構造出一個只滿足交換律而不滿足結合律的運算。這些討論屬于近世代數（也稱抽象代數）的范疇。

我們通常的計算對象是數，計算的方法是加、減、乘、除。但隨著數學的進步，人們發現，對很多不是數的對象，同樣可以進行類似普通計算方法的計算。這樣，我們可以把運算的定義進行一般化。所謂一般的運算，涉及三個集合，不妨記為A，B，C。對A中的任意一個元素a和B中的任意一個元素b組成的元素對（a，b），我們在C中確定一個唯一的元素c與之對應。我們就說是對a和b進行運算，結果是c。

比如設A=｛藍，紅｝，B=｛黃｝，C=｛綠，橙｝，我們規定：

（藍，黃）→綠

（紅，黃）→橙

這就是一個運算。

運算有時也可用一個表來表示，如：

更多時候，我們研究的運算中A，B，C是同一個集合。比如自然數內的加法，就是為兩個自然數找一個像，這個像叫做這兩個自然數的和。

我們來考慮熟悉的“石頭、剪刀、布”游戲。分別用a，b，c表示“石頭”、“剪刀”和“布”，于是有a勝b，b勝c，c勝a。

我們規定a和b運算的結果就是它們之間的勝者。同時規定a和自己運算，還得自己。按這樣的規則，我們就規定了集合A=｛a，b，c｝內的一個運算，并約定把這個運算記為^，如下表所示：

顯然這個運算滿足交換律。

同時，我們不難發現，運算^并不滿足結合律。比如（a^b）^c=a^c=c，而a^（b^c）=a^b=a，即有（a^b）^c≠a^（b^c），從而^不滿足結合律。我們第一次看到了一個只滿足交換律但不滿足結合律的例子。

此時，a^b^c=a^c=c，而a^c^b=c^b=b，

從而，a^b^c≠a^c^b。

于是，我們知道，a^b^c=a^c^b的獲得，不僅要求運算^滿足交換律，還要求運算^滿足結合律。

當然，在具體教學中，我們不可能要求小學生這么透徹地理解。但作為數學教師，我們應該理解，同時，也應避免讓學生判斷31+67+19=31+19+67應用了什么運算定律。因為學生往往會認為只運用了交換律，而教師一時也無法跟學生講清楚（事實上，這道題即取自人教版四年級下冊教材，而教學參考書中提供的答案正是運用了加法交換律）。我們對以下的一個例題（人教版數學教材四年級下冊）持保留意見。

事實上，這里讓學生填寫用了“加法律”是不合適的。以下一段來源于人教版四年級下冊教學參考書。

應當指出的是，在例3的計算過程中：

115+132+118+85=115+85+132+118

把85移到132的前面，嚴格說來，不僅用到了加法的交換律，還用到了加法的結合律。因為這里之所以能把132+118看作一個整體，之所以能在計算前就先把85與（132+118）交換，都是因為有加法結合律作保證。即：

115+132+118+85

=115+［（132+118）+85］←加法結合律（用了兩次）

=115+［85+（132+118）］←加法交換律

=（115+85）+（132+118）←加法結合律

但考慮到小學生的認知特點，只要學生說出第一步運用了加法的交換律把85交換到132的前面，第二步運用了加法的結合律把115與85、132與118結合起來先相加就行了。有些學生常常會省略一些過程，如

115+132+118+85

=（115+85）+（132+118）

或者

115+132+118+85

=200+250

教師都應該給予肯定。

教學參考書上這一段有合理的地方：對每一步運算使用了什么運算定律的解釋是正確的。但我們認為，既然由于認知特點的原因，學生尚不能對所用運算定律進行準確的描述，也無法理解這種形式運算，那么我們要求學生判斷115+132+118+85= 115+85+132+118這個運算過程中使用了何種運算定律就很不恰當。實際上，教學參考書上說“只要學生說出第一步運用了加法的交換律把85交換到132的前面”，這里所描述的說法恰好是對交換律的誤解，交換律不是這么回事。滿足于這樣的錯誤說法（不是不嚴格的說法，而是完全錯誤的說法）是不恰當的。比較恰當的做法是：學生理解了交換律與結合律后，教師作出概括：根據加法的交換律與結合律，在做連加運算時，加數的順序與加的順序都可以是任意的。即先加哪幾個，再加哪幾個完全是任意的。不再追究每一步到底運用了什么運算定律（或籠統地說成是運用加法交換律與結合律）。同時指出，這個結論以后是可以證明的。事實上，按3個數相加的定義的方式，我們可以定義出4個數、5個數，繼而定義出任意多個數相加了。并且，由于加法有交換律、結合律，我們可以任意交換加數的位置（這一點是可以證明的，依據是加法交換律、結合律再加上數學歸納法原理，詳細證明這里從略）。