基于逆加權參數估計方法的改進型Q控制圖研究

黃 虎，柯 華，王 晶

（1.同濟大學經濟與管理學院，上海200092；2.南開大學商學院，天津300071）

基于逆加權參數估計方法的改進型Q控制圖研究

黃 虎1，柯 華1，王 晶2?

（1.同濟大學經濟與管理學院，上海200092；2.南開大學商學院，天津300071）

傳統Q控制圖直接用樣本數據來估計未知的過程參數，由于這些估計值容易受到初始階段偏移的影響，這使得其對該階段的偏移檢出力不強.對此，本文提出了一種逆加權參數估計方法，并將其應用到Q控制圖中，提出了逆加權Q控制圖.另外針對改進后控制圖對小偏移檢測不靈敏的缺點，提出了EWMA—逆加權Q控制圖.進而通過MATLAB仿真對傳統Q控制圖，逆加權Q控制圖以及EWMA—逆加權Q控制圖的ARL進行了比較，結果表明逆加權Q控制圖和EWMA—逆加權Q控制圖的性能要遠遠優于傳統Q控制圖.

統計過程控制；Q控制圖；逆加權參數估計；EWMA—逆加權Q控制圖；Monte Carlo仿真

1 引 言

控制圖是實現統計過程控制（statistical process control，SPC）的重要工具，廣泛應用于對過程質量的監控.傳統控制圖例如休哈特控制圖，CUSUM控制圖以及EWMA控制圖等均假設過程均值和方差已知.然而實際應用中，特別是在生產初始階段和小批量生產環境下，有些參數往往是未知的.所以在構建傳統控制圖時，首先需要采集受控階段的樣本對未知的過程質量特性參數進行估計，然后用參數的估計值構建控制圖來對第二階段進行監控.如果缺乏足夠的樣本，所構建的控制圖虛發警報的概率將會大大增加［1］.另外，參數估計的準確與否，直接決定了控制圖性能的好壞，因此控制圖的參數估計問題逐漸受到人們的重視，并且越來越多的學者開始關注這個領域［2-6］.

自啟動控制圖是解決這個問題最好的方式.Hawkins［7］最早提出了用移動平均值來估計過程均值的控制圖.Quesenberry［8-10］在上世紀九十年代提出了Q控制圖，它只需要很少的樣本就能實現監控，但其對初始階段偏移檢測不靈敏的缺陷，大大限制了它的應用.因此，Castillo等［11］提出了基于EWMA控制圖的EWMA-Q控制圖和自適應卡爾曼濾波法的Q控制圖，提升了Q控制圖檢測小偏移的靈敏度.Zantek［12］用數學推導的方法對Q控制圖在檢測不同偏移的平均運行鏈長（ARL）的分布進行了研究.后來，Wu［13］，Li［14，15］等人將Q控制圖與CUSUM控制圖結合提出了自適應CUSUM-Q控制圖，一定程度上優化了Q控制圖檢測小偏移量的性能.另外Celano［16］，Kazemzadeh等［17］在EWMA控制圖和Q控制圖的基礎上，提出了EWMA-t控制圖.在國內，李韶華等［18］將可變抽樣區間的均值控制圖（VSI control chart）與Q控制圖相結合構建了VSIQ控制圖，使得即使在缺乏樣本數據情況下也能對生產過程進行監控，而且還能快速檢測出生產過程中的異常.崔敬巍等［19］提出了基于貝葉斯預測理論的改進型單值Q控制圖.以上改進都通過將Q控制圖與其他方法結合的方式來提高Q控制圖檢測小偏移量的能力，很少涉及Q控制圖本身.朱令嫻等［20］提出基于差分遞減權系數的加權Q控制圖，首次對Q控制圖的參數估計方法進行改造，并取得了很好的效果.

基于過程建模的思想，本文提出了一種全新的逆加權參數估計方法，其大大減小了偏移對過程參數估計值的影響.并將新估計方法應用到Q控制圖中，提出了逆加權Q控制圖和EWMA—逆加權Q控制圖，很大程度的提高了Q控制圖性能.文章首先探討了基于過程建模思想的逆加權參數估計方法，并對新提出的估計方法的無偏性和魯棒性進行了證明.在此基礎上，將新的估計方法應用到對過程均值的估計上，并給出在過程均值未知，方差已知情況下的Q統計量.另外針對改進后控制圖檢測小偏移不靈敏的缺點，提出了EWMA—逆加權Q控制圖.進而通過Monte Carlo仿真分析方法，對傳統Q控制圖以及兩種改進型Q控制圖的ARL進行了對比研究.

