對一個向量填空題的探究與思考

虞關壽

浙江省杭州市富陽區新登中學　(311404)　楊志芳浙江省紹興市魯迅中學　(312000)

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對一個向量填空題的探究與思考

虞關壽

浙江省杭州市富陽區新登中學(311404)楊志芳浙江省紹興市魯迅中學(312000)

向量題是高考考查的重點，它具有代數和幾何的功能，是命題者青睞的內容之一，考查靈活，與幾何結合具有一定的難度，具有較強的選拔功能.

1.試題再現

所教班級該題的解答幾乎全軍覆沒，事后訪談了學生，約有三分之一的學生不知道怎么下手，還有約三分之一的同學運算混亂，導致結果錯誤，一部分學生做出來的結果是16(自認為很對，當然也是最靠近答案的一種)，也有不少學生是猜的，猜中的概率幾乎為0.因此筆者對這個題目進行了研究，雖有一定難度，但考查的還是向量最基本的東西.即向量的線性運算、向量的數量積運算以及不等式有關知識，不失為一個好題.

2.背景分析

本題考查的是向量與數量之間的內在聯系，以及最值問題.向量具有幾何和代數的功能，因此這也是此題兩個突破的方面，所以一般可借助向量的線性運算，從向量數量積的幾何性質和特征來分析求解，也可以建系轉化為代數方法來解決.另外從求解結論看又是一道最值問題，如何利用化歸、數形結合等思想方法構建目標函數(或式子)是問題的關鍵.因此，本題考查的知識包括：向量的線性運算、向量的數量積、向量的模等向量知識和平面幾何、三角、不等式等核心知識.由于題中三個向量都是未知的，只給出一些制約條件，給問題的轉化帶來了很大的難度.要解決這類問題，需要學生具備較高轉化問題的邏輯推理能力、運算能力和良好的心理素質.

3.解法探究

圖1

點評：將條件分析清楚，結合圖形，利用向量與三角知識，從而使問題得到解決.

圖2

點評：充分利用兩向量垂直數量積為0的優勢，和向量的幾何意義，方法直觀，值得借鑒.

圖3

cos∠BAC，而∠BAC=

點評：利用數量積的定義直接處理，將平面幾何知識、余弦定理、基本不等式等知識巧妙的結合在一起將問題解決.

圖4

點評：根據向量的線性運算進行轉化，同時利用三角相關的知識，不失為一種好的方法.

4.解題反思

以上四種解法分別從四個不同的角度，分析解決與幾何相關向量最值(范圍)問題.體現了不同的解題思路. 每一種解法都是一種從已知到未知轉化，都是一種解題方法的詮釋，都值得我們總結和反思，正如美國數學家G·波利亞在《怎樣解題》中提出的怎樣解題四個關鍵的步驟(如下表)，我們都可以仿照實施.

表1　G·波利亞解題表

四種不同的解法，無論哪一種解法都對學生的思維、知識、運算能力和考試的應變能力有較高的要求，解題有法，但無定法，因此要注重通性通法，關注特例特法，以不變應萬變，又能隨機應變.

5.引申拓展

合理的改變條件和求解目標，有利于提高學生解題能力，使學生能在做一個題的過程中學到處理問題的思想方法，有利于多維度看待求解的問題，提升學生的思維品質，因此，我們在講解題目的同時，合理的變式，適時的引申.

圖5

圖6

-2cos2(α+β)-2cos(α-β)cos(α+β)≤

-2cos2(α+β)+2cos(α+β)=

圖7

圖8

點評：利用向量投影和共線的性質，巧妙地將問題轉化為求|OP|的最小值.

因此我們平時在教學和解題過程中，要加強解題的理論學習，要善于解題、變題、講題，要領會題目中蘊含的思想方法，領會命題的立意，要善于反思總結，充分利用它的功能作用，輻射引領作用，促進課堂教學，提升課堂效率.

[1]G·波利亞著.涂泓,馮承天,譯.怎樣解題[M].上海科技教育出版社,2007.

[2]馮濤.一個基于波利亞解題理論的說題案例[J].中學數學教學參考2015(8):37-39.