由y=f(x+1)的反函數引出的思考

上海市寶山區同洲模范學校　(200435)　李　奕

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由y=f(x+1)的反函數引出的思考

上海市寶山區同洲模范學校(200435)李奕

y=f-1(x+1).

很多時候，題干中并不會給出函數的具體顯性解析式，那么就無法通過上面的方法去求出某個函數y=f(x+1)的反函數的解析式了，我們另辟蹊徑，通過反函數的概念去尋找抽象函數y=f(x+1)的反函數.由y=f(x+1)得到x+1=f-1(y)，進而得到x=f-1(y)-1，把x，y互換位置可得y=f-1(x)-1，所以函數y=f(x+1)的反函數是y=f-1(x)-1而并非之前猜測的y=f-1(x+1)，用前面的例子驗證下也是正確的.

函數y=f(x+1)的反函數會不會在某種巧合下恰好就是y=f-1(x+1)呢？我們抱著這一疑問來尋求函數y=f(x+1)的反函數恰好就是y=f-1(x+1)的條件.如果真這樣，那么y=f-1(x+1)?f(y)=f(f-1(x+1))=x+1?x=f(y)-1，所以y=f-1(x+1)的反函數是y=f(x)-1，而命題要求y=f-1(x+1)的反函數是y=f(x+1)，所以得到f(x+1)=f(x)-1，即f(x+1)-f(x)=-1，這樣問題就解決了，只有在函數滿足f(x+1)-f(x)=-1的條件時，函數y=f(x+1)的反函數恰好就是y=f-1(x+1).

函數y=f(x+1)的反函數問題已經清晰解決了，那么，面對更一般的表達式y=f(x+a)去求解它的反函數，可以效仿上面的做法一樣去求解，很容易得到答案是y=f-1(x)-a，也能得出若函數y=f(x+a)的反函數是y=f-1(x+a)，則f(x+a)-f(x)=-a這樣的類似結論來.

筆者認為，函數y=f(x+a)的反函數的表達式不用去記憶，在學習的時候只要記住y=f(x+a)的反函數一般不是y=f-1(x+a)就可以了，這樣是以免在做題時出現錯誤，對于函數y=f(x+a)的反函數的求解更主要的還是要從反函數的概念出發去探求其解法.通過這個問題的思考，我們可以感受到反函數的學習中怎樣從函數解析式去求其反函數解析式只是個皮毛而已，反函數的真正內涵還是在反函數的概念里，這也就是反函數難學但獨有魅力的原因所在.