2 逆加權估值方法

在小批量生產環境下以及生產過程初始階段，很難獲得過程均值的信息，所以就需要用樣本數據對過程均值進行估計.而Q控制圖就是直接使用樣本的移動平均值來估計過程均值，所以只需要很少的樣本就能實現監控.但如果初始階段發生了偏移，作為過程均值估計的移動平均值也會發生同方向偏移，這就造成初始階段發生的偏移很難被檢測出來，且發生偏移時間越早，越難被檢測出來.對此，本文提出了用移動平均值的均值來作為過程均值的估計，本質上是一種逆向加權估值方法.根據EWMA控制圖的思想，在加工過程中距今越近的觀測值反映當前過程質量信息越多，距今越遠的觀測值代表著更多的過程本身的信息.因此，在估計過程均值時，距今越遠的觀測值，其在過程參數的估計中所占的權重就應該越大.另外，從Q控制圖ARL的分布［12］可以看出，如果一次抽樣后又連續抽樣了n次，且均未檢測出異常，n越大，就可以斷定系統當時處于正常狀態的概率也就越大，因為如果出現了異常，且連續n次還未被檢測出來的概率很小.因此，如果觀測值距今越遠，且至今未被檢測出異常，說明當時系統處于正常狀態的概率越大，所以在對過程均值進行估計時，其所占的權重也應該越大.而越靠后的觀測值，因為還沒有足夠的證據證明其未發生偏移，所以其權重應該越小.同時，使用這種逆向加權的方法來估計過程均值，還可以減小過程偏移對參數估計的影響.

傳統Q控制圖都用移動平均值來估計過程均值

而本文將采用移動均值的均值作為過程均值的估計量

假設過程均值為μ0，則有

因此新估計值是過程均值的無偏估計量.

當過程均值發生偏移時，估計值也會發生同方向偏移.假設生產過程中，從開始到第m次抽樣時系統正常，從第m+1次抽樣開始，過程均值發生偏移量為δσ的永久性偏移，方差不變.當發生偏移前，即當i≤m時，

當發生偏移后，即當i=m+j（j=1,2,3,...）時，

則移動均值估計量的期望值為

加權估計量的期望值為

顯然

3 Q控制圖的改進

為了解決生產過程剛啟動時以及多品種小批量生產環境下的質量控制問題，Quesenberry［8-10］于上世紀九十年代提出了Q控制圖.其將服從同一總體分布的質量特征值進行變換，并計算相應分布的統計概率，然后利用Fisher的經典概率積分變換定理將統計概率值轉化成服從標準正態分布的變量，從而得到一種標準化控制圖，其中心線和控制限分別為UCL=+3,CL=0,LCL=-3.Q控制圖可分為計數Q控制圖和計量Q控制圖.計數Q控制圖又包括統計合格品率的二項分布Q控制圖和統計個數的泊松分布Q控制圖.計量Q控制圖中，根據過程參數μ和σ是否已知，又分為過程均值μ和σ均已知；過程均值μ未知，σ已知；過程均值μ已知，σ未知；過程均值μ和σ均未知四種情形.本文主要考慮第二種情形即過程參數μ未知，σ已知，并假設過程均值服從正態分布，即.傳統Q控制圖用i作為過程均值的估計，其Q統計量為

所以，使用新估計值后的Q統計量為

同時針對傳統Q控制圖對小偏移量檢出力不足的缺點，本文將EWMA控制圖的思想引入新Q控制圖中，提出了EWMA—逆加權Q控制圖.

令

則有

因為

所以，當過程均值未知，方差為σ0，EWMA—加權Q控制圖的Q統計量為

在實際應用中，一般每組抽取的樣本容量均為n，當n=1時，為單值Q控制圖.

4 仿真實驗

平均運行鏈長（average run length，ARL）反映了控制圖在監控過程中誤發和漏發警報的風險［21］.其分為受控時的ARL和失控時的ARL.受控時ARL是指控制圖從開始進行控制直到第一次發出警報為止所經歷的平均抽樣次數.顯然，為了減少誤發警報的風險，受控ARL應該越大越好.失控時ARL是指從生產過程失控開始到第一次發出警報所需要的平均抽樣次數.相反，為了減小漏發警報的風險，失控時ARL應該越小越好.因此，ARL成為了評價控制圖性能最好的指標［22］.

通過蒙特卡洛仿真的方法，用MATLAB來模擬生產初始階段過程均值發生不同偏移的情形，然后計算各種情形下改進Q控制圖，傳統Q控制圖以及參數已知的Q控制圖的ARL.

實驗步驟：

步驟1假設生產過程開始后從第m+1次抽樣開始發生偏移量為δσ的永久性偏移，本次實驗每次抽樣樣本量n=5，偏移發生時段m=｛5,10,20,30｝，偏移量δ=｛0,0.5,0.8,1,1.2,1.5,1.8,2,2.5,3｝.

步驟2用MATLAB模擬各種情形下的生產過程，然后分別使用三種控制圖對生產過程進行監控，并記錄每種控制圖的運行鏈長.

步驟3為了能夠準確估計各種情況下每個控制圖的ARL.每一組參數（m,）進行5 000次試驗，然后計算各種控制圖的ARL.本次實驗取EWMA-Q控制圖的加權系數λ=0.1.

為了方便比較，令各種控制圖漏發警報的概率相等且均為0.27%，此時受控時ARL=370.運行結果如表1.

