函數極值點與零點平均數的較量

楊蒼洲

福建省泉州實驗中學　(362000) 　朱坤城福建省泉州第五中學　(362000)

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函數極值點與零點平均數的較量

楊蒼洲

福建省泉州實驗中學(362000) 朱坤城福建省泉州第五中學(362000)

1.問題的提出

(Ⅰ)求f(x)的單調區間和極值；

圖1

2.幾個常見的平均數

兩個正數x1,x2的常見的平均數有哪些呢？

關于兩個正數x1,x2的平均數，《普通高中課程標準實驗教科書》介紹了算術平均數與幾何平均數，但是還有一些平均數常常隱藏于高考壓軸題中．匡繼昌教授在《常用不等式》中收錄的關于兩個正數的“平均”類型多達十九種，其中在中學數學常見的平均數有：

上述平均數之間滿足不等關系H(x1,x2)≤G(x1,x2)≤L(x1,x2)≤E(x1,x2)≤A(x1,x2)≤S(x1,x2) ．

4.一點思考

本題中的極值點產生了偏移，于是產生了極值點與平均數的不等關系．在研究極值點與算術平均數、幾何平均數的關系之后，我們選擇其他平均數進一步縮小其范圍．

著名的數學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個．因此，在數學解題研究中，我們要善于在問題的周邊進行挖掘，提出新問題，解決新問題，使得解題走向深入．

[1]匡繼昌．常用不等式[M]．濟南:山東科學技術出版社(第四版)，2010．

[2]汪中明．羅新兵．例說函數背景下的不等式證明[J]．中學數學教學參考，2011(11)．

[3]陳寬宏．對數平均與高考壓軸題[J]．數學通訊，2012(11)．