賞析幾道2016年數學奧林匹克競賽試題

李加軍　王永昌

山東省東營市勝利第一中學　(257027)

?

賞析幾道2016年數學奧林匹克競賽試題

李加軍王永昌

山東省東營市勝利第一中學(257027)

例1已知x,y,z是滿足(x+y-1)2+(y+z-1)2+(z+x-1)2=27的非負數，求x4+y4+z4的最大值和最小值(2016年韓國數學奧林匹克試題).

解法一:由(x+y-1)2+(y+z-1)2+(z+x-1)2=27得x2+y2+z2+(x+y+z)2-4(x+y+z)=24(1)

16x(***).

因為(1+x)(1-x2+4x)≥8x?1-x2+4x+x-x3+4x2≥8x?1-3x+3x2-x3≥0?(1-x)3≥0?x≤1.

因為x≤1，所以?(1+x)(1-x2+4x)+

例3已知x,y,z是正數，求證

例4已知x,y,z∈R+，求證：x4y+y4z+z4x+xyz(x3+y3+z3)≥(x+y+z)(3xyz-1)(2016年土耳其數學奧林匹克競賽試題).

證明:由x3+2y3≥3xy2，y3+2z3≥3yz2，z3+2x3≥3zx2，得x3+y3+z3≥xy2+yz2+zx2，所以x4y+y4z+z4x+xyz(x3+y3+z3)≥x4y+y4z+z4x+xyz(xy2+yz2+zx2)=x(x3y+y2z3+1)+y(y3z+z2x3+1)+z(z3x+x2y3+1)-(x+y+z)=3x2yz+3y2zx+3z2xy-(x+y+z)=(x+y+z)(3xyz-1).

證明:由柯西不等式和均值不等式得

例9已知a,b,c∈R,a2+b2+c2=4+abc，求證：(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9+6(ab+bc+ca)(2016印度EMMO大師賽試題).

證法一：因為a2+b2+c2=4+abc,(a2+2)(b2+2)(c2+2)=8+4(a2+b2+c2)+2(a2b2+b2c2+c2a2)+a2b2c2=8+2(a2+b2+c2)+2(4+abc)+2(a2b2+b2c2+c2a2)+a2b2c2=9+2(a2+b2+c2)+2(a2b2+1+b2c2+1+c2a2+1)+(a2b2c2+1)+2abc≥9+6(ab+bc+ca)+2(|abc|+1)2≥9+6(ab+bc+ca).

證法二：因為(abc+1)2≥0，所以a2b2c2+2abc+1≥0，所以a2b2c2+2(4+abc)-7≥0，所以a2b2c2+2(a2+b2+c2)-7≥0，所以a2b2c2+2(a2+b2+c2)+2[(ab-1)2+(bc-1)2+(ca-1)2-3]≥1，所以a2b2c2+2(a2+b2+c2)+2(a2b2+b2c2+c2a2)≥1+4(ab+bc+ca),因為a2+b2+c2≥ab+bc+ca，所以a2b2c2+4(a2+b2+c2)+2(a2b2+b2c2+c2a2)+8≥9+6(ab+bc+ca),因為a2+b2+c2=4+abc,(a2+2)(b2+2)(c2+2)=8+4(a2+b2+c2)+2(a2b2+b2c2+c2a2)+a2b2c2≥9+6(ab+bc+ca).