從運行結果可以看出，在虛發警報風險相同的情況下，對于過程初期出現的偏移，特別出現在m=5,10時，兩種逆加權Q控制圖的檢出速度要顯著優于傳統Q控制圖.對于一些偏移量在1.5σ0以下的微小偏移，EWMA—逆加權Q控制圖的性能要顯著優于另外兩種控制圖，其檢出速度要比傳統Q控制圖提升了幾倍甚至幾十倍.例如對于從第5次抽樣后出現的1σ0的偏移，傳統控制圖平均需要207組樣本才能檢測出來，逆加權Q控制圖平均也需要近75組，而EWMA—逆加權Q控制圖平均只需要近7組，檢出速度提升了幾十倍；對于從第10次抽樣后出現的1.2σ0的偏移，傳統控制圖平均需要46組樣本才能檢測出來，逆加權Q控制圖平均也需要6組左右的樣本，而EWMA—逆加權Q控制圖平均只需要3組左右的樣本.

由于EWMA—逆加權Q控制圖中當前權重λ+（1-λ）i會隨著抽樣次數增多而逐漸減小，而參數估計值會逐漸趨于穩定，所以對于后期發生的較大的偏移，其檢測靈敏度反而會下降.所以造成運行結果中在m=30后發生較大偏移時的ARL均大于對應的m=20時的ARL.但隨著樣本的增大，（1-λ）i會逐漸趨于零，EWMA—逆加權Q控制圖會逐漸趨近于傳統EWMA控制圖.

表1 三種控制圖的ARL對比表Table 1 ARL values for the three control charts

雖然對于后期發生的較大偏移，傳統控制圖和逆加權Q控制圖要優于EWMA—逆加權Q控制圖，綜合來看，EWMA—逆加權Q控制圖在過程初期的性能要優于逆加權Q控制圖和傳統Q控制圖.

5 結束語

本文首先探討了基于過程建模思想的逆加權參數估值方法，對新提出的參數估值方法的無偏性以及魯棒性進行了證明.并將新的均值參數估計方法應用到Q控制圖上，提出了逆加權Q控制圖.并針對改進后逆加權Q控制圖對初期小偏移量檢出力不強的缺點，提出了EWMA-逆加權Q控制圖，進而通過Monte Carlo仿真分析方法，對傳統Q控制圖，逆加權Q控制圖和EWMA—逆加權Q控制圖在各種狀況下的平均運行鏈長（ARL）進行了對比分析，結果表明采用新參數估計方法的逆加權Q控制圖和EWMA—逆加權Q控制圖對異常的檢出速度要優于傳統Q控制圖.

但是，由于關于逆加權Q控制圖的研究還處于起步階段，仍然存在很多的不足，未來可以從以下方面做進一步研究和完善.首先，雖然仿真實驗已經證明了逆加權方法的可行性和有效性，但關于權重選擇的理論依據以及是否存在更好的逆加權方法等還需要進一步研究.其次，可以將前人對Q控制圖的改進應用到新Q控制圖上，例如與CUSUM控制圖，可變抽樣區間等思想結合，從而進一步提升控制圖的性能.

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Improved Q chart based on inverse weighted parameter estimation

Huang Hu1，Ke Hua1，Wang Jing2?
（1.School of Economics and Management，Tongji University，Shanghai 200092，China；2.Business School，Nankai University，Tianjin 300071，China）

Traditional Q charts estimate the unknown parameters through the process samples directly. The estimated parameters，however，are often susceptible to the initial shift.Such impacts make Q charts insensitive to the shift in the initial stage.Thus，in this paper，a novel inverse weighted parameter estimation method is proposed.Meanwhile，the unbiasedness and robustness of this new method is proved.Moreover，an inverse weighted Q chart and an EWMA-inverse weighted Q chart are presented based on the new method.A comparison among the traditional Q Chart，the inverse weighted Q Chart and the EWMA-inverse weighted Q Chart is conducted by MATLAB simulation.The results demonstrate that the performance of the modified Q charts is superior to the traditional one.

statistical process control；Q chart；inverse-weighted parameter estimation；EWMA-inverse weighted Q Chart；Monte Carlo simulation

TP273

A

1000-5781（2016）04-0568-07

10.13383/j.cnki.jse.2016.04.014

黃 虎（1990—），男，湖北恩施人，碩士生，研究方向：統計過程控制，質量管理，智能算法，不確定多層規劃等，Email：huanghu0213@163.com；

柯 華（1979—），男，浙江臺州人，博士，副教授，研究方向：隨機過程，不確定規劃，智能算法，不確定多層規劃，項目進度優化與管理等，Email：hke@tongji.edu.cn；

王 晶（1982—），女，河北石家莊人，博士，講師，研究方向：質量管理，統計過程控制，響應曲面，穩健性設計等，Email：wangjingteda@nankai.edu.cn.

2014-01-18；

2014-09-04.

國家自然科學基金資助項目（71371141；71001080；71302016）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（NKZXB1164）.

*通訊作者